证明三角形全等总复习(经典题目)

三角形专题训练

【知识精读】

1. 三角形的内角和定理与外角和定理；

2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；

3. 全等三角形的性质与判定；

4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；

5. 直角三角形的性质与判定。 【分类解析】

1. 三角形内角和定理的应用

例1. 如图1，已知∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，E 是AD 上一点。 求证：∠>∠BED C

2. 三角形三边关系的应用

例2. 已知：如图2，在∆ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。 求证：()AM AB AC >

-1

2

3. 角平分线定理的应用

例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。

求证：AM平分DAB。

4. 全等三角形的应用

（1）构造全等三角形解决问题

例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为

120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，

连结MN。求证： AMN的周长等于2。

（2）“全等三角形”在综合题中的应用

例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC 的长。

5、中考点拨

例6. 如图，在∆ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB 于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（）

C. 7

D. 6

A. 9

B. 8

6、题型展示

例7. 已知：如图6，∆ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD的

延长线于E ，AE BD

1

2

。 求证：BD 平分∠ABC

例8. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC 花坛外有满足条件PB ＝AB 的一棵树P ，现要在花坛内装一喷水管D ，点D 的位置必须满足条件AD ＝BD ，∠DBP ＝DBC ，才能使花坛内全部位置及树P 均能得到水管D 的喷水，问∠BPD 为多少度时，才能达到上述要求？

【实战模拟】

1. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角

形底边的长为____________。

2. 在锐角∆ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。

3. 如图所示，D是∆ABC的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC

与∠B的大小关系。

4. 如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是AC中点，AE⊥BM。

求证：∠AMB＝∠CMD

5. 设三个正数a 、b 、c 满足(

)()a b c

a b c 22

22

4442++>++，求证：a 、b 、c 一定是

某个三角形三边的长。

【试题答案】

1. 5cm

2. 45°

3. 分析：如图所示，∠BAC 是∆ACD 的外角，所以∠>∠BAC 1 因为∠1＝∠2，所以∠BAC ＞∠2

又因为∠2是∆BCD 的外角，所以∠2＞∠B ，问题得证。 答：∠BAC ＞∠B

∵∠CD 平分∠ACE ，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC ＞∠1，∴∠BAC ＞∠2 ∵∠2＞∠B ，∴∠BAC ＞∠B

4. 证明一：过点C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线于F

Θ∠∠∠∠∠∠129012

+=+=︒∴=BAE BAE

又∠BAC ＝∠ACF ＝90°

AC ＝AB

∴≅∴==∆∆ABM CAF

AM CF F AMB

，∠∠

又AM ＝MC ，∴MC ＝CF 又∠3＝∠4＝45°，CD ＝CD ∴≅∆∆CDM CDF

∴=∴=∠∠∠∠F CMD AMB CMD

证明二：过点A 作AN 平分∠BAC 交BM 于N

Θ∠∠∠∠∠∠239023

+=+=︒∴=BAE BAE

又AN 平分∠BAC ∴==︒∠∠145C 又AB ＝AC

∴≅∴=∆∆ABN CAD AN CD

又∠∠NAM C ==︒45 AM ＝CM

∴≅∴=∆∆NAM DCM AMB CMD

∠∠

说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。 5. 证明：由已知得：

a b c a b b c c a a b c 4

4

4

2

2

2

2

2

2

4

4

4

222222+++++>++

即a b c a b b c c a 4

4

4

2

2

2

2

2

2

2220++---<

()()∴++--+-<+-++-

b

c a b

c

a b 442222224222

22

2

2

2

4

22

22240

240