CH3 第1节 二维随机变量

到现在为止，我们只讨论了一维 及其分布 及其分布. 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够， 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述. 需要用几个随机变量来描述 在打靶时,命中点的位置是 在打靶时,命中点的位置是 由一对r 两个坐标)来确定的 由一对 .v (两个坐标 来确定的 两个坐标 来确定的.
y x
− ∞ < x < +∞ X的概率密度函数 的概率密度函数
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随 机变量 , 函数 f ( x, y) 称为二维 （ 的 随机变量 X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度. 率密度
f ( x) x ∈ R
∫
∞
f (x) ≥ 0
−∞
1 2 1 2 1 1 P{ X = 1,Y = 2} = ⋅ = , P{ X = 2,Y = 1} = ⋅ = , 3 2 3 3 2 3 2 1 1 P{ X = 2,Y = 2} = ⋅ = . 3 2 3
p11 = 0,
1 p12 = p21 = p22 = , 3
故 ( X , Y ) 的分布律为
P{X=0, Y=3} = ( 1 2) = 1 8
3
2
X 3 1 1 P{X=1, Y=1} = ⋅ ⋅ =3/8 0 1 2 2 1 2 3 1 1 P{X=2, Y=1}= ⋅ ⋅ =3/8 2 2 2 2 3 3 P{X=3, Y=0} = ( 1 2) = 1 8.
Y X
1
0 13
2
13 13
1 2
下面求分布函数. 下面求分布函数
(1)当 x < 1 或 y < 1 时,
y
( 2,2)
F ( x, y )= P{ X ≤ x,Y ≤ y} 2 (1,2 )
= 0;
(2)当1 ≤ x < 2,1 ≤ y < 2时, F ( x , y ) = p11 = 0;
y y
( x, y)
Y O
( X,Y )
X
x
x
X
]x
O
x
随机点 ( X,Y ) 落在矩形域 x1 < x ≤ x2 , y1 < y ≤ y2 内的概率为
= F( x2 , y2 ) − F( x2 , y1 ) − F( x1, y2 ) + F( x1, y1 ) y y2
P( x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 )
分布函数, 称为二维随机变量 ( X,Y )的分布函数 或者称为随机 联合分布函数. 变量 X 和 Y 的联合分布函数
分布函数的函数值的几何解释 将二维随机变量 ( X,Y ) 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 坐标 那么 分布函数 F ( x, y)在点 ( x, y) 处的函数值 落在下面左图所示的,以点 就是随机点 ( X,Y ) 落在下面左图所示的 以点 ( x, y) 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率
关于x, 是右连续的 是右连续的。 即F(x, y) 关于 y是右连续的。 4. 对任意的
( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 < x2 , y1 < y2 ，
下述不等式成立： 下述不等式成立：
F ( x2 , y2 ) − F ( x2, y1 ) − F ( x1, y2 ) + F ( x1, y1 ) ≥ 0
P{( X,Y ) ∈G} = ∫∫ f ( x, y) d xd y,
G
+∞ +∞
P{ ( X ,Y ) ∈ G }的值等于以 G为底 , 以曲面 z = f ( x , y ) 为顶面的柱体体积 .
在点(x,y)连续，则当 ∆x, ∆y 很 连续， 若 f (x,y)在点 在点 连续 小时有, 小时有
第一节 二维随机变量
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 课堂练习
从本讲起，我们开始第三章的学习 从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 它是第二章内容的推广
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难， 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维离散型随机变量
定义2 定义 如果二维随机变量
( X,Y ) 全部可能取到的不相同
的值是有限对或可列无限多对, 的值是有限对或可列无限多对 离散型随机变量. 则称 ( X,Y ) 是离散型随机变量 设二维离散型随机变量
一维随机变量X 一维随机变量 离散型 X 的分布律
P(X=xk)=pk,
k=1,2, …
( X,Y )
x1
O
x2 y1
x
分布函数 F( x, y) 的性质:
1 . F( x, y) 是关于变量 x 和 y 的不减函数; y 对任意固定的 y ∈ R ( x1, y) y 及 ∀ x1 , x2 ∈ R , 当 x1 < x2 ( x2 , y) 时 F( x1, y) ≤ F( x2 , y) ; x x1 O x2 对任意固定的 x ∈ R ( X,Y ) 及 ∀ y1 , y2 ∈ R , 当 y1 < y2 ( X,Y ) 时 F( x, y1 ) ≤ F( x, y2 ) ;
也可用表格来表示随机变量X和 联合分布律. 也可用表格来表示随机变量 和Y 的联合分布律
Y X
y1 y2 M yj M
x1 p11 p12
x2 p21 p22
L L L
L
xi pi1 pi 2
L L L
L
M p1 j
M
M p2 j
M
M pij
M
分布律具有性质 二维离散型随机变量 ( X,Y )的分布律具有性质
Y
1
3
0 18 38 0 38 0 0 18
例2 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地
取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值 .试求 ( X ,Y ) 的分布律 .
解 { X = i ,Y = j } 的取值情况是 : i = 1,2,3,4,
j取不大于 的正整数 . 且由乘法公式得 取不大于i
∫−∞ ∫−∞ f ( x, y) dxdy = 1
+∞
2 . 0 ≤ F( x, y) ≤ 1 , 且
对任意固定的 x ∈ R , F( x,−∞) = 0 , F(− ∞,−∞) = 0 , F(+ ∞,+∞) = 1 .
y y
对任意固定的 y ∈ R , F(− ∞, y) = 0 ,
( x, y)
Y O
( X,Y )
X
x x
3 . F( x, y) = F( x + 0, y) , F( x, y) = F( x, y + 0) .
1
(1,1)
( 2,1)
o
1
2
x
( 3)当1 ≤ x < 2, y ≥ 2时, F ( x , y ) = p11 + p12 = 1 3 ;
y
2 (1,2 ) 1
(1,1)
( 2,2)
( 2,1)
o
1
2
x
(4)当x ≥ 2,1 ≤ y < 2时, F ( x , y ) = p11 + p21 = 1 3 ;
G
3 . 设G 是 xOy 平面上的区域 , 则有
∂ F(x, y) 的连续点 4 . 在 f (x,y)的连续点 , f (x, y) = ∂x∂y
2
说明: 说明
几何上 , z = f ( x , y ) 表示空间的一个曲面 .
∫−∞ ∫−∞ f ( x, y)d xd y = 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 和 全部体积等于1. 全部体积等于
P(x < X ≤ x +∆x, y < Y ≤ y +∆y) ≈ f (x, y)∆x∆y
例2 设(X,Y)的概率密度是 的概率密度是
Ae−(2x+ y) , x > 0, y > 0, f ( x, y) = 其它 . 0,
(1) 求常数 求常数A; (2) 求分布函数 F ( x, y) ; (3) 求概率 P{Y ≤ X} . 解 (1) 由 可得A=2. 可得
一个袋中有三个球,依次标有数字 例3 一个袋中有三个球 依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 再任取一个, 从中任取一个 不放回袋中 , 再任取一个 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等 各球被取到的可能性相等,以 次取球时 各球被取到的可能性相等 以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 的分布律与分布函数. 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数 1 2 2 解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), ( 2,1), ( 2,2).
f (x)dx =1
（X,Y）的概率密度的性质 :
1 . f ( x, y) ≥ 0 ;
2. ∫
+∞ −∞
∫−∞
+∞
f ( x, y) dxdy = 1; ∫∫ f ( x, y) dxdy = 1 ; 2 R
P{( X,Y ) ∈G} = ∫∫ f ( x, y) dxdy ;
三、二维连续型随机变量
定义3 定义 对于二维随机变量
( X,Y ) 的分布函数 F ( x, y) ,如果 存在非负的函数 f ( x, y) , 使对于
任意 x, y 有
一维随机变量X 一维随机变量 连续型
F( x) = ∫
x
−∞
f (t ) dt
F ( x, y) = ∫
∫−∞ f ( u,v) dudv −∞
1 1 P { X = i ,Y = j } = P{Y = j X = i }P{ X = i }= ⋅ , i 4 i = 1,2,3,4, j ≤ i .
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
Y
X
1
2
3
4
1
1 4
0 0 0
1 8 1 8
0 0
1 12
2
3
1 12
1 12
0
4
1 16 1 16 1 16 1 16
(5)当x ≥ 2, y ≥ 2时, F ( x , y ) = p11 + p21 + p12 + p22 = 1.
所以( 所以 X ,Y ) 的分布函ห้องสมุดไป่ตู้为
0, x < 1 或 y < 1, 1 F ( x, y) = , 1 ≤ x < 2, y ≥ 2, 或 x ≥ 2,1 ≤ y < 2, 3 1, x ≥ 2, y ≥ 2.
pij ≥ 0, i, j = 1,2,L ∑∑pij = 1 i j
联合分布函数为： 二维离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布函数为：
F(x, y) = ∑∑ pij
xi ≤x y j ≤ y
其中和式是对一切满足 x i ≤ x , y j ≤ y 的 i , j 求和.
把一枚均匀硬币抛掷三次， 例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
飞机的重心在空中的位置是 由三个r 三个坐标)来确定的等 由三个 .v (三个坐标 来确定的等 三个坐标 等.
一般地, 是一个随机试验, 一般地 设 E 是一个随机试验 它的样本空间是 S = {e} , 设 X1 = X1 ( e) , X2 = X2 ( e) , L, Xn = Xn ( e) 上的随机变量, 是定义在 S上的随机变量 由它们构成的一个 n 维向 量 ( X1, X2 ,L, Xn ) 叫做 n 维随机向量 或 n维随机变 量. 以下重点讨论二维随机变量. 以下重点讨论二维随机变量 请注意与一维情形的对照 .
( X,Y ) 可能取的值是 ( xi , yj ) ,
i, j = 1,2,L,记
k i, j = 1,2,L 分布律, 称之为二维离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布律 或随机变量X和 联合分布律. 或随机变量 和Y 的联合分布律
P(X=xi ,Y = yj )=pij,
pk ≥ 0, k=1,2, … ∑ pk=1
一、二维随机变量的分布函数
定义1 定义 设 ( X,Y ) 是二维 随机变量, 随机变量 如果对于任意实数 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
x, y, 二元 函数
= P{( X ≤ x) ∩(Y ≤ y)} P( X ≤ x ,Y ≤ y) F ( x, y)
F( x) = P(X≤ x) −∞< x < ∞