材料力学课件第四章 弯曲内力

固定铰
活动铰
固定端
P
二、载荷类型：
分布载荷
集中力 集中力偶
三、静定梁基本形式：
1、简支梁 2、外伸梁 3、悬臂梁
P
A B
§4-3 剪力和弯矩
A
P1 a x Ⅰ Ⅰ L FA a P1 Q M FB P2 B a
梁横截面上的内力分量:
剪力Q：分布内力系主矢，方 向平行于横截面 弯矩M：分布内力系主矩，作 用在纵向截面内
b
b
a
b
Q(b) Q(a) q( x)dx
a
同理，由
dM dQ dx
M (b) M ( a ) Qdx
a
b
梁任意两截面间的剪力改变量等于这两截面之间的梁段 上的分布载荷之合力； 梁任意两截面间的弯矩改变量等于这两截面之间的梁段 上的剪力图的面积
例：已知梁Q图，求梁上载荷图与M图 解： 斜率： 0—50 = +2q
M
P
P b L P a L
四、画 Q、M 图
P
+
x
例2、求Q、M方程，画Q、M图 A B x C qL L 解：一、求反力 FA=FB = 2 FA FB 二、建坐标系 qL FQ 三、列方程 2 x qL —qx qL Q（x）= FA—qx = 2 2 2 qL x M M（x）= FA x —（qx）2 8 x qLx — qx2 = 2 2 四、作图 M（0）= 0 M（L）= 0 L） qL2 （令M′（x）=0） M 2 = （ 8
剪力方程 弯矩方程
Q= Q（x） M = M（x）
Q
x
二、剪力、弯矩图 剪力、弯矩沿梁轴变化规律的图线
M
x
横坐标—— 表示横截面沿梁轴线的位置
纵坐标—— 表示相应截面上的剪力或弯矩
三、实例 例1、写出图示梁Q、M方程,并作Q、M图
Pb 解：一、求反力 FA = L Pa FB = L
y A
a P x1 C x2 FA Q
平面曲杆 轴线是 平面曲线的杆。
平面曲杆横截面 垂直于杆轴线切线的截面
平面曲杆横截 面内力分量 内力符号 弯矩、剪力、轴力 轴力N: 拉 “ + ” 剪力Q: “+”
弯矩M:使轴线曲率增加为“ + ”
由 X 0 :
y
x
Y 0 :
M
C
0
作弯矩图：
M (0 ) 0 M ( ) Pa 2

令：M 2 sin cos 0
解得： 26.6 M (26.6 ) 0.24MPa
M
软件编制：
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= q
qx2 M 1 ( x) 2
+
F
M 2 ( x) Fx
例4.5题：作图示刚架弯矩图。
铰节点 刚节点
解：一、写出弯矩方程： 取坐标系如图：
AC : M ( x1 ) Px1
CB : M ( x2 ) Pa Px2 P(a x2 )
二、作弯矩图：
§4-6 平面曲杆的弯曲内力
ME —（—50） = 50kNm ∴ ME =0
M
x
50kNm
迭加原理：
构件上几个载荷同时作用产生的内力（支反力、应力、 位移等）等于各个载荷单独作用时产生的内力(支反力、应 力、位移)的迭加。
q F x
迭加原理适用条件：
L
qx2 M ( x) Fx 2
所求量（如内力）是 载荷的线形函数。
材 料 力 学
配套教材：《材料力学》范钦珊主编
第四章 弯曲内力
§4-1 弯曲的概念与实例
A
B
平面弯曲_____
若梁有纵向对称面,则外力(包括支反力)都作 用在纵向对称面内时,梁变形后的轴线仍在该 面内,这种弯曲叫平面弯曲.
z
§4-2 受弯杆件的简化
简化原则：最后的计算结果尽可能接近实际
一、支座的几种基本形式：
例、用截面法求图示梁QⅠ、 MⅠ
y
x
剪力等于截面以左（或右）所有横向外力的代数和；
弯矩等于截面以左（或右）所有外力（包括外力偶）对截面形心力 矩的代数和。
y
左：
a FP1 Q1 FA FP1 FP1 Ⅰ A l FP1 a Ⅰ a M 1 FA x FP1 ( x a) x FP1 a l x a 右： L Q1 FP2 FB FP1 l FA FP1 a M 1 FB (l x) FP2 (l x a) x FP1 a l FP1 Q1
a
FP2=2 FP1 B a
x
FB
x
FA
c
M1 Q1 FP2 L—x FB
a
对水平梁某一指定截面而言：
M1
在它左侧的向上外力，或右侧的向下外力，将产生正剪力；
无论左侧或右侧，总是向上的外力产生正弯矩。
例：求图示梁I—I、Ⅱ—Ⅱ截面剪力、弯矩 解： 求反力 I—I： 左： QⅠ= —qa， a2 MI = —q 2 右: q
2
②
d 2M qx 2 dx
③
q
A
C L
y
B
a P C Q
+
b L B x
A
qL FQ 2 +
qL2 8
+
b P L
ab L x a P — L x
x qL 2
M
P
x
+
M
FA
FB
二、q（x）、Q、M之间的积分关系
dQ q (x ) dx
b
dQ q( X )dx
a a
x
FA M
Q
P2 L—x
a
FB
FP1 a FP2=2 FP1 Ⅰ A FA FP1 FP1 解：求反力 B l Ⅰ a a a FB 2 FP1 FP1 x l L 左： ΣY = 0，FA—FP1—Q1= 0 a FA FP1 Q1 Q1 FA FP1 FP1 FB a l Σmc = 0，M1+FP1（x — a） — FAx = 0 M1 c x FP1 a FP2 FA M 1 FA x FP1 ( x a) x FP1 a a Q1 l a 右： = 0， Q1 FP2 FB FP1 M1 ΣY L—x l FB Σmc = 0，MⅠ+FP2（L—x—a）—FB（L—x） = 0 FP1 a M 1 FB (l x) FP2 (l x a) x FP1 a l
A I Ⅱ qa 2
qa 2 B MB 2
I C a
Ⅱ
a
FB qa
QⅠ= —qa，
MI = qa2—
2 2 q a —qa2 = — q a 2 2
Ⅱ—Ⅱ：
QⅡ= —qa， M Ⅱ= qa2 a2 q a2 —q = 2 2
§4—4 剪力方程、弯矩方程 一、剪力、弯矩方程
剪力图、弯矩图 x
+ +
q
写Q、M方程、画Q、M图步骤
1、求支反力;
2、定坐标（注意分段）;
3、列内力方程: 在集中力P作用处; 分段根据 在M作用处; 在q作用的起点、终点截面处;
4、画图: 判断各段图形状;
求控制面内力数值： 首点 首点 直线 末点 曲线 末点 极点
§4—5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 一、微分关系 约定：q（x）向上为正
+
b程
Pb AC： Q（x1）= FA = L P b x1 M（x1）= FA x1 = L Pa Pb — P= — CB： Q（x2）= FA— P = L L Pa M（x2）= FB (L— x2) = （L—x2） L
b P L ab L x a — P L
x FA Q M
P2
L—x
a
FB
剪力、弯矩符号规定:
Q：使保留的分离体产生左上 右下变形时为正，反之为负。 Q Q M: 当梁段的弯曲为向下凸 时为正,反之为负。
A P1 Ⅰ Ⅰ x L FA a P1 Q M FB P2 a
B
a
M
M
剪力:使杆件截开部分产生顺时 针方向 转动者为 正,逆时针方向 转动者为负 。
∴ q = —25kN/m Q 50kN C D A + x B E 50kN 1m 1m 2m 2m 50kN q=25kN/m 50kN 100kN 50kN 50kNm +
或E、D间：ΔQ = —100kN/m ∴ 4q = — 100kN/m , q = —25kN/m
MB—0 = —50kNm
ΣY y P1 M0 x q(x) P2
x
dx q(x) M(x)+dM(x)
0:
Qx qxdx — Qx — dQx 0
dQ x qx dx
Q(x)
①
C
M(x) dx Q(x)+dQ(x)
M C 0,
dM x Q dx
求导再利用①
dxq x dx Qdx M dM M x