椭圆及其标准方程课件
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椭圆上一点到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，- 2）、（0，2），
并且椭圆经过点（- 3 ，5）. 22
解：（1）所求椭圆标准方程为 x2 y2 1
25 9
（2）所求椭圆标准方程为 变式训练：课本42页第2题
y2 x2 1
10 6
例2、根据下列椭圆的标准方程判断椭圆的焦点在哪个轴上， 并写出焦点坐标。
x2 (1)
y2
1
25 16
答：在x轴。（-3，0）和（3，0）
(2) x2 y 2 1 答：在y轴。（0，-5）和（0，5） 144 169
(3)
x2 m2
y2 m2 1
1
答：在y轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上
例3.已知经过椭圆x2 25
a2 - cx = a x - c2 + y2
设a2 -Pc(2 xx，2 +ya2)y是2 =椭a2 圆a2 上- c2任 意一点
y
F2
O
P
x
令的设axb垂222|F直以1aFa平2Fy22|21分=c、2c2线c2F，1b2为所则y0在有轴直F即建1线(：-立acx为22，直+ x0by角)22轴、=坐1，F标2a线(>c系，b段F>．010F) 1F2
（3）焦点在y轴的椭圆
1、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
M
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方
（1） 必须在平面内;
F1
F2
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定；
y2 16
1的右焦点F2
作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A, B两
点，F1是椭圆的左焦点.
(1)求AF1B的周长
(2)如果AB不垂直于 x轴，AF1B的周长 有变化吗？为什么？
变式训练：
1.已知椭圆方程为
x2 23
+
y2 32
=
1，则这个椭圆的焦距为（A）
(A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5
第二章 圆锥曲线与方程
§2.2.1 椭圆及其标准方程
一、导入新课
生 活 中 的 椭 圆
思考下列问题：
1．视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和 符合什么条件？其轨迹如何？
2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还 是椭圆吗？
3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
二、讲授新课
2.F1、F2是定点，且 F1F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M的轨迹是（ D） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
3.已知椭圆 x2 + y2 = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16
为3，则P到另一焦点的距离为（ D） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
3、椭圆的标准方程
y
F1 O
F2
x
y
F1
O
x
F2
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
方 (1)方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
程
(2)在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；
特 (4)a、b、c都有特定的意义，
符合条件的点都在曲线上（完备性）。
(证明一般省略不写,如有特殊情况，可以 适当予以说明)。
探究：如何建立椭圆的方程？
化 列设建简式点系
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2| 为定值，设为2a，则2a>2c
y
则： x + c2 + y2 + x - cP(2x+, yy)2 = 2a
x + c2 + y2F=1-2c a, 0- O x -Fc22c +, 0y2 x x + c2 + y2 = 4a2 - 4a x - c2 + y2 x - c2 + y2
4.椭圆 x2 16
y2 9
1,过焦点F1的直Biblioteka Baidu交椭圆于A, B两点，
则ABF2的周长为（ 16 ）
5.已知F1，F2是椭圆1x62
y2 9
1的两焦点，过点F2的直线交
椭圆于A, B.若 AB 5.则 AF1 BF1 的值为 （ 11 ）
四、课堂小结
1、椭圆的定义 2、椭圆的标准方程的推导
3、椭圆的标准方程
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
焦点在y轴上
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
4、求椭圆的标准方程的方法
（1）定义法 （2）待定系数法
五、课后作业
课本49页第2题
思考题：
已知方程：
x2 25
m
y2 16
m
1
求m的范围，使得表示：
（1）圆
（2）椭圆
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.
点 有关系式a2 b2 c2 成立。
根据所学知识完成下表:
椭圆
定义
不
图形
同
点
标准方程
焦点坐标
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
平 于面 常内 数到 （两 大个 于F定1F点2）F椭系1的，圆数点F2的的方为轨距程正迹离的有加和特相等点连
（4）|MF1|+|MF2|>|F1F2|. 椭圆
|MF1|+|MF2|=|F1F2|. 线段F1F2 |MF1|+|MF2|<|F1F2|. 不存在
2、椭圆标准方程的推导：
复习:求曲线方程的方法步骤是什么？
建系： 建立适当的直角坐标系； 设点： 设M（x,y）是曲线上任意一点； 列式： 建立关于x,y的方程 f(x,y)=0； 化简： 化简方程f(x,y)=0. 证明： 说明曲线上的点都符合条件，（纯粹性）；
y
分母较大焦点y定
P
右边数“1”F2记心P间
F1 O F2
x
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
a2-c2=b2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
三、例题练习
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0），
并且椭圆经过点（- 3 ，5）. 22
解：（1）所求椭圆标准方程为 x2 y2 1
25 9
（2）所求椭圆标准方程为 变式训练：课本42页第2题
y2 x2 1
10 6
例2、根据下列椭圆的标准方程判断椭圆的焦点在哪个轴上， 并写出焦点坐标。
x2 (1)
y2
1
25 16
答：在x轴。（-3，0）和（3，0）
(2) x2 y 2 1 答：在y轴。（0，-5）和（0，5） 144 169
(3)
x2 m2
y2 m2 1
1
答：在y轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上
例3.已知经过椭圆x2 25
a2 - cx = a x - c2 + y2
设a2 -Pc(2 xx，2 +ya2)y是2 =椭a2 圆a2 上- c2任 意一点
y
F2
O
P
x
令的设axb垂222|F直以1aFa平2Fy22|21分=c、2c2线c2F，1b2为所则y0在有轴直F即建1线(：-立acx为22，直+ x0by角)22轴、=坐1，F标2a线(>c系，b段F>．010F) 1F2
（3）焦点在y轴的椭圆
1、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
M
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方
（1） 必须在平面内;
F1
F2
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定；
y2 16
1的右焦点F2
作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A, B两
点，F1是椭圆的左焦点.
(1)求AF1B的周长
(2)如果AB不垂直于 x轴，AF1B的周长 有变化吗？为什么？
变式训练：
1.已知椭圆方程为
x2 23
+
y2 32
=
1，则这个椭圆的焦距为（A）
(A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5
第二章 圆锥曲线与方程
§2.2.1 椭圆及其标准方程
一、导入新课
生 活 中 的 椭 圆
思考下列问题：
1．视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和 符合什么条件？其轨迹如何？
2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还 是椭圆吗？
3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
二、讲授新课
2.F1、F2是定点，且 F1F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M的轨迹是（ D） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
3.已知椭圆 x2 + y2 = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16
为3，则P到另一焦点的距离为（ D） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
3、椭圆的标准方程
y
F1 O
F2
x
y
F1
O
x
F2
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
方 (1)方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
程
(2)在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；
特 (4)a、b、c都有特定的意义，
符合条件的点都在曲线上（完备性）。
(证明一般省略不写,如有特殊情况，可以 适当予以说明)。
探究：如何建立椭圆的方程？
化 列设建简式点系
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2| 为定值，设为2a，则2a>2c
y
则： x + c2 + y2 + x - cP(2x+, yy)2 = 2a
x + c2 + y2F=1-2c a, 0- O x -Fc22c +, 0y2 x x + c2 + y2 = 4a2 - 4a x - c2 + y2 x - c2 + y2
4.椭圆 x2 16
y2 9
1,过焦点F1的直Biblioteka Baidu交椭圆于A, B两点，
则ABF2的周长为（ 16 ）
5.已知F1，F2是椭圆1x62
y2 9
1的两焦点，过点F2的直线交
椭圆于A, B.若 AB 5.则 AF1 BF1 的值为 （ 11 ）
四、课堂小结
1、椭圆的定义 2、椭圆的标准方程的推导
3、椭圆的标准方程
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
焦点在y轴上
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
4、求椭圆的标准方程的方法
（1）定义法 （2）待定系数法
五、课后作业
课本49页第2题
思考题：
已知方程：
x2 25
m
y2 16
m
1
求m的范围，使得表示：
（1）圆
（2）椭圆
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.
点 有关系式a2 b2 c2 成立。
根据所学知识完成下表:
椭圆
定义
不
图形
同
点
标准方程
焦点坐标
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
平 于面 常内 数到 （两 大个 于F定1F点2）F椭系1的，圆数点F2的的方为轨距程正迹离的有加和特相等点连
（4）|MF1|+|MF2|>|F1F2|. 椭圆
|MF1|+|MF2|=|F1F2|. 线段F1F2 |MF1|+|MF2|<|F1F2|. 不存在
2、椭圆标准方程的推导：
复习:求曲线方程的方法步骤是什么？
建系： 建立适当的直角坐标系； 设点： 设M（x,y）是曲线上任意一点； 列式： 建立关于x,y的方程 f(x,y)=0； 化简： 化简方程f(x,y)=0. 证明： 说明曲线上的点都符合条件，（纯粹性）；
y
分母较大焦点y定
P
右边数“1”F2记心P间
F1 O F2
x
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
a2-c2=b2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
三、例题练习
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0），