高三一轮复习二项式定理

5 2 x2－ 3 展开式中的常数项为( C ) 2． (2013· 高考江西卷) x
A． 80 C． 40
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B．－ 80 D．－40
3． (2013· 高考课标全国卷Ⅱ )已知(1＋ ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a＝( D ) A．－ 4 C．－2 B．－ 3 D．－ 1
(2)(1＋2x)n(其中 n∈ N 且 n≥6)的展开式中 x3 与 x4 项的二项 672x5 ． 式系数相等，则系数最大项为________
C n>Cn， 【解析】 (1)法一：由已知得 3 2 即 I5<n<7， Cn>Cn，
3
4
16 1 ∵ n∈ N ，∴ n＝6.令 x＝ 1，则原式＝ (1－ ) ＝ . 2 64 法二：由题意知，只有第 4 项的二项式系数最大，所以 n＝ 16 1 6，令 x＝ 1，则原式＝ (1－ ) ＝ . 2 64 (2)由于 x3 与 x4 项的二项式系数相等，则 n＝7. k ∴ Tk＋ 1＝ Ck (2 x ) ， 7 k k k ＋ 1 k ＋1 C 2 ≥C 7 7 2 13 16 由 k k k－ 1 k－1 ，得 ≤k≤ ， 3 3 C72 ≥C7 2
3．求证：3n>(n＋2)· 2n 1(n∈N*，n>2)．
－
【证明】因为 n∈ N*，且 n>2， 所以 3n＝(2＋ 1)n 展开后至少有 4 项．
n (2 ＋ 1)n ＝ 2n ＋ C 1 · 2 n
－ －1
1 n n ＋ …＋ Cn · 2 ＋ 1≥2 ＋ n · 2 n
－ －
－1
＋ 2n ＋
π 2
π 2
π
1 9－4 63 4 4 C9(－ ) · (－ 1) ＝－ .
求二项展开式中的项或项的系数的方法： (1)展开式中常数项、 有理项的特征是通项中未知数的指数分 别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母 的指数，再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等， 一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等 式 (组 )求取值范围．
二项式定理
考点
考纲要求
考查角度
二项展 会用二项式定理解决与 开式的 二项展开式有关的简单 通项 问题
二项式 系数与 展开式 的系数 会用二项式定理求某项 的二项式系数或展开式 系数；会用赋值法求系 数之和
利用通项求展开式的一些 特殊项，如：求指定项或 已知某项求指数n等
考查“项的系数”与“二 项式系数”的区别；考查 赋值法求部分系数的和
－
n k k 温馨提醒： (1)二项式的展开式共有 n＋ 1 项， Ck a b 是第 n
－
n k k k＋ 1 项，即 k＋ 1 是项数， Ck a b 是项． n
－
n k k (2)通项是 Tk＋ 1＝ Ck a b (k＝ 0， 1， 2， …， n)．其中含有 n
－
Tk＋ 1，a，b，n，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五 个元素．
n k k k (3)在 Tk＋ 1＝ Ck a b 中， C 它与 a， n n就是该项的二项式系数，
－
b 的值无关；而 Tk＋1 项的系数是指化简后字母外的数．
2．二项式系数的性质
2 1． ( x＋ 2)n 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 n x 等于( C ) A． 6 C． 10 B．8 D． 12
＝ (－ 1) ＝ 15.
r
3 3 r C6x6－ r， 令 6－ r＝ 0， 解得 2 2
r＝ 4， 故常数项为(－1)4C4 6
(2)含 x 的项为
4
5 C3 8x (
a 3
3 4 )3＝ C3 8a x ，
x
1 3 3 ∴ C8a ＝7，∴ a＝ . 2
1 1 2x 2 1－ cos x (3)a＝ ∫ 0(sin － )dx＝ ∫ 0( － )dx 2 2 2 2 cos x 1 ＝ ∫ 0(－ )dx＝－ .此时二项式的展开式的通项为 Tr＋ 1＝ 2 2 1 9－ r 1 r 1 9－ r r r r 9－ 2r C9(－ x) (－ ) ＝ C 9(－ ) · (－ 1) x ，令 2 x 2 ＝ 4， 所以关于 x 的一次项的系数为 2 9－ 2r＝ 1，r 16
1．二项式定理 (1)试写出二项式定理的展开式．
n 1 n 1 r n r r n n 提示：(a＋b)n＝C0 a ＋ C a b ＋ … ＋ C a b ＋ … ＋ C n n n nb (n∈N*)
－ －
(2)其通项公式是什么？二项式系数是什么？
n r r r 提示：Tr＋1＝Cr a b , 表示第 r ＋ 1 项 ;C n n(r＝ 0,1,…， n)
4． (2014· 深圳市调研考试)若(1＋ 2x)5＝ a0＋a1x＋a2x2＋ a3x3
80 ＋ a4x4＋a5x5，则 a3＝________ ．
2 2 3 n 2 n 1 n 1 5．若 C1 ＋ 3C ＋ 3 C ＋ … ＋ 3 C ＋ 3 ＝ 85，则 n 的值 n n n n
－ － －
Ak≥Ak－ 1 分别为 A1， A2， …， An＋ 1， 且第 k 项系数最大， 应用 ， Ak≥Ak＋ 1
从而解出 k 值．
1 n 2． (1)如果(x － ) 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最 2x
2
大，那么展开式中的所有项的系数之和是( D ) A． 0 B．256 C． 64 1 D. 64
3 3 3 3 所以 T4＝ C3 6x (－2) ＝－ 160x ，所以 x 项的系数为－ 160.
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2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( A．9 C．7 B．8 D．6
1 6 （ x － ） ， x<0， x [解析 ] ∵f(x)＝ － x，x≥0， ∴当 x>0 时，f(x)＝－ x<0， 1 6 ∴ f[f(x)]＝ f(－ x)＝ (－ x＋ ) x 1 6 ＝ ( x－ ) . x ∴展开式中常数项为 ＝－ C3 6＝－ 20. C3 6( 1 3 x) (－ ) x
2
为
13 3 2 3 T3＋ 1＝ C6(4x ) (－ ) ＝－ 1 x
280x3.
二项式系数的性质
(1)(1＋2x)15 的二项展开式中系数最大的项为( D ) A．第 8 项 C．第 8 项和第 9 项 B．第 9 项 D．第 11 项
(2)(2014· 安徽省 “江南十校 ”联考 )若 (x＋ 2＋ m)9＝ a0＋ a1(x＋ 1)＋a2(x＋ 1)2＋ …＋ a9(x＋ 1)9， 且 (a0＋ a2＋ …＋ a8)2－ (a1＋a3 ＋ …＋a9)2＝39，则实数 m 的值为 ( A ) A． 1 或－3 C． 1 B．－ 1 或 3 D．－ 3
1．(1)(2014· 东北三校联考 )若 ( x－
1 3
)n 的展开式中第四项
2 x 为常数项，则 n＝ ( B ) A． 4 C． 6 B．5 D． 7
(2)(2014· 湖北八校联考 )设 a＝2(3x2－2x)dx，则二项式 (ax2
1
16 － ) 展开式中的第 4 项为 ( A ) x A．－ 1 280x3 C． 240 B．－ 1 280 D．－ 240
012 2 012 被 13 整除， 所以只需 C2 ×( － 1) ＋a 能被 13 整除， 即a 2 012
＋ 1 能被 13 整除，所以 a＝ 12.
(1)利用二项式定理解决整除问题时， 关键是进行合理地变形 构造二项式， 应注意： 要证明一个式子能被另一个式子整除， 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一 个式子整除即可． (2)求余数问题时， 应明确被除式 f(x)与除式 g(x)(g(x)≠0)， 商 式 q(x)与余式的关系及余式的范围．
为 ________ ． 4
二项展开式中的特定项或特定项的系数
6 1 (1)(2013· 高考天津卷 )x－ 的二项展开式中的 x
15 常数项为 ________ ；
(2)(2013· 高考安徽卷)若(x＋
1 2 则实数 a＝________.
a 3
)8 的展开式中， x4 的系数为 7，
* 5 5 ∴ k＝ 5，∴系数最大项为 C5 (2 x ) ＝ 672 x . 7
二项式定理的综合应用
(2012· 高考湖北卷)设 a∈ Z，且 0≤a＜ 13，若 512 012 ＋ a 能被 13 整除，则 a＝ ( D ) A． 0 C． 11 B．1 D． 12
[课堂笔记]
2 012 1 2 【解析】 512 012＋a＝ (52－1)2 012＋ a＝ C0 52 － C 52 2 012 2 012 011 011 2 011 2 012 2 012 ＋…＋ C2 ×52×( － 1) ＋ C ×( － 1) ＋ a.因为 52 能 2 012 2 012
(1)二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a， b 的一切值都 成立．因此，可将 a， b 设定为一些特殊的值．在使用赋值 法时，令 a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、 － 1 或 0”，有时也取其他值． (2)求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a、b∈ R)的展开形式 系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数
A．－ 20 C．－160
B．20 D． 160
【解析】因为 a＝π(cos x－ sin x)dx＝(sin x＋ cos x) ＝－2，
0
0
π
6 6 2 a 2 x2－ ，所以展开式的通项公式 Tk＋ 1 所以二项式 x ＋ ＝ x x k 2 2 6－ k k 12－3k k － ＝ Ck ( x ) ＝ C x · ( － 2) ，由 12－3k＝ 3，得 k＝3， 6 6 x
x
1 (3)(2014· 安徽合肥市质量检测)已知 a＝ (sin － )dx，则 2 2 0
π 2
2x
63 － 1 9 16 (ax＋ ) 的展开式中， 关于 x 的一次项的系数为________ ． 2ax
[课堂笔记]
6 r 1 1 6－ r 【解析】 (1)x－ 的展开式通项为 Tr＋1＝(－1)rCr x · 6 x x
[课堂笔记]
k k k 1 k 1 k k 【解析】 (1)Tk＋ 1＝ Ck 2 x ， C 2 ≤C 2 ， 15 15 15
－ －
29 32 k＋ 1 k＋ 1 k k C15 2 ≤C152 ⇒ ≤k≤ ， k＝ 10， 3 3 所以第 11 项的系数最大． (2)令 x＝ 0，得到 a0＋a1＋ a2＋ …＋ a9＝ (2＋m)9，令 x＝－2， 得到 a0－a1＋ a2－ a3＋ …－ a9＝m9，所以有 (2＋m)9m9＝ 39， 即 m2＋ 2m＝3，解得 m＝1 或－ 3.
3
(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题， 解决本题的关键是 当 x>0 时，将 f[f(x)]表达式转化为二项式． (2)对二项式定理的考查还常与求定积分交汇， 由单一问题变 为小综合问题进行考查．
(2014· 山东潍坊质检)设 a＝ π (cos x － sin x)dx，则二项式
0
6 a x2＋ 展开式中的 x3 项的系数为( C ) x
1>2n＋ n· 2n 1＝ (n＋ 2)· 2 n 1， 故 3n>(n＋2)· 2n 1(n∈ N*， n>2)．
－
二项式定理与函数的交汇
1 6 （x－x） ，x<0， (2013· 高考陕西卷)设函数 f(x)＝ － x，x≥0， 则当 x>0 时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( A ) A．－ 20 B．20 C．－15 D． 15
【解析】 (1)由二项展开式可得
n－ r r 2
Tr＋ 1＝ Cr n(
x)
n－ r
· (－
1 2 x 3
)r＝
(－ 1)r2 rC nx
－
r － x－ ，从而 T4＝ T3＋ 1＝ (－ 1)32 3Cnx 3
n－ 5 3 2
，由
n－ 5 题意可知 ＝ 0，则 n＝ 5. 2 16 (2)由微积分基本定理知 a＝4，(4x － ) 展开式中的第 4 项 x