离散数学第3章 命题逻辑的推理理论

请用附加前提证明法证明之
2． 在 P 系统中构造下面推理的证明： 如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明园玩. 如果 颐和园游人太多，就不去颐和园. 今天是周六，并且 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园或动物园玩.
证明 （1） 设 p：今天是周六，q：到颐和园玩，
r：到圆明园玩，s：颐和园游人太多 t：到动物园玩 （2）前提：p(qr), 结论：rt （3）证明： ① p(qr) ② p ③ qr ④ sq ⑤ s ⑥ q ⑦ r ⑧ rt 前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 前提引入 ④⑤假言推理 ③⑥析取三段论 ⑦附加 sq, p, s
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p 结论：┐q
第三章 习题课
一、本章的主要内容及要求 1． 主要内容 推理的形式结构的不同形式 判断推理是否正确的不同方法 ① ② 真值表法 等值演算法
③ 主析取范式法 ④ 构造证明法 … 在自然推理系统 P 中构造证明
2. 要求 理解并记住推理形式结构的如下形式： ① (A1A2…Ak)B ② 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、 等值演算法、主析取范式法等） 牢记 P 系统中各条推理规则（内容与名称） 会用附加前提证明法及归谬法
可以将 I 记为<A(I),E(I),AX(I),R(I)>.其中<A(I),E(I)>是 I 的形
式语言系统，<AX(I),R(I)>为 I 的形式演算系统。
2．形式系统的分类
形式系统一般分为两类。 一类是自然推理系统， 它的特点是 从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算， 得到的最后命题公式是推理的结论 （有时称为有效的结论， 它可 能是重言式，也可能不是） 。另一类是公理推理系统，它只能从 若干给定的公理出发， 应用系统中推理规则进行推理演算， 得到 的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。
二、练习题 1． 用不同的方法验证下面推理是否正确. 对于正确 的推理还要在 P 系统中给出证明. （1） 前提：pq, 结论：p （2） 前提：qr, 结论：qp pr q
解（1）答案：不正确
验证答案，需将推理形式结构改为另一种形式 (pq)qp 只需证明()不是重言式 方法一 等值演算 ()
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq 易知 10 是成假赋值，故()不是重言式，所以推理不正确.
方法二 主析取范式法 经过演算后可知 () m0m1m3 未含 m2, 故()不是重言式. 方法三 真值表法 ()的真值表（中间过程没写出）为 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 (pq)qp 1 1 0 1
二、自然推理系统 P 定义 3.3 P 的定义如下 1． 字母表 （1） 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … （2） 联结词符号：, , , , （3） 括号与逗号：(, ), ， 2． 合式公式（同定义 1.6） 3． 推理规则 （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。 （2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为 后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以 用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
（3）证明 ① s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦ q 请用直接证明法证明之 附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
3. 归谬法（或称反证法） （1）欲证 A1 A 2…A kB 前提：A 1 , A2 , … , A k 结论：B （2）将B 当前提，推出矛盾，得证（1）正确 （3）理由 A1 A 2…A kB (A 1A 2…A k)B (A 1A 2…A kB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A 1A 2…A kB)为重言式
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做）
方法四 P 系统中构造证明 证明： （直接证明法） ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
(2)证明： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ┐p∨q p→q r∨┐q q→r p→r r→s p→s 前提引入 ①置换 前提引入 ③置换 ②④假言三段论 前提引入 ⑤⑥假言三段论
从最后一步可知推理正确，p→s 是有效结论。 可以在自然推理系统 P 中构造数学和日常生活中的一些推理， 所得结论都是有效的， 即当各前提的合取式为真时， 结论必为真。
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
第三章 命题逻辑的推理理论
本章的主要内容 推理的形式结构 自然推理系统 P 本章与其他章的联系 本章是第五章的特殊情况和先行准备
第一节 推理的形式结构
一、何为推理？何为证明？ 1． 例子 （1） 正项级数 i 1 a n 收敛当且仅当部分和 S n i 1 an 上有界
n
（2） 若 AB 且 CD，则 ACBD （3） 若今天是星期一，则明天是星期二 （4） 若 ACBD，则 AB 且 CD 2． 推理——从前提出发推出结论的思维过程 上例中， （1）（2）（3）是正确的推理，而（4）是错误的推理. ， ， 3．证明——描述推理正确或错误的过程。严格定义见下页.
2. 推理的形式结构（多种形式） （1） 设={ A1, A2, …, Ak} ┣B （2） A1A2…AkB （3） 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B （4） 说明： 当推理正确时， （1）中记为╞ B， （2）中 记为 A1A2…AkB
3. 判断推理是否正确的方法（多种） （1） 真值表法 （2） 等值演算法 （3） 主析取范式法 （4） 构造证明法（见下节） 说明： 当命题变项少时， （1）——（3）方便 简化真值表法 （1）（2）, （3）用形式结构（2） ， 构造证明法用形式结构（3） 本教材不用形式结构（1）
三、在自然推理系统 P 中构造证明 1． 直接证明法 例 用构造证明法构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备 课. 我今天下午没备课. 所以，说明天是星期一或星期三 是不对的. 构造证明 （1） 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s： 我备课 （2） 形式结构 前提：(pq)r, rs, s 结论：pq
解
解上述类型的推理问题，首先应该将简单命题符号化。然后分别
写出前提、结论、推理的形式结构，接着进行判断。
4. 推理定律 （1） 推理定律——重言蕴涵式 （2） 重要的推理定律 A (AB) (AB) A (AB)A B (AB)B A (AB)B A (AB)(BC) (AC) (AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD) (AB)(AB) B (AB)(CD)( BD) (AC) 附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难 构造性二难（特殊形式） 破坏性二难
关于推理定律的几点说明： A, B, C 为元语言符号 若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的 A B 产生两条推理定律
第二节 自然推理系统P
一、形式系统 1．形式系统的定义 定义 3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： （1） 非空的字母表，记作 A(I). （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作 E(I). （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). （4） 推理规则集，记作 R(I).
例
在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明。
Baidu Nhomakorabea
如果小张守第一垒并且小李向 B 队投球，则 A 队将取胜；或者 A 队未取胜， 或者 A 队获得联赛第一名； 队没有获得联赛的第一名； A 小张守第一垒。 因此， 小李没有向 B 队投球。
解 先将简单命题符号化。
设 p:小张守第一垒。 q:小李向 B 队投球。 r:A 队取胜。 s:A 队获得联赛第一名。
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
2．设 A1,A2,…,Ak，B 中共出现 n 个命题变项，对于任何一组赋 值 α1,α2,…,αn(αi =0 或者 1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有 以下四种： (1) A1∧A2 ∧…∧Ak 为 0，B 为 0. (2) A1∧A2 ∧…∧Ak 为 0，B 为 1. (3) A1∧A2 ∧…∧Ak 为 1，B 为 0. (4) A1∧A2 ∧…∧Ak 为 1，B 为 1. 由定义 3.1 可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因 而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。 3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论 B 一定为 真，这与数学中的推理是不同的。
（3） 证明 ① rs ② s ③ r ④ (pq)r ⑤ (pq) ⑥ pq 前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤置换
2. 附加前提证明法 （1） 欲证： 前提：A 1 , A2 , …, A k 结论：CB （2）等价地证明 前提：A 1 , A2 , …, A k, C 结论：B （3）理由： (A 1A 2…A k)(CB) ( A1 A 2 …A k)(CB) ( A1 A 2 …A kC)B (A 1A 2…A kC)B