固体物理(第11课)索末菲模型

如果 U(r) 不含时间 ,自由粒子的薛定谔方程
的解
可以用分离变量法简化
考虑写成下列形式：
(r, t) ( r ) f ( t )
将其代入薛定谔方程 ,并把方程两边用 ( r ) f ( t )去除
得到
i df
1 2 [-
2 U ( r ) ]
f dt 2m
上式左边只含 t ,而右边只含 r , t和 r 是互相独立的变量 ,
数，是前进的平面 波，称为行波解
x L x eikxL 1 周期性边界条件： y L y eikyL 1
z L z eikzL 1
通 金kkkzxy过属 周中222LLL期电nnn性子zxy 边的nnnz界能xy条量ZZZ件是导不E致连 了续22mk波的2 矢、 2k分mh的2立L2量的n子x2，化每n2y。一 n组z2 nx、
2 2m
2
x2
V x,
y, z
E , 定态薛定谔方程
(x, y, z) 粒子的定态波函数
5.2.2 单电子的本征态和本征能量
1.电子气的本征态 设Fˆ为算符，U为一个函数，为常数
设 一 金 属2若 为 表有 示F立 ˆ空 U 间 边 方 某 U， 点 长 体 则 处L为 单 称 。 ， 积位 为元 且 体 算 其 中符粒 F有 ˆ的子本： 出征现
8.2 索末菲的量子自由电子论
• 前提:物理学家泡利提出了不相容原理：一切由自旋 等于半整数的粒子——费米子组成的系统中，不能有 两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。这一原 理推动了电子自旋概念的确立。
• 费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计 基础上,提出电子服从某一统计规律,后来称为费米－ 狄喇克统计分布。
2
3
V
8
3
3.
单位体积对应的量子态数目：2
L
2
3＝4V 3
说明
➢ 电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波
长由k确定，而k又取决于倒ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矢量b，每个倒易矢 量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族
晶面的面间距。
➢ 故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子
波长 为na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长
(x) 2 sin n x
LL
自由电子的能量是：
E8h22mk2 8h2Ln2
式中，n=1,2,3﹍这正 好表明金属丝中自由 电子的能量不是连续 的，此处的n仅代表 自由电子的可取能级。 每个能级可容纳两个 自旋方向相反的电子。
•三维金属自由电子的能级
设一电子在边长为L的立方体金属块中运动，取势阱内 Ep(x, y,z) 0
利用能量动量关系式
E p2 2m
得到
i - 2 2
t 2m
设粒子在力场中的势能
为 U(r), 则粒子能量和动量关系
式为
E p2 U (r) 2m
上式两边同乘以波函数
( r , t ), 并以算符 i 和 i 分别 t
代替 E 和 p ,得到下列方程
i - 2 2 U (r) t 2m
V(x, y,z)几 0率 函 值， 数 ，U波 0对 x为函 ,应y算x数,的 符 ,z归 yF0ˆ粒或 的 ,一 z子 件 x本 L化运 ,： 征 条 y动 ,态 函z2状 Ld称 数r为 ，1 本 而征 此U态 时
HˆE在金属内部有：
－2m 2 2EEA 22m keik2r
Aeikxxkyykzz
2 d 1 r A 2 d 1 r A 2 V A 2 L 3 1 A 1 L 3 /2
V
第一采种用分解离法变：量法驻，波并解代 入固定边界条件：
x0 y0
xL yL
0 0 ，可得到方程的解为：
z0 zL 0
E
(2 L)3 2 sin(
L
2k 2 2m
nz Z
2 n x
I
2n y
J
2 n z
K
L
L
L
其中 L Na a 为晶格常数
k 2nxI 2nyJ 2nzK
L
L
L
k空 间 波矢空间 状态空间
K
x
nx
L
1
K
y
ny
L
2
Kz
nz
L
3
其中
n n
x y
0,1,2
n
z
图2.5 K空间的状态分布
• 由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每
3.件条金推件属导. 中 金能 属E量 中2电4mh子2L2的 的能 能量级.说对明应量多 子少 化成种 态立量 ，的子
对应多少种波函数？
波长 ,频率 ,沿x方向传播的平面波可用 下式来表示 :
A cos[2 ( x t)]
如果波沿单位矢量 n 的方向传播 ,则
A cos[ 2 ( r n t )]
A cos[ k r t ] 其中 k 2 n
将其改写成复数形式
:
2
A e i(k r t) 将 P k 和 E 代入上式 ,得到与自由粒子联系
2 y2
2z2 )
Vx,
y,
z,ti
t
式中Ψ Ψ(x,,yz,t)是粒子在势V场 x,y,z,中 t 运动
的波函数 。
2. 定态薛定谔方程：
在恒定势场条件下，V即x, y, z,t Vx, y, z
波函数应有以下形式：(x,
y,
z,
t)
i
e
E t
其空间部分ψ ψ(x, y, z)应满足如下方程：
PE
k
能量不连续
5.2.1 索末菲自由电子气模型
• 独立电子：电子之间无相互作用 • 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 • 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 • 引入了泡利不相容原理 • 服从费米－狄喇克统计分布 • 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由电
子的薛定谔方程。
同理有
2 t 2
p
2 y
2
(r,t)
2 t 2
p
2 y
2
(r,t)
将以上三式相加得
同理有
2 x 2
2 y2
2 z 2
2
p2 2
(r,t)
其中 是劈形算符 , i j k x y z
由上式可得 : - 2 2 p 2 ( r , t ), 即 p 与算符 i 相当 .
(r)(1)3 2ei(kxxkyykzz)
L
补充
3. 自由粒子的能量 E,动量 P,波长 ,频率 满足以下方程： E h
P h n k
上述公式称为德布罗意 公式.由于自由粒子能量和动 量都 是常数 ,所以由德布罗意公式可 知,与自由粒子联系的波 ,
平面波 . 它的频率和波矢 (或波长 )都不变 ,即它是
人们采用波恩-卡门条件即所谓的周期边界条件让电 子波函数能够在三维相界面上周期性重现，来求得行波 解。
(0 ,y ,z) (L ,y ,z);(x ,0 ,z) (x ,L ,z) (x ,y ,0 ) (x ,y ,L )
有此求得波矢
kx2L n x;ky2L n y;kz2L n z
自由电子定态波函数的行波解为：
的平面波 :
A
e
i
(
p
r
Et
)
这种波称为德布罗意波
对自由粒子波函数
A
e
i
(
pr
Et
)
求偏微商
, 得到
t
i
E
由上式可得
i E 即 E 与算符 i 相当
t
t
对自由粒子波函数
A
e
i
(
p
r
Et
)
进行二次偏微商
, 得到
2 t 2
Ap
2 x
2
e
i
(
p
x
x
p
y
y
p
z
z
Et
)
p
2 x
2
(r,t)
经上 解得电子的波函数的驻波解
(x ,y ,z) (1 )3 2sin n x x sin n y y sin n z z LL L L
电子的能量
E8m h2L2 (nx2 ny2 nz2)
电子的状态可以有一组正整数来确定，波函数所描 述的金属块中的电子是在势垒的反射下做来回往复的运 动，尽管电子并不是静止的，但电子的平均动量和平均 速度等于零，与实际不符。此外，对于驻波态的解，当 L趋于无穷大，得不到平面波。
或
E - 2 2 U ( r ) [- 2 2 U ( r )]
2m
2m
上式称为薛定鄂方程
算符 [- 2 2 U ( r )] 称为哈密顿算符 2m
于是上式可写成
H E
, 通常以 H 或 Hˆ 表示
这种方程称为本征值方
程 , E 称为算符 H 的本征值 , 称为
算符 H 的本征函数 .
度L，且该平面波与晶面垂直。 ➢ 可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用
了波恩-卡门周期性边界条件。 ➢ 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩
-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求
作业
• 1 简要说明索末菲模型的主要内容.及其与特鲁 德模型的区别.
• 2 写出单电子近似条件下,金属晶体中的定态薛 定谔方程及电子的波函数,利用周期性边界条
h2 2mL2
nx x)sin( L n y
n
2 x
n
2 y
n
2 z
y)sin(
L
nzz)
❖ 该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平 均速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电 子的输运问题。所以选用周期性边界条件，获得行 波解。
它是自由电子波函
第二 种A 解ik r 法 e ：A 行i波k x x 解e k yy k zz
三维定态薛定谔方程式为：
2 2 2 82mE (x,y,z)0
x2 y2 z2 h2 驻波边界条件：
采用分离变量法求解，令
(x ,y ,z) x(x )y(y )z(z)
x0,(x) 0;xL,(x) 0 y0,(y) 0; yL,(y) 0 z 0,(z) 0;z L,(z) 0
归一化条件：
V|(x,y,z)|2dV1 0
个能带中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很 大，一个能带中众多的能级可以近似看作是连续 的，称为准连续。 • 由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反 的电子，所以每个能带可以容纳2N个电子。
在k空间中：
1.
每个k点占据的体积： 2
3
8 3
L V
2.（单位k体点积的中分含布有密的度k点数）：
L
8.2.2索末菲电子气的能量状态
8.2.2.1 无限势阱 定态薛定谔方程的解
一维金属晶体中自由电子的能级
Ep(L) E0(L) 0 Ep(L)
E p (0) 0
2 x2 8h2 2mE(x)0
边界条件：x=0,(x)=0; x=L,(x)=0
波函数在X=0~L区间归一化
解得自由电子的波函数是：
所以只有两边都等于同
一常量时 , 等式才被满足 ,
以 E 表示这个常量 .
由等式左边得到 i df E 即 i df Ef
f dt
dt
由等式左边得到 - 2 2 U (r) E
2m
解出
f(t)
Ce
iE
t
则有
(r,
t
)
(r
)Ce
iE
t
薛定谔方程简介
1. 含时薛定谔方程：
2m2 (2x2
ny、 nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。
波矢k
E
Ae ik r
Ae i k x x k y y k z z
2k 2 2m
h2 2 mL 2
n
2 x
n
2 y
n
2 z
k
x
2 L
nx
k
y
k
z
2 L 2 L
ny nz
nx Z
0nx,ny,nz N
ny Z k kxI kyJ kzK