集合及其表示方法练习题(含解析)
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集合及其表示方法练习题(含解析)
基础题
一、选择题
1.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
解析因为集合S={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,由集合元素的互异性可知a,b,c互不相等,所以△ABC一定不是等腰三角形.故选D.
2.下列集合的表示方法正确的是()
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}
B.不等式x-1<4的解集为{x<5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
解析A中应是xy<0;B中的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x,应为{x|x<5};C中的“{}”与“全体”意思重复.故选D.
3.下列集合恰有两个元素的是()
A.{x2-x=0} B.{x|y=x2-x}
C.{y|y2-y=0} D.{y|y=x2-x}
解析A为一个方程集,只有一个元素;B为方程y=x2-x的定义域,有无数个元素;C为方程y2-y=0的解,有0,1两个元素;D为函数y=x2-x的值域,有无数个元素.故选C.
4.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()
A.1 B.3
C.5 D.9
解析根据已知条件,列表如下:
根据集合中元素的互异性,由上表可知B={0,-1,-2,1,2},因此集合B中共含有5个元素.故选C.
5.若2∉{x|x-a>0},则实数a的取值范围是()
A.a≠2 B.a>2 C.a≥2 D.a=2
解析因为2∉{x|x-a>0},所以2不满足不等式x-a>0,即满足不等式x-a≤0,所以2-a≤0,即a≥2,故选C.
二、填空题
6.若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},则用列举法表示B=________.
解析由题意,A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},依次计算出B中元素,用列举法表示可得B ={4,9,16},故答案为{4,9,16}.
7.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,则实数a的取值范围是________.解析当a=0时,A={x|x=-
4
3};当a≠0时,关于x的方程ax2
-3x-4=0应有两个相等的实
数根或无实数根,所以Δ=9+16a≤0,即a≤-9
16.故所求的a的取值范围是a=0或a≤-
9
16.
8.已知集合A中的元素均为整数,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
解析根据“孤立元”的定义,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共有6个.故答案为6.
三、解答题
9.用适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值不大于3的偶数的集合;
(2)被3除余1的正整数的集合;
(3)一次函数y=2x-3图像上所有点的集合;
(4)方程组
⎩⎪
⎨
⎪⎧x+y=1,
x-y=-1
的解集.
解(1){-2,0,2}.
(2){m|m=3n+1,n∈N}.
(3){(x,y)|y=2x-3}.
(4){(0,1)}.
10.已知集合A={a+3,(a+1)2,a2+2a+2},若1∈A,求实数a的值.
解①若a+3=1,则a=-2,
此时A={1,1,2},不符合集合中元素的互异性,舍去.
②若(a+1)2=1,则a=0或a=-2.
当a=0时,A={3,1,2},满足题意;
当a=-2时,由①知不符合条件,故舍去.
③若a2+2a+2=1,则a=-1,
此时A={2,0,1},满足题意.
综上所述,实数a的值为-1或0.
提高题
1.已知集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},M={x|x=6n+3,n∈Z}.
(1)若m∈M,则是否存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立?
(2)对于任意a∈A,b∈B,是否一定存在m∈M,使a+b=m?证明你的结论.
解(1)设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z),
令a=3k+1,b=3k+2,则m=a+b.
故若m∈M,则存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立.
(2)不一定.
证明如下:设a=3k+1,b=3l+2,k,l∈Z,则a+b=3(k+l)+3.
当k+l=2p(p∈Z)时,a+b=6p+3∈M,
此时存在m∈M,使a+b=m成立;
当k+l=2p+1(p∈Z)时,a+b=6p+6∉M,此时不存在m∈M,使a+b=m成立.
故对于任意a∈A,b∈B,不一定存在m∈M,使a+b=m.2.设实数集S是满足下面两个条件的集合:
①1∉S;②若a∈S,则
1
1-a∈S.
(1)求证:若a∈S,则1-
1
a∈S;
(2)若2∈S,则S中必含有其他的两个数,试求出这两个数;
(3)求证:集合S中至少有三个不同的元素.
解(1)证明:∵1∉S,∴0∉S,即a≠0.
由a∈S,则1
1-a
∈S可得1
1-
1
1-a
∈S,
即1
1-
1
1-a
=
1-a
1-a-1
=1-1
a
∈S.
故若a∈S,则1-1
a
∈S.
(2)由2∈S,知
1
1-2
=-1∈S;
由-1∈S,知1
1-(-1)
=1
2
∈S,
当1
2
∈S时,1
1-
1
2
=2∈S,
因此当2∈S时,S中必含有-1和1
2.
(3)证明:由(1),知a∈S,
1
1-a
∈S,1-1
a
∈S.
下证:a,1
1-a
,1-1
a
三者两两互不相等.
①若a=1
1-a
,则a2-a+1=0,无实数解,
∴a≠1
1-a
;