1.1 正弦定理(一)

A

5.56 sin 55 sin 25
10.78km.
思考：这个三角形中还有哪些未知量？你会求吗？
一个三角形中共有几个元素？分别是哪些？ 三边三角共六个元素 知三求三
A
c
B
a
C
对正弦定理的再认识
解三角形
b 由六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少有 一个是边），求其余三个未知元素的过程.
a b c c. b sin A sin B sin C
C
在直角三角形中, 各边和它所对角
的正弦之比相等（等ຫໍສະໝຸດ 斜边长）.caB 文字语言
该结论，对任意三角形也成立吗？
数学实验
归纳总结，完善猜想
猜想: 在任意三角形ABC中, 各边和它 所对角的正弦之比相等, 即 A
abc sin A sin B sin C
A
c
b
因为 AD⊥CB，
所以
uuur uuur CB AD 0
B
a 图① D
C
则
uuur uuur uuur uuur AB AD AC AD ， 所以
AD·c·cos∠BAD=AD·b·cos∠CAD
所以 c·cos∠BAD=b·cos∠CAD，即 csinB=bsinC 向量的数量积是将
第1章 解三角形 1.1 正弦定理（一）
苏教版 数学必修5
结合实例，提出问题
C马山
55° A
实？际问题
5.56km
数学问题
100° 南泉B
在△ABC中，已知AB=5.56km，A=55°，B=100°，求BC .
由已知条件，能不能唯一确定三角形？
如何求出BC的长？
三角形中的边和角的问题
观察特例，提出猜想
此时也有 sin B AD ,
c
B
sin ACB sin 180 ACB sin ACD AD
b
仿（2）可得 a b c .
sin A sin B sin C
综上可知，结论成立.
A
c b
图② C
D
证明猜想，得出定理
若C为锐角（如图①），
要证
bc sin B sin C
A
即 bc sin B sin C
所以 a
b
a 同理可s得in
c.
AcsinaAsinbsbiBncC
c
需要分类讨论
（sin过C点B作AC边上的高）
锐角三角形/钝角三角形
sin A sin B Bsin C
CD
证明猜想，得出定理
（3）若C为钝角（如图②），
过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，
C
正弦定理可以解决哪些解三角形问题呢?
55° A 已知两角与一边 已知两角与任一边，求其余元素
100° 5.56km 已知两角与（两唯角一的解公）共边
B
运用定理，解决问题
向量的数量积
试着用向量来证明！
证明猜想，得出定理
若C为锐角（如图①uu）ur ，u若uurC为uu钝ur 角、直角呢？ 证明：在△ABC中，CB AB AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
CB AD AB AC AD AB AD AC AD
B
直角三角形中该比值为斜边长 c
a
C
猜想：任意三角形中，该比值为外恰外接好接圆为圆此 直直直 径径角. 三角形
证明猜想，得出定理
B
设圆O是△ABC的外接圆，直径BD=2R.
a （1）当A为锐角时，连接CD， 则∠BCD=90°，
O
在Rt△BCD中，a=2RsinD =2RsinA
A
C （2）当A为钝角时，连接CD，则∠BCD=90°，
故
bc sin B sin C
同理可得 a c sin A sin C
向量等式转化为数 量等式的常用工具
所以 a b c . sin A sin B sin C
证明猜想，得出定理
结论:在任意三角形ABC中, 各边和它所对
角的正弦之比相等, 即
A
a b c ? c
b
sin A sin B sin C
C
55° A
BC AB AC
sin A sin C sin B
5.56km 100°
B
BC sin 55

5.565 sin C

AC sin 100
解：因为A=55°，B=100°，所以C=25° .
因为
BC AB AC , sin A sin C sin B
所以
BC

AB sin sin C
只要证 csinB=bsinC
因为 B=90°- ∠BAD， C=90°- ∠CAD
只要证 c·cos∠BAD=b·cos∠CAD
A
c
b
B
图① D C
实数与余弦乘积
只要证 AD·c·cos∠BAD=AD·b·cos∠CAD
即证
uuur uuur uuur uuur AB AD AC AD
D
a=2RsinD =2Rsin（180°-A）=2RsinA
B
（3）当A为直角时，a=2R，显然有a=2RsinA
aO
A
C D
所以不论A为锐角、钝角、直角，总有a=2RsinA 同理可证 b=2RsinB， c=2RsinC 所以 a b c 2R.
sin A sin B sin C
证明猜想，得出定理
c
b
B
a
C
证明猜想，得出定理
证明： 不妨设C是最大角.
A
构造
（1）若△ABC是直角三角形，结论成立. 直角三角形 c
b
（2）若△C为AB锐C角不（是如直图角①三）角，形（如图①），
B
过点A作AD⊥BC于D，此时有 sin B AD , sin C AD ,
图① D
C
c
b
所以 c sin B b sin C,
在直角三角形ABC中,
A
sin A a , sin B b , sin C 1 c b c
c
c
c
c a , c b , c c sin A sin B sin C
Ca B
故 a b c c. sin A sin B sin C
观察特例，提出猜想 A
在直角三角形ABC中, 符号语言
观察式子的结构，它有什么特点？你能用语言把它叙述出来吗？
正弦定理：三角形的各边和它所对角的正弦之比相等.
A c
a b c 2R （R为三角形外接圆半径）
sin A sin B sin C
b
对称美
简洁美
B
a
C
三角形中的边角 （等量）关系
运用定理，解决实例
例1 在△ABC中，已知AB=5.56km，A=55°，B=100°，求BC .（精确到0.01）