计算方法 数值积分-插值型积分

b
a
f(x)dx 的几何表示：由x=a, x=b,
y
y = f(x)
图4-1 数值积分
的几何意义
a
b
最常用的建立数值积分公式的两种方法：
第1种：机械求积方法. 第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法
本段讲授机械求积方法. 由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区
间[a, b]内存在一点ξ ，使得
例2 设积分区间[a, b]为[0, 2]，取
f(x) 1, x, x2 , x3 , x 4 , ex
分别用梯形和辛卜生公式：
f(x)dx
0
2
2
f(0) f(2)
1 0 f(x)dx 3 f(0) 4f(1) f(2)
计算其积分结果并与准确值进行比较。 解: 梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比
以简单函数近似逼近被积函数方法
插值型求积公式
第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法
先用某个简单函数 (x) 近似逼近f(x), 用 (x) 代替 原被积函数f(x)，即

b
a
f(x)dx

b
a
(x)dx
以此构造数值算法。
要求： • 函数 (x) 应该对f(x)有充分的逼近程度,并且容 易计算其积分。
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，
则称该求积公式具有m次代数精度。
若求积公式（4.1）的代数精度为n，则其系数 A k 应满足:
A0 A1 … An b a 2 2 b a A 0 x 0 A1 x1 … An xn 2
b n … A 0 x A1 x A n x n
ξ [a, b]
注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时，
f (x) 0 R(f) 0 因此，求积公式(4.1)成为准确的等 式。
(n 1)
例1 给定插值节点 x 0
为定积分
1
1 1 3 , x1 , x2 4 2 4
f(x)dx
0
构造插值求积公式。
1 l0 (x) x 2 x
1
l (x)dx
2 0 1
1


0
1
1 1 2 8 x 4 x 2 dx 3
从而，得到插值型求积公式如下：

0
1 3 1 1 f(x)dx 2f f 2f 3 4 2 4

b
a
f(x)dx
k 0
A
n
k
f(x k ) (4.1)
当其系数 Ak

b
a
lk (x)dx 时，则称求积公
式为插值（型）求积公式。
记(4.1)的余项为 R(f)，由插值余项定理得
R(f)
其中
f(x) P(x)dx
b a


b
a
f (n 1)(ξ ) ω (x)dx (n 1)!
x
j0 j k
n
x xj
k
n
xj
( k 0,1, , n)

b
a
lk (x)dx
A l (x
j0 j k
j
)
(*)
(x - x 0 )... (x - xk -1 ) (x - xk 1 )... (x - xn ) lk (x) (x k - x 0 )... (x k - xk -1 ) (x k - xk 1 )... (x k - xn )
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插值型求积公式的例子
例3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
当
x k ( k 0,1, … , n)
互异时，有唯一
解 { Ak }
定理4.1
n+1个节点的求积公式

b
a
f(x)dx
k 0
A
n
n
k
f(x k )
插值型求积 公式判断条件
为插值型求积公式公式至少具有n次代数精度。
证:必要性.设n+1个节点的求积公式

b
a
f(x)dx
为插值型求积公式，求积系数为：
将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替
复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，
用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本 章讨论数值积分的主要内容。
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机械求积方法
4.1 数值积分概述
4.1.1 数值积分的基本思想
积分值 I
y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面 积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。
在实际计算中经常遇到以下三种情况： (1) 被积函数f(x)没有用初等函数的有限 形式表示的原
函数F(x)，例如：
1 sinx x2 0 x dx 和 0e dx 1
则无法应用Newton-Leibnitz公式。
(2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但表
达式太复杂，例如 f(x) x2 2x2 3 的原函数：
n
注意lk (xk ) 1, 而当j k的时候，l k (x j ) 0
从而
A l (x
j0 j k
j
) Ak
(**)
所以由（*）和(**)知：Ak 插值型求积公式 。

b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
lk (x)dx ,即求积公式为
重要结论：
梯形公式具有1次代数精度；
辛卜生公式有3次代数精度（同学们自己验证）。
谜

b
a
f(x)dx (b a)f(ξ ), ξ [a, b]
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 f( ξ ) 的矩形面积。但点ξ 的具体位置是未知的, 因而 f( ξ )的
值也是未知的。
三个求积分公式
构造出一些求积分值的近似公式。 例如分别取：
f(a) f(b) f(ξ ) 2
4.0 引言 若函数f(x)在区间[a, b]上连续且其原函数为F(x),
则可用Newton-Leibnitz公式:
f( x ) dx F ( b) F ( a)
a
b
求定积分的值。 评论：Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还 是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不 能完全解决定积分的计算问题。
1 3 2 l0 (x)dx 8 x 2 x 4 dx 3 0 0 1 3 1 l1 (x)dx ( 16) x 4 x 4 dx - 3 0 0
1 1
1
解：以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为
3 1 1 1 3 1 / 8 x x 4 4 2 4 4 2 3 4
1 3 1 1 1 3 1 3 l1 (x) x 4 x 4 / 2 4 2 4 16 x 4 x 4 1 1 3 1 3 1 1 1 l2 (x) x 4 x 2 / 4 4 4 2 8 x 4 x 2

b
a
P(x)dx
b k a
f(x
a k 0
b
n
k
)lk (x)dx

记为
k 0
f(x )
n
lk (x)dx

其中
b
a
f(x)dx
lk (x)dx
k 0
b b
f(x
n
k
)A k
Ak

a
a
ω (x) dx (x xk )ω(x k )
称为求积系数。
定义4.1 求积公式
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差-
求积公式的收敛性与稳定性
第四章 数值积分
1. 数值积分引论 2. 机械求积方法
3. 以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型
求积公式
4. 插值型求积公式的例子
5. 求积公式的收敛性和稳定性
数值积分引论
第四章 数值积分
较如下表所示
f(x) 定积分 准确值 梯形公式 计算值 辛卜生公 式计算值 梯形公式 辛卜生公式
1 2 2 2
2
x 2 2 2
x2 2.67 4 2.67
x3 4 8 4
x4 6.40 16 6.67
ex 6.389 8.389 6.421
f(x)dx
0
2
f(0) f(2)
1 0 f(x)dx 3 f(0) 4f(1) f(2)
• 通常，将 (x) 选取为f(x)的插值多项式, 这样 f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近 似代替。
4.1.2 插值求积公式
, n) 有函数值 设已知f(x)在节点 xk (k 0,1,…
f(x k ) ,作n次拉格朗日插值多项式
P(x)
其中，对k=0,…,n
n
k 0
1 2 2 3 9 2 F(x) x 2x 3 x 2x 3 ln( 2x x2 2x2 3 ) 4 16 16 2
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数
关系由表格或图形表示。
对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函 数计算积分的准确值都是十分困难的。 因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立 积分的近似计算方法。
f(x
n
k
)lk (x)
lk (x)

j0 j k
ω (x) xk x j (x xk )ω(xk )
x xj
… (x xn ) ω(x) (x x0 )(x x1 )
取 P(x)dx 作为
a
b

b
a
f(x)dx 的近似值，即

b
a
f(x)dx
k 0
A f(x
k
k
)
Ak

b
a
lk (x)dx
又f(x) P(x) R(x) ，当f(x)为不高于n次的多项式 时, f(x)=P(x), 其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少
具有n次代数精度。
充分性： 若求积公式至少具有n次代数精度, 则对n次多项式
lk (x)
精确成立，即 其中
可以看出，当f(x)是 x2 , x3 , x4 时,辛卜生公式比 同学们，自己验证 梯形公式更精确。
某求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确 等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标。
代数精度的定义：如果求积公式（4.1）对于一切 次数小于等于m的多项式
m … f(x) a0 a1x a2x amx 2
下面以梯形公式为例进行验证 b b a a f(x)dx 2 f(a) f(b) 取f(x)=1，显然上式两端相等。 b 1 2 ba 2 取f(x)=x, 左 xdx (b a ) (a b) 右 a 2 2 b 1 3 ba 2 2 3 2 2 取f(x)=x , 左 x dx (b a ) (a b ) 右 a 3 2 所以梯形公式只有1次代数精度。
n 0 n 1
在公式4.1中， 令f(x)=1, x, x2, x3,…,xn
n 1

1
n 1
a n1
1 其系数 x 0 2 矩阵 x0 x n 0
… x1 … 2 x1 … … n … x1
1 xn 2 xn xn n
y
y=f(x)
a
(a+b)/2 b xb
用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值
③ Simpson公式

b
a
1 ab f(x)dx (b a)[f(a) 4f( ) f(b)] 6 2
y
y=f(x)
a
(a+b)/2
b Home
Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的 函数值的加权平均值作为平均高度f().
ab f(ξ ) f( ) 2
梯形公式中的 f( ξ ) y 中矩形公式中的 f( ξ ) y
则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。
① 梯形公式

b
a
1 f(x)dx (b a)[f(a) f(b)] 2
y=f(x)
a a
b
bx
用梯形面积代表积分值
② 中矩形公式

b
a
ab f(x)dx (b a)f( ) 2