初中数学中考专题复习《等边三角形》

初中数学中考专题复习

《等边三角形》

【目标】

1. 掌握等边三角形的性质和判定.

2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．

3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

知识点一、等边三角形

等边三角形定义：

三边都相等的三角形叫等边三角形.

知识点解释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角

形．也就是说等腰三角形包

括等边三角形．

知识点二、等边三角形的性质

等边三角形的性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.

知识点三、等边三角形的判定

等边三角形的判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

知识点四、含30°的直角三角形

含30°的直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

知识点解释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.

例题1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

【思路】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO ＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．

【答案】

解：（1）△ODE是等边三角形，

其理由是：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°

∴△ODE是等边三角形；

（2）答：BD＝DE＝EC，

其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝∠OBD＝30°，

∵OD∥AB，

∴∠BOD＝∠ABO＝30°，

∴∠DBO＝∠DOB，

∴DB＝DO，

同理，EC＝EO，

∵DE＝OD＝OE，

∴BD＝DE＝EC．

【总结】本题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解和应用.

举一反三：

【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当

P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.

【答案】

解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，

因此直角三角形PEB中，BE＝1

2BP＝1

3

BC＝PC，

∴∠BPE＝30°，

∵∠EPF＝60°，

∴FP⊥BC，

∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，

∴PE＝PF，

∵∠EPF＝60°，

∴△EPF 是等边三角形．

例题2、已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC

，∠ABC ＝60°，，

AD ＝CE ，求∠BPD 的度数.

【答案】

证明：在ABC ∆中， AB ＝AC ，∠ABC ＝60°

∴ABC ∆为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）

∴AC ＝BC ，∠A ＝∠ECB ＝60°

在ADC ∆和CEB ∆中

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已证已证CE AD ECB A CB AC

ADC ∆≌CEB ∆（SAS ）

∴21∠∠＝（全等三角形对应角相等）

23DPB ∠∠∠＝＋（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角和）

∴13DPB ACB ∠∠∠∠＝＋＝

∴∠DPB＝60°.

【总结】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.

例题3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接

AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；

（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，

将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB

的大小．

【思路】（1）由于△OCD和△OAB都是等边三角形，可得OD＝OC＝OB ＝OA，进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD与△AOC仍然保持全等，∠ACO＝∠BDO，∠AED＝∠ACO ＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝120°，从而

得到∠AEB 的值.

【答案】

证明：（1）∵O 是AD 的中点，

∴AO ＝DO

又∵等边△AOB 和等边△COD

∴AO ＝DO ＝CO ＝BO ，∠DOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°

∴∠CAO ＝∠ACO ＝∠BDO ＝∠DBO ＝30°

∴∠AEB ＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°

（2）∵∠BOD ＝∠DOC ＋∠BOC ，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC

∴∠BOD ＝∠AOC

在△BOD 与△AOC 中，

BO AO BOD AOC DO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△BOD ≌△AOC （SAS ）

∴∠ACO ＝∠BDO

∵∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB

＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝60°＋

60°＝120°

∴∠AEB ＝180°－∠AED ＝60°.

【总结】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.