最新11数列的极限汇总

例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
,
则存在 N , 使当 n > N
时, 有
a12xna12
但因 x n 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间(a12,a12)内, 因此该数列发散 .
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1, 则 $ N , 当 nN 时, 有
xn a 1, 从而有
xna a1 a
取
M mx a 1,x x 2, ,x N,1 a
则有
xn M(n1,2,).
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1)n1 虽有界但不收敛 . 9
3. 收敛数列的保号性.
11数列的极限
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
$正整数 N ,当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
nl im xn a 或 xn a(n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a x n a
(nN)
A B
说明: 定理 4 可推广到有限个数列相加、相乘的情形 .
推论 1 . 推论 2 .
lim [C x n ] C lim x n lim [x n ]k[lim x n ]k
( C 为常数 ) ( k 为正整数 )
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例5 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 n 2 , 则
原式 lim43n1 9n12
几何解释 :
(
a x N 1
)
x N 2 a
即 xn (a,)
(nN)
2
注意: 1.不等式 xn a 刻划了 xn与a的无限接近 ;
2.N与任意给定的正数 有关.
例如,
1,2,3,L, n ,L 2 3 4 n1
n xn n 1 1(n )
收
敛 n(1)n1 xn n 1(n ) 2,4,8,L,2n,Lxn 2n (n ) 发
nl im xn a
证: 由条件 (2) , 0,$N1, N 2 ,
当
时,
当nN2时, zna
令 N m N 1 a ,N 2 x ,则当 nN时, 有
由条件 (1) aynxnzna
即 xna, 故 nl im xn a.
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例6. 证明
证: 利用夹逼准则 .由
n2
n2 n
n n 21 n 2 12 n 2 1n
a.
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说明:
由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
kl i mx2k 1
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三、 极限的四则运算法则
定理4 . 若 n l i x m n A ,n l i y m n B ,则有
(1)n l i m (xnyn)AB
((3 2) )当 nl iy m n x ny0 n且 B AB 0 时 ,nl im xynnLeabharlann n l i m xnb(m)
b
( 证明略 )
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例7. 设
证明数列·
极限存在 .
证: 利用二项式公式 , 有
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
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推论: 若 lim x n A ,lim y n B ,且 xn yn, 则 AB.
提示: 令 vnxnyn 利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个数列相加、减的情形 .
n
52n1
1 n2
“ 抓大头”
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一般有如下结果：
xl i m ab 00 xx m n ab 11 xx m n 1 1 b an m
为非负常数 )
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四、数列极限的判别法
• 准则I（夹逼准则） • 准则II（单调有界数列必有极限）
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1. 夹逼准则 (准则1)
( 1 )y n x n z n ( n 1 ,2 , ) (2 )n l i y m nn l i z m n a
xn (1)n1趋势不定 散3
例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
xn1
n (1)n n
1
0,欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
nN时, 就有
n(1)n 1
n
故
nl i m xnnl i m n(n1)n1
4
例2. 已知
证明
证: xn0
(n
1 1)2
1 n 1
(0,1),欲使
同理, 因 nl im xn b, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 从而 xn a2b
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , 因N a b b 2 2 2 此a a , 收则x 敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx,nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不7等式
只要
1 ,
n 1
即
1 n
1.
取
N [11],
则当
nN时, 就有
xn0,
故 nl im xnnl im (n(11)n)20 也可由 xn0(n11)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N11
不一定取最小的故N也. 可取
N[
1
]
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例3. 设 q 1, 证明等比数列
的极限为 0 .
证: xn0
n2
n2
且
lim
n
n2
n2
n
lim
n
1
1
n
1
lim
n
n2 n2
lim
n
1
1
n2
1
limn
n
n21 n2 12n2 1n Pa1ge
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 )
x 1 x 2 x n x n 1 M
n l i m xna(M)
x1 x2
x n xn1 a M
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此 , 取
N1llnnq
, 则当 n > N
时,
就有
qn10
故
limqn1 0
n
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
及
且 ab.
取
, ba 2
因 nl im xna, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
从而 xn a2b
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
若
则 0, $ N , 当
时, 有
现取正整数 K=N , 于是当 k K时, 有
xN
x nK
nk n K nN N *********************
N
nK
从而有
xnk a , 由此证明
kl imxnk