第2章内弹道部分-part4内弹道解法(二)

k 4 f ( xn h, yn hk3 )
内弹道的解法
四 . 内弹道数值解法
② 自变量的选择 火药燃烧时，Z 为自变量，火药燃烧后，以 为自变量方便，炮口处不必插值。 ③ 编程步骤 ⑴ 输入已知数据 炮口及弹丸诸元： s, v0 , lg , m 装药条件： f , , , p , , u1 , n, 0 , , , , s , s 起始条件： p0 计算常数： 1 , 0 计算步长: h
式中：
p0 f
( x 0, v 0,V 0, p p0 )
1
பைடு நூலகம்

p
(1 )
2
S 2 Ib B ( f) 22 n f m
以 为自变量，则 X X 1 (, , B) 。
内弹道的解法
四 . 内弹道数值解法
d 火药燃烧结束以后， 0, 1 ，则上述方程组可变为： d
内弹道部分
§4 内弹道的解法
（二）马耶—哈特模型的分析解 在 V 算法模型的基础上，加上三个简化假设：

（余容假设） p 可以得到马耶—哈特模型：
p0 0; 1;
1
Z
dZ p dt I K
dv m Sp 及 dt
mv
dv Sp dl
v
2
p(V V1 ) f
已燃部分：
2 1 1 2 1 1 2 2
相对已燃厚度：
Z1 1 / 01
两个燃气生成方程：
Z 2 2 / 02
1 1 Z （ ） 1 1 1 Z1
2 2 Z（ 2 1 2 Z 2）
通常不同的火药的燃速系数和火药力差别不显著，故设
全弹道划分 100～200 个点即可。
四 . 内弹道数值解法
⑶ 初值计算
内弹道的解法
1 1 p p0 ， 0 0 v0 0 0 ， 0 f f / p ( 1 / p )
4 0 1 x 2
Z0
1
⑷ 弹道循环计算 中间最大压力搜索，特征点的判断。 ⑸ 输出
'
内弹道部分
§4 内弹道的解法
以及
1 ' ' f B 1 pm 2 1 B' V1 ( ) 2
1 B'

火药燃烧后的弹道解与前面
v vj V1 Vk 1 V V 1
代入上式得：
f F ( ) pm 1 B
上式表明 pm 与
（最大压力与装填条件关系式）
f
成正比，且 与 B和有关，pm 随 B的减小
而增大。
内弹道部分
§4 内弹道的解法
S 2 I k2 B f m
f 2 2u12m pm F ( ) 2 2 S 0 (V0 )
步长
h xn1 xn
h 已知 xn、yn 时： yn1 yn (k1 2k2 2k3 k4） 6
其中：
k1 f ( xn , yn )
h h k 2 f ( xn , yn k1 ) 2 2 h h k3 f ( xn , yn k2 ) 2 2
m
2
式中 V1 V0
内弹道部分
§4 内弹道的解法
Z x 由于 0 0 ，有Z 0 0 ，所以
。又由于
0 ，则 B1 B 2
dV Bxdx V V B x 2 2
。所以内弹道最基本微分方程
dV Bd V V1 1 B 2
内弹道部分
§4 内弹道的解法
当 dp dV 0 时，得到 Vm 和
pm
Vm 2 2 1 V1 2 ，
2
f 1 2 2 1 f F ( ) pm ( ) V1 B 2 2 1 V1 B
将 V1 V0 ， / V0
为基本量，得出相应的无量纲参数为：

p
p
，
V
v
，
t
t
，v
v
v
则内弹道方程组可无量纲化为： 四 . 内弹道数值解法
Z (1 Z Z )
2
内弹道的解法
dZ d

zB
n
dv d 2
( ) v
起始条件为：
2
0, 0, v 0, 0

vk2 1 2 v j
V1 Vk 1 V1 Vk k p pk ( ) pk ( ) V1 V V1 V
相同，该模型较马耶—哈特模型有较好的适应性。
内弹道部分
§4 内弹道的解法
混合装药内弹道模型
应用要求：榴弹炮、近代的可燃药筒 根据战术要求，榴弹炮的射程应该有大幅度变动，而且还要 给出较大的着角，以保证弹丸的杀伤效果。 以两种不同的火药为例 :
第二章 内弹道部分
内弹道部分 （Interior Ballistics）
§4 内弹道的解法与设计 §1 内弹道系统及内弹道发展简史 1、内弹道方程组的建立
2、内弹道方程的解法 §2 火药燃烧规律经典理论
3、内弹道设计方案的评价标准与设计步骤 §3 弹丸在膛内的运动 4、装填条件对弹道的影响
§4 内弹道的解法与设计 §5 短程内弹道
1 ( )
Z (1 Z Z 2 ) Z 1 s Z (1 s Z ) 1 Z Zb 1 Z Zb
四 . 内弹道数值解法
① 常用的方程组数值求解法是 4 阶龙格-库塔法
y ' f ( x, y), y( x0 ) y0, (一个自变量）
dv m Sp dt
Sp（l l ) f
mv 2
2
内弹道部分
(四 ) 内弹道数值解法
一般情况，方程组的较高精度解只能通过微分方程的数值方
法得到。
数值求解步骤： ⑴ 建立或选用内弹道数学模型； ⑵ 选择适当的数值求解方法（将模型转化为计算机可供运 行的数值模型；
⑶ 编程和调试； ⑷ 计算。 为使计算程序有较大的通用性，通常采用内弹道相似模型求 解，对于内弹道方程组：
可化为
进一步就可以得到以 为自变量的各解析式：
SI k v m
，
1 V V1 1 2 1 B 2
内弹道部分
§4 内弹道的解法
p f B 1 V1 2
2
内弹道的解法
四 . 内弹道数值解法
Z (1 Z Z 2 )
dZ p n dt Ib
m
dv Sp dt
mv 2 p[v v0 (1 ) ] f p 2
将其中的各特性系数分别取为：
p f ，v v j
2 f V ，v V0 ，t 0 m Sv j
装填条件包括：火药的形状、装药量、火药力、火药的
压力全冲量、弹重、药室容积、挤进压力、拔弹力和点火 药量等。
§4 内弹道的解法
内弹道部分
装填条件对弹道的影响 1)火药的形状变化的影响
2)装药量变化的影响
3)火药力变化对各弹道诸元的影响 4)火药压力全冲量对弹道诸元的影响 5) 弹重变化的影响
6) 药室容积变化对弹道诸元的影响 7) 挤进压力变化的影响
8) 拔弹力变化对弹道诸元的影响 9) 点火药对弹道诸元的影响
装填条件对弹道的影响 需求：ⅰ检验工作；ⅱ改进现有试验的弹道性能。
⒈火药形状变化的影响 火药形状的变化可用火药形状特征量 来表示。 其它条件不变时， 增大， pm 也随之增大，火药燃烧结束早， v0 增加很慢。实践中应注 意火药形状的选择、工艺条件的控制、工艺方法的改进以及合理设计装药结构等。 ⒉ 装药量对弹道诸元的影响 火药生产必须满足初速 v0 和膛压 pm 的要求， ，火药气体总能量也增大。 其它条件不变时， ，会导致 v0 和 pm ，但 pm 的增加比 v0 快，所以 的变化对 pm 的 影响更大一些。
d V d
dv d 2
dZ n d 2B
其中
Zb
d 0 ， ( 0 0 ) 2 0
0.2956 圆柱形 S 2 I b2 ，B ( f) f m 0.1547 花边形
( ) v 2
1
内弹道部分
V 1/V 1/V
｀
0
｀ l
lg l
内弹道部分
内弹道部分
§4 内弹道的解法
装填条件对弹道的影响 为了改进武器的弹道性能，必须了解装填条件对弹道 性能的影响。影响弹道性能的因素诸多，最终体现在最大
压力和初速。而且武器 -弹药系统体现出来的弹道性能不是
单一因素的效果，而是多种因素的综合效果。
' '
B SI k 1 V v 1 1 m V 1
'
对上式取 dp dV 0 ，则给出如下最大压力点的位置及最 B 大压力公式： 1 Vm V1 1 1 ' 2 B
'
取为常量时，可以
p( Z ) ，进而给出p 和v 以V 为自变量的表达式： 得出v( Z ) ， V (Z ) ，
内弹道部分
§4 内弹道的解法
1 ' B B V f V p 1 1 1 V1 V1 V1
马耶 —哈特模型在定量上虽非精确，但定性地表明了 各量之间的关系。
内弹道部分
§4 内弹道的解法
（三）恒温模型的分析解
Z Z
dZ p dt I k
dv dv m Sp及mv Sp dt dl
p(V V1 ) f '
V1 V0 式中
mv 2 ， f f 1 2 f

同样可以得出以V为自变量的表达式：
2 V 2 1 1 ， B V1

2 f V 2 v 1 1 SIk V1
2 2 f V 2 V 2 p 1 1 1 V1B V1 V1
内弹道计算流程
点
火
时间增量Δ t 是
有发射药吗? 否
是
弹丸速度>0? 否 无发射药， 发射失败
求发射药已燃尺寸百分比
求火药气体压力
弹丸速度>0?
求弹丸速度
求弹丸行程
弹丸是否离开炮管？
P
P m Pk Pg
P~t
P0 O tm tk
2
1 t
后效作用时期
tg
P
Pm
P~l
Pk Pg
P
0
O
ιm
ιk
ιg
ι
1 和 2 且它们的厚度、 设混合装药两种单质药的药量分别为
形状系数、燃速系数及火药力分别表示为 1 和
2 ，11和
2
2
u11
和 u12 ， f1 和 总药量
f2
。
1 2
内弹道部分
§4 内弹道的解法
令 1 1 /
2 2 /
则
1 2 1
dv d 2
( 1 ) ＝ 1 v 2
式中：
1 1
以 为自变量，则 X X 2 (, , B) 。
通过上述分析表明，只要火药的性质、形状以及挤进压力 p0 都相同时，若火炮弹药系统间
内弹道的解法
具有相同的 B，那么就有相同的弹道相对量与 的变化曲线。 和 四 . 内弹道数值解法 考虑多孔火药的情况，内弹道数值解的数学模型：
u11 u12
f 1 f1 2 f 2
内弹道部分
§4 内弹道的解法
所以，混合装药内弹道模型满足：
1 1 2 2
1 1 Z （ ） 1 1 1 Z1 2 2 Z（ 2 1 2 Z 2）
d u1 p, u11 u12 u1 dt