高等数学(同济第六版)上下册课后题答案00020

x3 3x 2 x 3 ( x 3)(x 1)(x 1) 函数在( )内除 ( x 3)(x 2) x2 x 6
点 x2 和 x3 外是连续的 所以函数 f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、 (2 ) 在函数的连续点 x0 处 lim f ( x) f (0)
1 1
xQ 在 R 上处处不连续 但|f(x)|1 在 R 上 xQ
处处连续 (3)f(x)在 R 上处处有定义 但仅在一点连续
可以验证
x 解 函数 f ( x) x
续 习题 19
xQ 在 R 上处处有定义 它只在 x0 处连 xQ
因此
2 ( x) 1 [ f ( x) g ( x)| f ( x) g ( x)| ] 2 ( x0 ) 1 [ f ( x0 ) g ( x0 ) | f ( x0 ) g ( x0 )| ] 2
x 0
1 2
1 n 1 是 f(x)的所有间断点 且它们都 2 n

在函数的间断点 x2 和 x3 处
lim f ( x) lim
x 2
1 1 解 函数 f ( x) csc(x) csc 在点 x0 1 2 n x 2 n
x 3 x 2
x3 3x 2 x 3 的连续区间 并求极限 lim f ( x) x 0 x2 x 6
lim f ( x) 及 lim f ( x)
解 f ( x)
由极限的局部保号性定理 存在 x0 的某一去心邻域 U ( x0 ) 使当 x U ( x0 ) 时 f(x)>0 从而当 xU(x0)时 f(x)>0 这就是说 则存在 x0 的某一 邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x)0 5 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子 (1)x0 1 2 是无穷间断点
处是间断的 且这些点是函数的无穷间断点 (2)f(x)在 R 上处处不连续 但|f(x)|在 R 上处处连续 解 函数 f ( x)
( x 3)(x 1)(x 1) x 2 ( x 3)(x 2)
x 3
lim f ( x) lim
( x 1)(x 1) 8 x 3 x2 5
( x) 1 [ f ( x) g ( x) | f ( x) g ( x)| ]
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2 设函数 f(x)与 g(x)在点 x0 连续 证明函数
(x)max{f(x) g(x)} (x)min{f(x) g(x)}
在点 x0 也连续 证明 已知 lim f ( x) f ( x0 ) lim g ( x) g ( x0 )
x x0 x x0
4 证明 若函数 f(x)在点 x0 连续且 f(x0)0 则存在 x0 的某一邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x)0 证明 不妨设 f(x0)>0 因为 f(x)在 x0 连续 所以 lim f ( x) f ( x0 ) 0
x x0

1 求函数 f ( x)