高三数学第一轮复习讲义 多面体和球

高三数学第一轮复习讲义 多面体和球

【知识归纳】

1、多面体有关概念：

（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。

（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。

2、正多面体：

（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。

（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：

正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 3、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r ＝2

2

d R -。

提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。

4、球的体积和表面积公式：V ＝234,3

4

R S R ππ=。 【基础训练】

（1）．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是 （ ）

A ．三棱锥

B ．四棱锥

C ．五棱锥

D ．六棱锥

（2）．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 A ．24 B ．22 C ．18 D ．16（ ） （3）．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （ ） （4）．已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V 分别等于 （ ） A ．F=6,V=26 B ．F=8,V=24 C ．F=12,V=20 D ．F=20,V=12 （5）在半径为10cm 的球面上有C B A ,,三点，如果︒=∠=60,38ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为__ __；

（6）已知球面上的三点A 、B 、C ，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13， 则球心到平面ABC 的距离为____ __ （7）．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面

一头的圆周长的

4

1

，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是 A ．41 B ．π2141- C ．81 D ．π

2181-（ ）

（8）在球内有相距9cm 的两个平行截面，面积分别为49πcm 2π2则球的表面积为___ ___； （9）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的表面积与体积；

（10）已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱长均为

3，︒=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为__ ____； 【例题选讲】

【例1】已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为

2

13, 试求第

三条侧棱长的取值范围．

【例2】已知简单多面体的顶点数．面数．数分别为V ．F ． E ． 多面体的各面为正x 边形，过同一顶点的面数为y ． 求证： .2

1111=-+E y x

空

x (时间)

P

Q

满

y(水量) O

A

C

D

【例3】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a ． （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离；

（Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 的位置关系， 并证明你的结论．

【例4】如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ，2=SA ，D 为BC 的中点．（1）判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥ABC —S 的体积为

6

3

，且BAC ∠为 钝角，求二面角A BC ——S 的平面角的正切值； （3）在（Ⅱ）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离．

【例5】．过半径为R 的球面上一点P 引三条长度相等的弦PA 、PB 、PC ，它们间两两夹角相等。

（1）若∠APB=2θ，求弦长关于θ的函数表达式. （2）求三棱锥P —ABC 体积的最大值（14分）

【巩固练习】

1．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对 角线长为 A ．5 B ．6 C ．32 D ．14 【 】 2．长方体三条棱长分别是AA ′=1，AB=2，AD=4，则从A 点出发，沿长方体 的表面到C ′的最短矩离是A ．5 B ．7 C ．29 D ．37【 】 3．平行六面体的棱长都是a ，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该

平行六面体的体积为 A ．3

a B ．

3

2

1a C ．322a D ．323a 【 】 4．正四棱锥的一个对角面与侧面的面积之比为8:6，则侧面与底面所成的二

面角为A ．12π B ．4π C ．6π D ．3

π

【 】

5．设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数

是E ，面数是F ，则它们之间的关系不正确的是 【 】 A ．nF=2E B ．mV=2E C ．V+F=E+2 D ．mF=2E 6．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1、2、3，则此三棱锥的外接球面积为A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 【 】 7．半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，A 与B 、A 与C 之间的球面距离都是

2π，B 和C 之间的球面距离为3

π

，则过A 、B 、C 三点的截面与球心的距离是 A ．

7

21

B ．

7

2

2 C ．

3

3 D ．

2

2

【 】 8.地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经 30°）的最短距离为（地球半径为R ） 【 】 （A ）R （B ）

42R π （C ）3R π （D ）2

R

π 9.在底面边长为6㎝、高为14㎝的正三棱柱内放入相同的n 个球，使球半径尽

量大，则n ＝

10．在平行四边形ABCD 中，AD=a ，AB=2a ，∠ADC=60°，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，以MN 为折痕把平行四边形折成三棱柱AMB —DNC 的两个侧面，求三棱柱体积的最大值.

11．如图，直三棱柱的底面为Rt △ABC ，

∠ACB=90°，AB=4，∠ABC=15°，将两侧面 C 1CAA 1与C 1CBB 1铺平在一个平面内，得矩形

A ′

B ′B 1′A 1′.此时A ′

C 1⊥B ′C 1，求棱柱的侧面积.

12．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，底面边长为3，侧棱长为4，连CD 1，作C 1M ⊥CD 1交DD 1于M.

（1）求证：BD 1⊥平面A 1C 1M.

（2）求二面角C 1—A 1M —D 1的大小.