Markov链在中国人口年龄结构预测中的应用

摘要

基于马尔可夫链的预测模型, 利用2001- 2006年中国人口年龄结构数据, 计算了中国人口年龄结构变化的一步转移概率, 最后利用计算的转移概率矩阵预测了未来中国的人口年龄结构。得出的结论是: 中国现在及今后100年内老龄化趋势会不断加剧, 老龄化速度先快后慢, 最终中国人口年龄结构会趋于稳定, 但是总体上老龄化速度没有人们普遍预计的那么快。

关键字：马尔可夫链；转移概率矩阵；人口年龄结构

目录

摘要 (1)

一、背景 (3)

二、马尔可夫链的基本介绍 (4)

1.Markov过程 (4)

2.转移概率 (4)

3.时齐马尔可夫链 (4)

4.转移概率矩阵 (5)

三、数据分析 (6)

1.建立人口年龄结构的预测模型 (6)

2.预测模型的应用 (6)

四、结论分析 (11)

参考文献 (13)

一、背景

人口年龄结构指一定时点、一定地区各年龄组人口在全体人口中的比重, 又称人口年龄构成, 通常用百分比表示。人口年龄结构是过去几十年、甚至上百年自然增长和人口迁移变动综合作用的结果, 又是今后人口再生产变动的基础和起点。在人口与经济社会发展的关系上, 人们把注意力更多的放在人口数量及其增长速度上, 因为人口增长得太快、数量太多, 就会抵消经济增长的成果, 使人均GDP增长缓慢。而人均GDP 是衡量经济社会发展的一个很重要的指标, 全面建设小康社会就要求人均GDP 达到3000美元以上。所以, 人们比较重视人口总量变化对经济社会发展的影响, 更多地把注意力放在了如何控制人口的增长上, 而对人口年龄结构变化对经济社会发展的影响则重视不够。事实上, 人口年龄结构变化对经济社会发展的影响, 并不亚于人口数量变化对经济社会发展的影响。因为, 不同年龄的人群所具有的经济社会特征是不一样的, 他们在经济社会发展中的作用也是不一样的, 可以说人口年龄结构不仅对未来人口发展的类型、速度和趋势有重大影响, 而且对今后的社会经济发展也将产生一定的作用。所以探讨人口年龄结构的现状及其变化趋势意义重大, 对我国可持续发展战略的制定有很重要的参考价值。

马尔可夫随机过程已经被广泛地运用于经济社会的各个方面, 其中代表性的研究包括: 张雅清等运用马尔可夫链模型预测了我国各地区的人均GDP 的变化趋势,杨楠等尝试着将灰色马尔科夫模型运用于房价指数的预测分析,并对2003年7月到2005年7月间的中房上海住宅指数和办公楼指数进行了实证分析, 结果表明该模型的拟合精度较高, 在房价指数的预测中有较强的适用性。结论认为: 1997年至2002年, 市场总体近一半的时间处在熊市, 另一半时间处在慢牛市和疯牛市, 总体而言, 市场处于均衡状态, 状态转换的时间反映出我国股市仍然是政策市。由上文献综述也可以看出, 到目前为止还没有学者将马尔可夫理论运用于人口年龄结构的预测, 那么基于马尔可夫理论, 中国人口年龄结构的预测模型如何建立? 中国人口年龄结构的转移概率矩阵如何? 数年后中国人口年龄结构又会变成怎样? 这是我们都很关注的问题。正是基于上述几点考虑, 我们将马尔可夫链的预测模型应用于我国人口年龄结构的研究。

二、马尔可夫链的基本介绍

马尔可夫链模型是一种常用的概率模型,其原理为利用概率转移矩阵所进行的模拟分析。此模型为一动态模型，参数可随时间而变，故可以用来预测未来事物变化状态的趋势。

1.Markov过程

随机过程｛X n,n=0,1,2,3,…｝若它只取有限或可列个值E0,E1,E2,…，我们用｛0，1，2，…｝来标记E0,E1,E2,…，并称它们是Markov过程的状态。｛0，1，2，…｝或其子集记为S，称为过程的状态空间)对任意的n≥0及状态i, j, i0, i1, …i n-1有P{X n+1=j|X0=i0，X1=i1，…，X n-1=i n-1，X n=i}=P{X n+1=j|X n=i} （1.1）式(1.1)刻画的Markov链的特性称为Markov性。

Markov链表示一个随机序列的条件概率只与最近的系统状态有关，而与先前系统状态无关，所以Markov性也被称为无后效性。Markov性也可以用一句通俗的话来概括——已知现在，将来与过去无关。

2.转移概率

称式（1.1）中的条件概率P{ X n+1=j|X n=i}为Markov链｛X n,n=0,1,2,3,…｝的一步转移概率，简称转移概率。

3.时齐马尔可夫链

当Markov链的转移概率P{ X n+1=j|X n=i}只与状态i,j有关，而与n无关时，称Markov链为时齐的，并记P ij= P{ X n+1=j|X n=i}(n≥0)。

不管Markov链的状态是否有限，我们都可以将P ij（i,j∈S）排成一个矩阵的形式，令

()⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛==

434241403332313023222120

1312111003020100ij P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P (1.2)

4. 转移概率矩阵

称式（1.2）为转移概率矩阵，容易看出P ij （i,j ∈S ）有性质 （1） P ij ≥0，i,j ∈S （2）

∑i

ij P

=1，i ∈ S （1.3）

5. Chapman-kolmogorov,C-K 方程

P

)n m (i j +=p

p

)n (kj

S

k )

m (ik

∑∈或P (m+n)=P (m)P (n) (1.4)

P

m ij

= P { X n+m =j|X n =i}为m 步转移概率，⎪⎭

⎫ ⎝⎛=p p

)m (ij )

m (为m 步转移概率矩阵