中文翻译-Erlang(2) 风险过程的破产概率

Erlang(2) 风险过程的破产概率David C.M. Dickson a, Christian Hipp ba 墨尔本大学,b 卡尔斯鲁厄大学D - 76128卡尔斯鲁厄 德国摘 要在本文中我们考查了理赔发生时刻服从()2Erlang 分布的风险过程，我们把在无限时间内的生存概率作为一个复合的几何随机变量并且最初盈余为0和索赔发生的时刻分布给出了破产的概率表达式。

我们提出了在个体理赔额服从相同分布的情况下明确的生存和破产解决办法并且提出在理赔额服从其他分布时生存和破产概率的计算法。

© 1998 Elsevier Science B.V.关键词：Erlang 过程、破产概率、递归计算1. 介绍在这篇文章中考察理赔发生为Erlang 过程的风险过程，在特殊情况下我们假设理赔发生的时间间隔（和直到第一次理赔发生的时间）为独立同分布的随机变量定义为{}1i i T ∞=，密度函数为()20tk t t for t eββ-=>例如服从()2,Erlang β分布。

让{}1i i T ∞=作为独立同分布的随机变量，i X 是第i 次理赔的数量。

()F x 为其分布函数，当其存在时，()f x 为其密度函数，1m 为个体平均理赔额，c 为单位时间内保费收入我们假定()()i i cE T E X >我们定义初始盈余为u 时的破产概率为()()1Pr 0,1,2,3...ni i i u u cT X for some n n ψ=⎛⎫=+-<= ⎪⎝⎭∑()()1u u δψ=-为生存概率。

如果i X 的概率生成函数存在，那么这个风险模型的调节系数R 为恒正唯一的，且有{}{}exp exp 1i i E cRT E RX ⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦我们的目的是得到破产和生存概率的分析方法和计算结果。

在本文的第二部分我们给出一些关于()u δ的方程，在第三部分我们利用得出()0δ，并且我们得到复合几何分布的时的表达式()u δ。

在第四部分我们讨论了phase-type 分布情况。

最后，在第五部分复合几何分布时的表达式()u δ的计算方法，并且利用其计算在()u δ不易计算时近似破产概率和破产边界2. 预备知识首先，我们可以调整Dickson (1998)一些结果，由()()()()0u ctu k t u ct x dF x δδ∞+=+-⎰⎰我们可得()()()()()2222202u d d cu c u u u x dF x du du δβδβδβδ-+=-⎰ 然后我们定义()()()()*0ˆsusxs u du and f s dF x eeδδ∞∞--==⎰⎰由Laplace 变换()u δ和()F x 得()()()()()2221222*02ˆ21c s m c s c s cs fs δββδββ+-=-+-最后，我们定义L 为最大损失，有()()Pr ,u L u δ=≤由Laplace 变换()u δ，定义()u δ()()()()()2221*222*0221sLc s m c s s E c s cs fs e δββφββ-+-⎡⎤==⎣⎦-+-注意到经典的风险模型中一样，L 在复合几何分布时，我们可得()()()()**01s u r s δφψ=-并且()()*0sxr s dR s e∞-=⎰()R x 服从的ladder height 分布，为方便起见，我们介绍()Q x 分布且定义为()()()0111xQ x F y dy m =-⎰而且()()()**11sxf s q x dQ x m se∞--==⎰我们可以注意到()Q x 是与经典风险模型相似的ladder height 分布。

3. 主要结论在这节中我们得到()0δ的一个方程而且对于ladder height 分布。

我们由（2.2）可得()()()221*22*1022c s m c s c s c m q s δββφββ+-=-+由2120m c ββ-< 我们可以看出()22102c s m c δββ+-有一个大于0的解()()()22012/0s c m c ββδ=-因为()*s φ对于任意S>0是恒正的，因此我们也可以得到等式()()22*120I s c s c m q s ββ=-+=注意到（3.2）是有问题（1.1）调节系数的定义式，然而在没有调节系数的情况下（3.2）还是有正解且唯一。

鉴于此，得到()()()()()2221020,lim 10sxs I m c I s and I s x F x dx eβββ-→∞''=-<=∞=->⎰因此，当()00I '≥函数()I s 在()0,∞上递增；当()00I '<函数()I s 在()0,∞上递增有界。

在此两种情况下（3.2）存在且唯一。

因此得到()21220c m c s ββδ-= 我们可以把（3.1）写作()()()()()()20*22**0100c s s s cs s m q s q s δφβ-=⎡⎤-+-⎣⎦所以有()()()()()()()()2****100*120010m q s q s q s q s r s m s sc s s βγδ⎡⎤--⎣⎦==---未来发现ladder height 分布()R x ，我们把()*rs 写成()()()()()()()()()()()()()()()0000000*000001111111sxs xs x s s xxs xs s ys s y s xysyr s F x dxs s F x dxs s dy F x dx F x dxdy G y dyeee ee ee e eγγγγγ∞--∞---∞---∞∞---∞-=---=---=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰此处有()()()()01,0s s yyG y F x dx y e∞--=->⎰因此，ladder height 分布的密度函数定义为()r y ，而且()()222010,02//r y G y y c c s m s βββ=>-+例3.1 假设F 服从指数分布，()()1exp F x x α=--我们得()()0001s y s xyyG y dx s eeeααα∞--+-==+⎰并且()R x 的密度函数与()exp y α-, y > 0 成比例，在此有()()R x F x =，0s 是以下方程的唯一的正解()()2222220c s c c s c αββαβ+-+-=以上在220c βαβ-<推荐下成立。

4. Phase-type 分布Phase-type 分布由Neuts 在1975年提出，通过一个定义在有限状态空间{}0,1,2...,,1I I ≥下连续时间相似的马尔可夫链()X t 定义得到。

并且马尔可夫链假定是不可约的，定义随机变量(){}inf 0:0T t X t =≥=在任何情况下是有界的，而且其分布叫做参数为()πππ=*0,,I 的Phase-type 起始分布，而且(),,1,...,i ji j IB b ==有以下定义()(){}()+===+→≠=,|,0,,,1,2,...,i j P X t h j X t i b ho h hi j i j I ()(){}()+===-+→≠=,|1,0,,1,2,...,i j P X t h i X t i b h o h h i j i I假如π=00且{}==00P T ，在此情况下的分布叫做适定的Phase-type 分布，我们也使用符号()πππ=1,...,I ，有一些Phase-type 分布的例子是混合指数分布的。

对于此分布的一些更广泛且深刻的性质参考Neuts (1977) and Asmussen (1987)。

更一般的和有用的矩阵指数分布请参考Asmussen and Bladt (1996)，在Asmussen and Rolski (1991) and in Asmussen (1992)中给出了Phase-type 分布在破产论和排队论中的应用。

对于理赔服从Phase-type 分布时，在无限时间内的破产概率可以得到明确的形式。

无论索赔时间间隔服从指数分布还是()β2,Erlang 分布，让我们会议经典复合泊松模型，当索赔时间间隔i T 服从参数为β的指数分布时，破产概率是微不足道的()10/1,c m c ψβ=<此处()c u ψ是经典风险模型中的破产概率；假如理赔服从参数为π和B 的适定Phase-type 分布时，那么11m B e π-''=-且()()()ˆˆ0exp c c u uB e ψψπ'= 有()1,...,e I =是单位矢量，并且有()111ˆB e m π-'=- ()ˆˆ0cB B b ψπ=+ I I martrix ⨯-矩阵元素ˆ,,1,...,,i j b i j I π=，并且通过以下定义 ()(){}()0|,0,,1,2,...,i P X t h X t i b h o h h i I +===+→=矩阵指数()exp sA 可以计算出，例如1101A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，我们可得结果0t t t e te e ---⎛⎫⎪⎝⎭例4.1 当F 服从参数1β=和4c =的()2,1Erlang 分布时，我们得()2,1,0,I π==和1101B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭那么 ()()ˆ01/2,1/2,1/2c ψπ==，11ˆ1/43/4B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭有方程（4.3）我们得到如下结果()()()0.55317exp 0.359610.05317exp 1.39039.c u u u ψ=---例4.2 假如我们取2个Erlang(2)的混合分布，即()2,1Erlang 和()2,2Erlang ，且1,4c β==，4I =。

1100010000220002B -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，1/201/20π⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11001/87/81/161/16ˆ00221/41/41/815/8B-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，1/31/3ˆ1/61/6π⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么破产概率为：()()()()()()()0.40026exp 0.519490.04764exp 2.43637.0.02238exp 1.39707cos 0.153110.21635exp 1.3977sin 0.15311c u u u u u u u ψ=---+---现在我们考查理赔时间间隔服从()2,Erlang β分布的情况，并且索赔额服从参数为().B π的任意适定phase-type 分布，对Q 进行Laplace 变换得到()()1*11q s sId B e m π-'=- 当11m B e π-'=-并且Id 是I I ⨯的方阵时，我们可以从下面等式得到0s()12220c s c sId B e ββπ-'-+-=而且()()()22211120020.c c s c m sId B e m cs c s βββψπ--+'==---具有双参数(),B π的ladder height 分布在此有()()110B B s Id πρπ--''=-而且在这里参数ρ和π一样都是随机变量，为得到下式()()()()01,s s yyG y F x dx e∞--=-⎰我们可以看出()()()()()()()()()()()()()()()000001101exp ,1exp ,exp 1exp exp 1ys xs ys y s xyF x xB e F x x B s Id e x B s Id yB e B s Id yB F x dx F x d ex e e e e ππππ-∞-∞----'-='-=-'=-'=---⎰⎰并且最后其拖尾概率()R x 与下式成比例()()()()001101exp s s xyy ud F x y B s I d d B yBe x e eπ∞∞-----'=-⎰⎰Phase-type 分布的拖尾破产概率是：()()()ˆ0exp c c u uBe ψψπ'=其中ˆB和（4.5）中一样。