有序地质量最优分割法

第七章有序地质量最优分割法

第一节概述

地层划分与对比是煤田地质勘探的主要任务之一。在地质工作中，通常是寻找地层的不整合或假整合界线，或者利用古生物化石、岩石矿物等地质特征对地层进行划分与对比。这种划分方法比较直观，适用于较大地层单元的划分与对比。当地质特征间的差异性不显著时，运用上述直观、定性的方法来解决较小地层单元的进一步划分就有一定的困难。因此，近年来开始利用有序地质量，即运用数学方法，并借于电子计算机定量地划分地层，提出了“有序地质量最优分割法”。

地质数据中有相当多是有序的。这些按一定顺序排列的地质变量，叫做有序地质量。例如，沿地层露头剖面采集的岩石标本；钻孔取出的岩芯样品；与这些岩石、样品有关的岩性、物理化学和古生物数据；以及地球物理测井数据等。它们都是有序地质量。这类数据的特点是样品的前后次序不能变更。所以，一些不考虑样品排列顺序的数学处理方法，对此不适用。有序地质量最优分割法，就是对一批有序数据（地质体）进行分段的统计方法。

设有n个按顺序排列的样品，每个样品测得p个变量，这批

数据可用数据矩阵的形式表示为

[]nxp

np n n p p il x x x x x x x x x x X ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛==ΛM M M M ΛΛ212222111211 其中，il x 表示第i 个样品第l 个变量的取值。

若对以上n 个有序样品进行分割（分段），可能有

12

1

112211-=+++-----n n n n n c c c Λ

种划分方法，每一种分法称为一种分割。在所有这些分割中，存在这样一种分割，它使得各段（组）内部样品之间的差异性最小（即样品数据的组内离差平方和最小），而使段（组）之间的差异性最大（即样品数据的组间离差平方和最大）。这种对n 个样品分段并使组内离差平方和最小的分割方法，称为最优分割法。

样品变量总离差平方和的分解式为

B W T += （7—1）

式中，T 为总离差平方和；W 为组内离差平方和；B 为组间离差平方和。

由式（7—1）可知，如果n 个样品分为K 段，每段的样品个数为k n ，若每个样品只取一个变量，则

∑∑==-=K k n i k ik

k

x x W 11

2)(

（7—2）

∑∑∑===-=-=K

k k k K

k n i k

x x n x x B k

1

2

112

)()(

（7—3）

因此，寻求最优分割，就是用计算的分法找出使组内离差平方和（W ）最小的那些分割点。这与判别分析中费歇准则相似，所以有序地质量最优分割法，有人又称为“F -分割法”或“有序样品的聚类分析”。

第二节 单元有序数据的最优分割

若有n 个有序样品，每个样品只取一个变量，则有n 个有序数据序列，为

{}n x x x X ,,,21Λ=

现在试图将这n 个样品按顺序分割为K 段，使段（组）内离平差和尽可能小，而组间离差平方和尽可能大。为此，用

{}j i i

x x

x ,,,1

Λ+表示从第i 个样品数据开始至第j 个样品数据为止的

某段样品，其中

n j i ≤≤≤1

该段样品变量的离差平方和为

()[]2

),(,∑=-=j

i

j i j i x x d αα

（7-4）

式中 ()∑=+-=j

i

x i j j i x αα11

,

由于),(j i d 能够反映样品段{}j i i x x x ,,,1Λ+内样品间差异的情况，

),(j i d 愈小，表示段内各样品之间差异性愈小；反之，),(j i d 愈大，

表示段内各样品之间差异性愈大。因此，又把),(j i d 称为{}j i ,,Λ段的直径。

若

n

个样品分为

K

段：

{}1

11211

,,,n x x x

Λ

{}{}k

Kn K K n x x x x x x

,,,,,2222221

2ΛΛΛ，为最优K 段分割。其各段离差平方

和（段直径）分别为：),(1j i d ，),(),,(2j i d j i d K Λ。根据最优分割的原则，其组内离差平方和必须满足

()

[]

()()()min

,.,,2111

2

=+++=-=∑∑==j i d j i d j i d j i x x W k K k n i k ik k

Λ

（7-5）

或 ()[]

∑==-=K

k k k x j i x n B 1

2

max ,

（7-6）

在实际应用时，往往事先不知道n 个有序样品客观上究竟能划分为几段。因此，必须从最优分成二段、三段、…、K 段进行

分析。

一、最优二段分割

若把n 个有序样品{}n x x x ,,,21Λ分为两段，则有如下1-n 种不同的分法，即

{}1x {}n x x x ,,,32Λ {}21,x x {}n x x x ,,,43Λ {}321,,x x x {}n x x x ,,,54Λ {}ΛΛΛΛΛ{}ΛΛΛΛΛ {}121,,,-n x x x Λ{}n x

在上述1-n 种分法中，究竟哪一种方法最优？只须计算出每一种分割的组内离差平方和，并从其中找出组内离差平方和()W 最小的那一种分割，就是所求的最优二段分割。

在n 个有序样品中，对任意一个()11-≤≤

n j j 都可以确定一个

二段分割，即{}j ,,1Λ{}n j ,,1Λ+。若把对n 个样品在第j 个样品处进行的二段分割的组内离差平方和记为

()()()n d d j W n ,21,1;2+= （7-7）

式中，n 表示被分割的样品数；2表示把n 个样品分为二段；

j 表示以第j 个样品为分割点。