浅析泰勒公式在求极限中的应用

版权所有

翻印必究 1

浅析泰勒公式在求极限中的应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它可以将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，因此应用十分广泛，多用于以下四个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

3、证明不等式。

4、求待定式的极限。

在考研中，多应用于极限的计算和不等式的证明。而要准确的应用泰勒公式，首先要知道定义，然后要弄清楚泰勒公式应用的方法，本次以其在极限计算中的应用为例讲述。

一、定义

泰勒公式是一个将在0x x =处具有n 阶导数的函数()f x 利用关于0x x =的n 次多项式来逼近函数的方法。

若函数()f x 在包含0x 的某个闭区间[,]a b 上具有n 阶导数，且在开区间(,)a b 上具有1n +阶导数，则对闭区间[,]a b 上任意一点x x，成立下式：

()20000000()()()=()+()())()()2!!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''-+-++-+ 其中，表示()f x 的n 阶导数，等号后的多项式称为函数()f x 在0x 处的泰勒展开式，剩余的()n R x 是泰勒公式的余项。

二、应用

既然泰勒展开后是多项式，那么在应用时就必须弄清楚三点：

1.

展开的基点2.

展开的阶数3.余项的形式

版权所有翻印必究

2在极限计算中，余项的形式是佩亚诺（Peano ）余项，是0()n

x x -的高阶无穷小，即0()()n n R x o x x =-。而基点和阶数要根据具体的问题来定。例：求2

0444lim x x x x →++-解：这题用洛必达上下求导也可以解出来答案，但分子中含有根号，求导后相应也会变复杂，考生如若马虎很容易出错，但用泰勒公式就会方便很多，首先基点取0x =处，展开的阶段，发现分母是2

x ，所以泰勒公式展开到二阶即可。12222

1111142121((()2()4242224464x x x x x o x x o x ⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+⋅-⋅+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

12222

1111142121((()()2()4242224464x x x x x o x x o x ⎛⎫⎛⎫-=-=+⋅-+⋅-⋅-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以本题2

022222022

20444

lim 112()2()4464464lim 1()32lim 1x x x x x x x x x o x x o x x x o x x →→→+-+-++--+-=-+==-根据以上步骤可以发现，虽然洛必达最终也会算出结果，但是与泰勒公式相比，明显泰勒公式在求极限中可以大大简化计算，为考试争取更多的时间。