-定积分定义

（2)近似 i xi i xi1 Si f (i )xi i 1, 2,L , n
（3）求和 （4）精确
n
Sn f (i )xi
i 1 n
lim
0
Sn
lim 0
i 1
f (i )xi
max
i
xi
如果该极限存在，则称此极限值为函数f (x) 在区间[a, b]上
的定积分，记作
b
f (x)dx
1 3
1 x2dx 1 0
11
y
y x2
lim
max xi 0
Sn
lim
n
n i 1
i n
2 . 1 n
1
o 1 2 i 1 i n 1
nn
nn n
x
12
lim
n
n i 1
i n
2
.1 n
1 x2dx
0
lim
n
1 n
sin
1 n
sin
2 n
L
sin
n n
n
lim n i 1
(3)xi i xi1
（4）b f (x)dx
b
f (u)du
b
f (t)dt
a
a
a
6
定积分存在的条件 必要条件 可积 有界
充分条件 连续 可积
定理 如果被积函数 f (x) 在积分闭区间 [a, b]上连续， 或者仅有有限个第一类间断点，则定积分
b
f (x)dx
必然存在。
a
7
1) 曲边梯形的面积问题
时，定积分
b
a f (x)dx
表示为
x a, x b, y 0, 和曲线 y f (x)围成的面积。
b
y
A a f (x)dx
y f (x)
A
ao
x
b
9
（2） 当 f (x) 0 x [a, b]
y
a
o
b
a f (x)dx A
A
b x
（3）
b
A a | f (x) | dx
A1
精确面积
n
A
lim
max xi 0 i 1
f (i )xi
xi i xi1
3
2）求非均匀分布的细棒质量
设点 x 处的密度为 (x)
分割：将细棒[a,b]分割成n个小段，每段长为 xi xk xk1
近似：每段内任取一点，用该点的密度近似代替该小段
的均匀密度，
mi
(k
)xk
和
n
m (k )xk
b
A a f (x)dx
2）求非均匀分布的细棒质量
b
m a (x)dx
3）求变速运动的在[a,b]时间段的路程
b
S a v(t)dt
变（压）力Ｆ(x) 所作的功
b
W F (x)dx
a
物体在水中所受的水压力Ｐ
b
P a gxdS
x处的压强
微元面积
8
三、定积分的几何意义
（1）由定积分的定义可知，当 f (x) 0,(a x b)
sin i 1 nn
1
sin xdx
0
lim
n
n
1 n2
1
n2
1
22
L
n2
1
n2
lim
n
1
1 1 n
2
1
1
2 n
2
L
1
1 n n
2
1 n
lim
n
n i 1
1
1 i n
2
1 n
11 0 1 x2 dx
13
四、定积分的性质
a
(1) f (x)dx 0 a
15
（8）中值定理
b
f (x) C[a,b] [a,b] a f (x)dx f ( )(b a)
证 f (x) C[a,b]
m f (x) M
b
b
b
a mdx a f (x)dx a Mdx
y
b
m a f (x)dx M ba 由连续函数 的介值定理
分割 a x0 x1 x2 L xi xi1 L xn1 xn b
xi xi1 xi
i 1, 2,L , n
i xi i xi1
每个小梯形 近似面积
Ai f (i )xi
i 1, 2,L , n
n
n
整个曲边梯形近似面积 A An f (i )xi
i 1
i 1
nnn n n
n
xi
1 n
(i 1, n)
（2）取右端点
1
1 n
,
2
2 n
,
L
,
i
i n
,
L
,
n
n n
1
（3）
Si
f
(
i)
xi
i n
2
1 n
Sn
n i1
i
2
.1
n n
1 n(n 1)(2n 1)
n3
6
（4）
lim
max xi 0
Sn
lim
n
n i1
i
2
.
1
n n
lim
n
1 n3
n(n 1)(2n 1) 6
a
b
a f (x)dx A1 A2 A3 A4
y f (x)
y
y f (x)
o
A3
b
A2
A4
x
bx)dx
10
例1
用定义计算定积分 1 x2dx 0
解Q
y x2 C[0,1] 1 x2dx 存在 0
（1）等分
0 1 2 3 L i i 1 L n 1 1
即
a
b
f (x)dx
a
n
lim
0 i 1
f (i )xi
5
b
n
a
f (x)dx lim max xi 0 i1 积分上限
f (i )xi
为积分变量
积分符号
[a, b] 为积分区间
b
f (x)dx a
积分微元
积分下限
为被积函数
(1)
max i
xi
0
n
反之不然
注 (2)a x0 x1 L xi xi1 L xn1 xn b
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
引言 定积分问题举例 定积分的概念 定积分的性质
1
一、引言
1).曲边梯形的面积问题
y f (x), y 0, x a, x b
y
y f (x)
f (i )(xi1 xi )
o a x1 x2
xi i xi1
xn
2xn
b
1
xi i xi1
x
2
曲边梯形面积的计算
b
a
(2)a f (x)dx b f (x)dx
(3) b f (x) g(x)dx
b
f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
a
b
b
(4)a kf (x)dx k a f (x)dx
b
c
b
(5)a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
b
(6)a 1dx b a
14
oa
k
xk 1 xk
x
b
k 1
n
精
m
lim
0
k
1
( k
)xk
xi xk xk 1
4
二、定积分的定义
设函数 y f (x) 在区间[a, b]上有界，
（1)分割 a x0 x1 x2 L xi xi1 L xn1 xn b
xi xi1 xi
i 1, 2,L , n
b
(6) f (x) 0 a f (x)dx 0
b
b
f (x) g(x) a f (x)dx a g(x)dx
b
b
a f (x) dx a f (x)dx
b
(7)a b,m f (x) M m(b a) a f (x)dx M (b a)
b
b
b
a mdx a f (x)dx a Mdx