二次微分方程的通解

二次微分方程的通解Last revision on 21 December 2020

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线

性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程

ypyqy 0

称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数

如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC 1y 1C 2y 2就是它的通解

我们看看 能否适当选取r 使ye rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye rx 代入方程

ypyqy 0

得

(r 2prq )e rx 0

由此可见 只要r 满足代数方程r 2prq 0 函数ye rx 就是微分方程的解

特征方程 方程r 2prq 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式

求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解

这是因为

函数x r e y 11=、x r e

y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(21212

1-==不是常数 因此方程的通解为

x r x r e C e C y 2121+=

(2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解

这是因为 x r e y 11=是方程的解 又

0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r

所以x

r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为

x r x r xe C e C y 1121+=

(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数ye (i )x 、ye (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数ye x cos x 、ye x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得

y 1e (i )x e x (cos xi sin x )

y 2e (i )x e x (cos xi sin x )

y 1y 22e x cos x )(2

1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y i

x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解

可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解

因此方程的通解为

ye x (C 1cos xC 2sin x )

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy 0的通解的步骤为

第一步 写出微分方程的特征方程

r 2prq 0

第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解

例1 求微分方程y 2y 3y 0的通解

解 所给微分方程的特征方程为

r 22r 30 即(r 1)(r 3)0

其根r 11 r 23是两个不相等的实根 因此所求通解为

yC 1e x C 2e 3x

例2 求方程y 2yy 0满足初始条件y |x 04、y | x 02的特解

解 所给方程的特征方程为

r 22r 10 即(r 1)20

其根r 1r 21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y (C 1C 2x )e x

将条件y|x04代入通解得C14 从而

y(4C2x)e x

将上式对x求导得

y(C24C2x)e x

再把条件y|x02代入上式得C22 于是所求特解为

x(42x)e x

例 3 求微分方程y2y5y 0的通解

解所给方程的特征方程为

r22r50

特征方程的根为r112i r212i是一对共轭复根

因此所求通解为

ye x(C1cos2xC2sin2x)

n阶常系数齐次线性微分方程方程

y(n) p1y(n1)p2 y(n2) p n1yp n y0

称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2 p n1p n都是常数

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去

引入微分算子D 及微分算子的n次多项式

L(D)=D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n)y0或L(D)y0

注 D叫做微分算子D0yy D yy D2yy D3yy D n yy(n)

分析令ye rx则

L(D)yL(D)e rx(r n p1r n1p2 r n2 p n1rp n)e rx L(r)e rx

因此如果r是多项式L(r)的根则ye rx是微分方程L(D)y0的解

n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

L(r)r n p1r n1p2 r n2 p n1rp n0

称为微分方程L(D)y0的特征方程

特征方程的根与通解中项的对应

单实根r对应于一项Ce rx

一对单复根r12i对应于两项e x(C1cos xC2sin x)

k重实根r对应于k项e rx(C1C2x C k x k1)

一对k重复根r12i 对应于2k项

e x[(C1C2x C k x k1)cos x( D1D2x D k x k1)sin x]