从几何的角度看代数问题

从几何的角度看代数问题

陈苗华黄晓华彭泽曼陈霞婷

指导老师：耿堤

华南师范大学数学科学学院广州 510630

摘要：将复杂的代数问题转化为几何问题，往往有事半功倍的效果，这里从构造几何图形的角度对代数问题进行求解，介绍了几种方法以及实例，包括了构造三角形，正方形或矩形，长方体，棱锥，以及利用托勒密定理。

关键词: 构造几何图形代数不等式证明

引言

数学学习，从更深的层次讲，是发散型思维活动的学习，如果我们在学习数学的过程中。例如，在做各种数学习题的过程中，能主动地依据问题的已知条件和所求所证，多方向、多角度地拓宽我们的思维渠道，那么，我们的创造性思维能力将会得到很快的发展。下文仅从构造图形解决数学问题培养数学创造性思维展开。构造图形解题，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，因为构造适当的几何图形往往能使问题的解决变得非常简洁巧妙。

论文分为两部分，主要通过列举来说明，第一部分是对不同图形构造的总结（一共总结了六大类），第二部分是列举不等式证明题目，题目采用不同解法（主要是通过构造不同图形）。部分题目是我们自己设计的，部分题目是从参考文献中提取并用不同解法得出的，在文中均有注明。

1..图形构造的几类方法的总结

1.1构造三角形解决代数问题： 1.1 .1利用勾股定理构造直角三角形 例1

【1】

已知x 、y 、z 、r 都为正数，且,222z y x =+.222x r x z =-求证：.rz xy =

分析：由,222z y x =+很容易想到勾股定理，且又注意到x 、y 、z 都为正数的条件，则会想到

构造直角三角形来解决问题

.

证明：构造直角三角形如上图，其中，x BC =，y AC =，z AB =；作CD ⊥AB 于D ，由射影

定理,

2222,CD x z x BD AB BC -=∙=即有有，又由题意有,222r x z x -=且r ＞0， 从而有CD=r ，所以△ABC 的面积2

2S ABC rz

xy ==△，这可得.rz xy = 例2

【2】

知：m 、n 、p 为正数，且0222=-+p n m 。求

n

m p

+的最小值. 分析：此题如果直接用代数方法来解，显得难以入手，但题目所给的等式02

2

2

=-+p n m 有

明显的几何结构，将其变形为2

2

2

p n m =+，则会很容易联想到勾股定理，且又注意到m 、n 、p 为正数这个条件，则会想到构造一个有关于直角三角形会有助于解题，从而使问题得到解决.

解：构造以m 、n 为直角边，p 为斜边的Rt △ABC 和Rt △DEC ，如上图摆放，则在

直角梯形ABCD 中，因为AD=p 2，,AD BC ≤所以p n m 2≤

+，

A D

B

C

p

p

m m E n n

所以

2

22=

≥+p

p n

m p

。 所以n m p +的最小值是2

2

. 例3

【3】

设a 、b 、c 、d 都是正数，证明存在一个三角形，它的边长为

ab d b a cd d c a c b 2,2,22222222+++++++

试计算这个三角形的面积

]

3[。

分析：通常的思维是证明三个数中最大数小于其它两数之和来证明三角形的存在，但这道题用此方法是很难证明的，海伦公式求面积法在此题中也很难运用.

注意到222

22)(2a d c a cd d c ++=

+++

222

22)(2b a d ab d b a ++=+++

由勾股定理可构造一个边长为b a +，b a +的矩形如下图：

解：以b a +、d c +为边长作矩形ABCD 如上图，在AD 上取E ，使b AE =，a ED =；在AB

上取F ，

使c AF =，d FB =.由图2易知：

222222)(,)(,b a d FC d c a EC c b FE ++=++=+=

从而△EFC 就是以上三个数为边长的三角形，其面积为：

)(2

1

)(21)(21)(2121-d)b)(c a cd bc ac b a d d c a d c a bc ++=+-+-+-++（

另外，我们模仿别人的题目设计了如下的变式题目并总结出自己发现的结论；

对于一些数学题目中的具体数字，如果能构造成平方和，也可利用上面的方法来解决；

例4设O 是△ABC 的重心，且OA=5，OB=12，OC=13，求△ABC 的面积.

分析：若学生对数字比较敏感，则能发现5,12,13有明显的几何意义，因为有

22213125=+,由此想到可以利用勾股定理构造直角三角形来解题.

A

B

C

D

O

E

解：如上图，延长AO 到D ，使OD=AO ，设AD 交BC 于E ，连结BD 、CD ,

则容易证明四边形OBDC 是平行四边形，从而有DC=OB=12，BD=OC=13，

又OD=AO=5，由2

2213125=+知△OBD 是直角三角形，，︒=∠90BOD

从而BO ⊥AO ,又有AO=OD ,所以301252

1

S S OBD ABO =⨯⨯=

=△△， 又重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等， 所以.90303S A BC =⨯=△ 类似

的

数

组

还

有

(1)3,4,5;(2)7,24,25;(3)11,60,61;(4)12,35,37;

(5)13,84,85;(6)20,21,29;(7)60,91,109;…这些数组都满足两数的平方和等于另一个数的平

方.

由此我们可以总结出结论：设O 是△ABC 的重心，满足222|OC ||BO ||AO |=+，则

|BO ||O |2

3

S ABC ∙⨯=A △.

具体证明可以仿照例4

证明：不妨我们设,||,||,||c OC b BO a AO ===均为正数，则c b a ,,

如上图，延长AO 到D ，使OD=AO ，设AD 交BC 于E ，连结BD 、CD ,

则容易证明四边形OBDC 是平行四边形，从而有DC=OB=b ，BD=OC=c ，

又OD=OA=a ，由2

22|OC ||BO ||AO |=+知2

2

2

c b a =+，

从而可知△OBD 是直角三角形，，︒=∠90OBD 所以有BO ⊥AO ,又有AO=OD ,所以ab b a 2

1

21S S OBD ABO =⨯⨯=

=△△， 又重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等， 所以,2

3

213S ABC ab ab =⨯=△ 即|BO ||O |2

3

S ABC ∙⨯=A △,结论得证.

小结：由上可知，一般地，如果在数学题目中出现代数式的平方和，或者通过题目的条件能化简