光栅衍射1

对 p(x)点贡献量叠加， E( p) 的值与相邻栅缝的子
波传到 p(x)点的位相差 或光程差 有关。
位相差和光程差的确定
a
db C
B
在P点相干的多光束，相 邻光束光程差
BC d sin
相邻光束位相差
2 2 dsin
2 d f
1 对应衍射光波空间频率关系 f d 2
一维振幅光栅的夫琅和费衍射
(a
f ) ( f
n
m) d
sinc (Nd
f )
CaN sinc
(a
f ) sinc
n
Nd
f
m d
一维振幅光栅的夫琅和费衍射是分波面多光 束干涉强度分布受单缝衍射调制的结果。
衍射光栅
2 d sin
光栅方程 d sin m
L( p)
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
• 用途: 计量(测长，测角)；光谱测量；分光(分束器, 达曼光栅)；DWDS（光纤光栅）光束扫描，光子 晶体等
• 研究方法：多光束干涉和衍射
分波面干涉
• 其他分波面干涉装置
– 光栅
4.4.1 一维振幅光栅
• 观察一维振幅光栅夫琅和费衍射的装置
多缝衍射
S
傅里叶变换法－方法步骤
• 写出照明光波的复振幅 B ,
• 一维振幅光栅夫琅和费衍射的复振幅
E x, y c g f
C
K f
exp
jk( f
x2 2f
y
2
)
E(P)
CG( f )
CaN sinc
(a
f ) ( f
n
m) d
sinc (Nd
f )
CaN sinc
(a
f ) sinc
n
Nd
f
m d
一维振幅光栅的夫琅和费衍射是分波面多光 束干涉强度分布受单缝衍射调制的结果。
N
(
2
m)]2
Analysis of the intensity :
Only is there diffraction： I
-2
-1
1
2
Only is there interference ：
I
There are diffraction and inteIrference：
缺
-2
级
缺
级
2
-5 -4 -2 -1
N
(
2
2
m)]
a
d
N
单缝衍射因子，影响 主亮纹相对强度分布
决定主亮纹位置
决定主亮纹宽度
sinc2 ( a ) d 2
sin m
d
b 2
N
a0
sinc2 ( a ) 1 d 2
各级主亮纹强度相同
N 各级主亮纹成为脉冲序列
L( p)
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
– ① N无穷大，a趋于0； – ②N有限，a趋于0； – ③N无穷大 ，a有限； – ④ N有限，a有限。
一维余弦振幅光栅的夫琅和费衍射
• 一维余弦振幅光栅的振幅透射系数
g()
1
d
d 2
o
d 2
d
3d 2
g
2
1 d
一维余弦振幅光栅的夫琅和费衍射
• 一维余弦振幅光栅的振幅透射系数
• 一维振幅光栅夫琅和费衍射的复振幅和辐照度
E( p) CaN sinc( a ) sinc[Nd ( 1 m)]
d 2 m
d 2 d
a
CaN sinc( ) sinc[N ( m)]
d 2 m
2
L( p)
C
2
a2N 2
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
N
(
2
m)]2
第一个暗纹之间位相间隔
暗纹条件：＝2m 2 L
N
可求得主亮纹位相宽度
b 2
N
– 角宽度δθ’：主亮纹线宽度（中心—相邻暗纹）
对观察透镜张角
2 d sin
– 线宽度
2 d cos
2 b N
Nd cos
采用细度概念
x f f Nd cos
F 2 N
b
一维光栅衍射辐照度分布特点
• 主亮纹强度：用衍射辐照度的主极大值表示
L(
p)
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
N
(
2
2
m)]
第m级主亮纹：
L(m)
N
2
I0
sinc2
(
a d
m)
零级亮纹具有强度最大值 L(0) N 2I0
第m级亮纹相对强度 L(m) sinc2 ( a m)
L(0)
d
一维光栅衍射辐照度分布特点
A( ) B( ) g( ) g( )
傅立叶变换
G
f
aNsinc af
m
f
m d
sinc
Ndf
一维振幅光栅的夫琅和费衍射
• 一维振幅光栅夫琅和费衍射的复振幅
E x, y c g f
C
K f
exp
jk( f
x2 2f
y
2
)
E(P)
CG( f )
CaN sinc
• 单缝衍射中央亮区主亮纹数N
L(
p)
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
N
(
2
2
m)]
单缝衍射因子
sinc2
a d
2
中央亮区位相宽度
w
4d
a
a d
2
1
主亮纹位相间隔
2
N w 1 2d 1
2
a
一维光栅衍射辐照度分布特点
• 缺级问题
L(
p)
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
N
(
2
m)]2
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
N
(
2
m)]2
强度主极大条件 m 0 2
2m
2 d sin
d sin m
(m 0,1,2,)
称为正入射照明的光栅方程
一维光栅衍射辐照度分布特点
• 暗纹和次亮纹
L( p) C 2 a2 N 2 sinc2 ( a d
E(P)
CaN sinc
(a
f ) sinc
n
Nd
f
m d
上式中， f 是光栅衍射的平面波分量的空间频
率，它与衍射角 θ（即平面波波矢与 z 轴的夹角）
的关系为：
f
sin
，衍射角
θ
表示了考察点
P
的位置。
按照惠更斯——菲涅耳原理：若将每一个栅缝
作为一个子波源，则 E( p)应等于各栅缝发射子波
一维余弦振幅光栅的夫琅和费衍射
• 考虑光栅宽度的振幅透射系数
g()
L 1
d
d 2
o
d 2
d
3d 2
作业：1）尝试写出此光栅的振幅透射系数 2）尝试求解平面波正入射照明时光栅的复振幅和辐 照度分布 3）分析描述辐照度分布图形特点
g( )
1 2
1
cos 2
1 d
傅立叶变换
G(
f
)
1 2
f
1
2
f
1 d
1
2
f
1 d
G(
)
2
d
1 2
1 4
2
1 4
2
亮纹
G
m
2
d
1 2
m
1 4
m
1
1 4
m
1
一维余弦振幅光栅的夫琅和费衍射
• 一维余弦振幅光栅的夫琅和费衍射辐照度
相对振幅：
1 2
1 4
1 4
相对强度：14
1 16
1 16
12
45
N=2
缺
级
-5 -4 -2 -1
N=3
缺
级
-5 -4 -2 -1
N=4
缺
级
-5 -4 -2 -1
N=5
缺
级
I
缺
级
12
45
I
缺
级
12
45
I
缺
级
12
45
I
缺
级
-5 -4 -2 -1
12
45
缺级
思考：1. 能看出缺哪些级次吗? d / a 是多少? 2. 光栅的缝数 N 是多少？
思考
• 一维振幅光栅光栅常数为d，缝宽为a，缝数 为N，画图说明以下几种情况衍射图形的辐 照度分布：
波动光学 Wave Optics
第四章 光的衍射
§4.4 衍射光栅
-2级光谱 -1级光谱
中央亮纹
1级光谱
2级光谱
衍射光栅
• 定义：在一定的空间范围内，具有空间周期性结 构，能够按一定规律对光波（电磁波）进行调制 （振幅和位相）的物体或者装置。
• 分类：1D，2D，3D光栅；透射和反射光栅；振 幅和位相光栅；余弦，矩形波，闪耀型等；刻划 光栅，全息光栅，离子注入，复制光栅等；可见 光，红外，紫外光栅
a
comb
d
rect
Nd
一维振幅光栅的夫琅和费衍射
• 一维振幅光栅的振幅透射系数
g
1 d
rect
a
comb
d
rect
Nd
单色平面波正入射
A( ) B( ) g( ) g( )
傅立叶变换
G
f
aNsinc af
m
f
m d
sinc
Ndf
一维振幅光栅的夫琅和费衍射
2
)
m
sinc[
N
(
2
m)]2
单缝衍射 衍射因子
缝间多光束干 涉干涉因子
一维振幅光栅的夫琅和费衍射是分波面多光 束干涉强度分布受单缝衍射调制的结果。
衍射图形分布特点：
X
光透 栅镜
I
屏 幕
一维振幅光栅衍射辐照度分布
• 等强度线是等位相差Δφ线。也即等sinθ或等 θ线，如果令sinθ=x/f，则等强度线也是等x 线
2
)
m
sinc[
N
(
2
2
m)]
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
N
(
2
2
m)]
暗纹条件：
N ( m) L
次亮纹条件：
N( m) L 1
2
L为整数 ＝2m 2 L (L 1,2,3,N 1)
N
＝2m (2 1)L (L 1,2,3,N 2)
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
N
(
2
m)]2
I0 C 2 a2 ：单个栅缝的光强。
一维振幅光栅的夫琅和费衍射
• 一维振幅光栅夫琅和费衍射的辐照度
L( p)
C
2
a2N 2
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
N
(
2
m)]2
2 df
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
N
(
2
2
m)]
当主亮纹位置与单缝衍射和零级极小值重合 时，该级主亮纹成为缺级
缺级条件 L(m) sinc2( a m)
L(0)
d
缺级的干涉级
m缺
d a
N
amN d
一维振幅光栅的夫琅和费衍射
• 一维振幅光栅的振幅透射系数
g
1 d
rect
a
comb
d
rect
Nd
单色平面波正入射
sinc[
N
(
2
m)]2
• 一维矩形振幅光栅的夫琅和费衍射图形
– 主极大和主亮纹
– 暗纹和次亮纹
– 主亮纹宽度
– 主亮纹强度
– 单缝衍射中央亮区主亮纹数
– 缺级现象
一维光栅衍射辐照度分布特点
• 小结：a, d, N对衍射图形分布的影响
L(
p)
N 2Io
sinc2 ( a d
2
)
m
sinc[
• 写出衍射物体复振幅透射系数 T ,
• 衍射物体透射复振幅
A, B, T ,
•
求
a f , f F
A,
• 求衍射复振幅和辐照度
E x, y c a f , f
L x, y E x, y 2
一维振幅光栅的振幅透射系数
设光栅缝宽a，缝距d，缝数N
g
1 d
rect
• 如果照明光源是无穷远轴上点光源，对衍 射图形是沿x轴分布的一系列亮暗相间的斑 点
• 如果光源是平行于栅缝的线光源（平行于η 轴），则衍射图形是一系列平行于y轴的亮 暗相间的平行等距直条纹
一维振幅光栅衍射辐照度分布
一维光栅衍射辐照度分布特点
• 主极大值和主亮纹
L(
p)
C
2
a2N 2
sinc2 ( a d
N
两个主亮纹之间有N-1个暗纹，有N-2个次亮纹
一维光栅衍射辐照度分布特点
• 主亮纹间隔
主亮纹条件：
2
d sin
2m
sin x
f
以Δφ为横坐标，亮纹间隔为2π 以sinθ为横坐标，亮纹间隔为λ/d 以x为横坐标，亮纹间隔为λf/d
一维光栅衍射辐照度分布特点
• 主亮纹宽度
– 位相宽度：主亮纹宽度为强度主极大值与相邻