排队系统分析(全)
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服从负指数分布的情形:
高度耐磨损的电子元器件
假若 T 表示某种电子元件的寿命,则当元件已使用了t0 时
间后估计它还能再使用时间的概率,与它全新时估计用 时间的概率一样,即它对已使用了的 t0 时间无记忆。说 明这种元件是高度耐磨损的。
二. 服务的规律
主要是采用系统对顾客服务时间v的分步。主要
讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形,即
>
t0
)
=
P (T > t0 + t ) P (T > t0 )
=
e−λ(t0 +t) e−λt0
=
e−λt
=
P (T
> t)
¾进一步:负指数分布的密度函数为:
fT
(t
)
=
⎧λe −λt
⎨ ⎩0,
,t t
≥ <
0 0
1
参数 λ 即其均值的倒数。因此,λ 的含义是平均间隔时间,
这与 λ 为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。
fv (t)
=
⎧μe −μt , t ≥
⎨ ⎩ 0,
t<
0 0
平均对每位顾客的服务时间为 1 μ
参数 μ 的含义——服务率
注:负指数分布的一般化——爱尔朗分布,可用于描
述由道程序组成的 k 个服务台的服务时间的分布。
第五章 排队系统分析
(Queuing Systems Analysis)
第一节 第二节 第三节 第四节
献血排队
2. 系统状态概率
(1)利用状态转移图列出平衡方程
λ
λ
λ
λ
0
1
二. 排队模型的表示 火车站排队.flv
(X/Y/Z/A/B/C)
X:顾客到达时间间隔的分布 Y:服务时间的分布 Z:服务台个数 A:系统容量 B:顾客源数量 C:服务规则
二. 排队模型的表示
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS)表示:
到达间隔为负指数分布,服务时间也为负指数分布,1 个服务台,系统容量也无限,顾客源无限,先到先服务。
到达的规律
描述顾客到达规律可从两方面
⎧⎪到达间隔(时间) ⎨⎪⎩到达数(数量)
现实中有许多服务系统,其顾客的到达具有下述特征: (1)无后效性:不想交的时间区间内到达顾客数相互独立; (2)平稳性:增量与时间起点无关; (3)稀有性:瞬时内只可能有1个顾客到达。
到达的规律
称具有上述特征的输入为泊松流,其在 t 时段内到达 n个顾客的概率为
Pn,表示系统中有n个顾客的概率;队长的平均值记为Ls。
排队长:系统中正在排队等待的顾客数,记其均值为Lq。
三.排队问题的求解
2 . 逗留时间和等待时间
逗留时间:
一个顾客在系统中的停留时间,记为W,其均值记为Ws。
等待时间:
一个顾客在系统中排队等待的时间,记其均值为Wq 。
第二节 到达与服务的规律
现实中的例子:
•程控电话交换系统 •知识竞赛的抢答环节
2. 排队规则
(2)等待制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用,则留下 来等待,直至被服务完离去。 等待的服务规则又可分为: • 先到先服务(FCFS) • 后到先服务(LCFS) • 带有优先权的服务(PS)
2. 排队规则
(3)混合制
是损失制和等待制的混合。允许排队但不允 许队列无限长;或允许等待但不允许等待时间无 限长。
Pn (t)
=
(λt)n
n!
e−λt , n
=
0,1,
即参数为 λt 的泊松分布。
; λ>0
¾ 讨论: λ的含义?
单位时间到达系统的平均顾客数,即到达率。
¾ 问题:当顾客按泊松流到达时,其到达的间隔时间T
是服从什么分布呢?
因为到达为泊松流,所以 t 时段内没有来顾客的概率为
P0
(t)
=
( λt )0
到达的顾客
不能运转的机器 修理技工 电话呼唤 病人 驶入港口的货船 来到路口的汽车 进入餐馆的顾客
要求服务内容
修理 领取修配零件 通话 就诊 装货或卸货 通过路口 就餐
服务机构
修理技工 发放零件的管理员
交换台 医生 码头(泊位) 交通警或红绿灯 餐位的服务员
1. 输入过程
输入过程是指顾客到达排队系统的过程,对 此我们主要讨论两方面内容:
第五章 排队系统分析
(Queuing Systems Analysis)
第一节 第二节 第三节 第四节
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C及其他排队模型
第一节 排队的基本概念
一.排队系统的组成
顾 到达 客 源
队列
服 务 离去 机 构
第一节 排队的基本概念
现实世界中形形色色的排队系统
• 系统容量有限制:码头的泊位
• 等待时间有限制:医院的专家号
3.服务机构
对服务机构的研究内容主要有服务设 施(称为服务台⎧)=的1 数量和服务的规律。
(1)服务台个数 C ⎩⎨> 1 (并列多台)
(2)服务规律:指服务时间 v 的分布
分为 • 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek • 一般分布 G
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C及其他排队模型
第三节 M/M/1 排队模型
一、标准的M/M/1模型(M/M/1/ ∞ / ∞)
1.问题的一般提法
设:泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求:(1)系统状态概率Pn;
(2)系统运行指标Ls,Lq,Ws,Wq。
(1)顾客源:分为 • 无限 ∞
(如电话呼唤)
• 有限 m (如车间里待修理的机器)
1. 输入过程
(2)到达规律:指到达间隔时间T 的分布
分为 • 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek
2. 排队规则
排队规则是指顾客到达系统后排队等 候服务的方式和规则。可分为三种类型: (1)损失制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用,则顾 客自动离去。
(M / M / C / N / ∞ / LCFS)表示:
到达间隔为负指数分布,服务时间也为负指数分布,C 个服务台,系统容量为N,顾客源无限,后到先服务。
若只讨论先到先服务的情况,可略去第6项。
三.排队问题的求解
描述系统运行状态的指标: 1. 队长和排队长
队长:系统中的顾客数;其概率分布称状态概率,记为
0!
e−λt
=
e−λt
所以,t 时段内有顾客到来(即间隔 T ≤ t )的概率为
FT
(t)
=
P(T
≤
t)
=
⎧1− e−λt ⎨ ⎩0
பைடு நூலகம்
t≥0 t<0
到达数为泊松流 到达间隔服从负指数分布(同参数)
负指数分布满足无后效性
证:由条件概率公式得
P (T
>
t0
+
t
T
>
t0
)
=
P (T
> t0 + t ) ∩ (T P (T > t0 )