培养学生发散性思维的几种策略

培养学生发散性思维的几种策略

蒋显平

【摘要】 培养学生发散性思维，借以激发创新潜能，是提高学生学习质量和整体素质的一个途径。其中引导学生发现问题、提出问题、解决问题是培养学生发散性思维的关键。而如何培养学生发散性思维，借以激发创新潜能，提高学生学习质量和整体素质，已成为我们直接面临的一个课题。本文笔者结合自己的教学实践，提出了自己的一些见解及策略。

【关键词】 发散性思维、变通、构造法

1 问题提出

发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维。它是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。随着《数学新课程标准》的实施,数学教学将越来越注重培养学生的发散性思维能力，这源于数学发散性思维可以优化思维品质，提高数学意识，深化学生对概念、原理、法则和公式的理解等等.从而培养学生发散性思维，借以激发创新潜能，提高学生学习质量和整体素质，已成为我们直接面临的一个课题。在新课标下，学生在学习上应是主体，应该处于主动地位，从而培养和训练学生的发散性思维显得尤为重要。该如何培养学生发散性思维，我结合这几年的教学实践，针对数学学科本身的特点提出自己的一些见解及策略。

2 问题解决

2.1 从课堂讨论中激发学生的兴趣，培养学生发散性思维的多向性

在课堂上采用讨论的方法，不仅能激发学生浓厚的学习兴趣，充分调动他们学习的积极性，而且有利于学生思维的发散。

例1（2012年广州二模第10题）：

已知实数b a ,满足0342

2=+-+a b a ，函数1cos sin )(++=x b x a x f 的最大值记为),(b a ϕ，则),(b a ϕ的最小值为 ；

A ．1 B. 2 C. 13+ D. 3

试后统计发现这道题得分很低，平均1.1分，甚至有部分同学不知该如何入手，完全放弃了这个题。我分析了一下得分低的原因主要集中在学生思维的狭隘性，不会观察式子结构，不理解实数b a ,满足的条件与所求最值之间的关系。于是我在讲这道试题时采用了课堂讨论，小组交流的方法进行教学，同时给同学们布置了以下几个思考题：

（1）你认为该题的突破口在哪儿？这道题考了我们所学的哪些知识点？

（2）你认为b a ,满足0342

2=+-+a b a 这个条件在解题中充当了什么样的角色？

（3）你理解最大值中的最小值的含义吗？与变量x 有多大的关系？

学生们仔细读题，根据我留下的思考题展开了激烈的讨论并形成自己的思维和看法，于是有同学写出了如下解法： 1)sin(1cos sin )(22+++=++=θx b a x b x a x f （其中a

b =θtan ），

当且仅当1)sin(=+θx 时，函数1),()(22max ++==b a b a x f ϕ ①；

实数b a ,满足03422=+-+a b a ，1)2(22=+-∴b a ⎩⎨⎧=+=⇒α

αsin cos 2b a 代入①化简可得1cos 45),(++=αϕb a ，1cos 1≤≤-α ，

2),(1cos min =⇒-=∴b a ϕα；

刚写完这种解法，又有一个学生提出了他的看法：设)cos ,(sin ),,(x x n

b a m ==，则1)(+∙=b a x f ，1=， 实数b a ,满足03422=+-+a b a ，1)2(22=+-∴b a ，1cos sin 22

=+x x ，于是用数形结合的方法（如下图

）22b a +=，><=∙, =><∙+b a ,cos 2,2

函数1),()(22max ++==b a b a x f ϕ (此时1,cos >=<，即,同向可取最大值)，

实数b a ,满足03422=+-+a b a ，

1)2(22=+-∴b a ，点),(b a P 的轨迹是以点)0,2(B 为圆心，1=r 为半径的圆。1)0()0(1),(2222+-+-=++=b a b a b a ϕ，

由图象可得，当点),(b a P 与点)0,1(A 重合时可得2),(min =b a ϕ；

这种解法相对于第一种方法在思维上得到了提升，从式子结构出发，完美的结合了向量、三角、不等式的知识点，更关注了知识之间的融会贯通，这对培养学生发散性思维有很大的帮助。

于是我从这题出发又提出了以下几个思考题：

① ),(b a ϕ的最大值为多少？

② 若已知实数b a ,满足02116

25422=-+-y x x ，函数1cos sin )(++=x b x a x f 的最大值记为),(b a ϕ，则),(b a ϕ的最小值为 ；

这样通过课堂讨论激发学生的求知欲，培养了学生的发散性思维，提高了对数学学习的兴趣。

2.2 巧设陷阱，培养学生发散性思维的严谨性

数学家波利亚说过：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法”。 所以我们教师应在易错的环节上设置“陷阱”，诱使学生陷入歧途，制造思维冲突，诱发灵感，产生真知，同时也可培养学生的试错能力。这样既可充分暴露学生思维的薄弱环节，又能使学生深刻地有突破性地认识到错误所在，有利于自诊自治，提高对错误的免疫力。通过“诱错”，不仅使学生对知识理解的更加深刻，学生在犯错、改错的探讨过程中完善自己的思路，更有利于学生培养学生思维的严谨性。

例2：已知双曲线方程为142

2

=-y x ，过点)1,1(p 的斜率为k 的直线l 与双曲线只有一个公共点，求k 的值。

学生解法如下：设)1(1:-=-x k y l ，与双曲线方程联立，化为：

0)52()1(2)4(222=-+-+-+-k k x k k x k ①

l 与双曲线只有一个公共点，

0)52)(4(4)]1(2[222=-+----=∆∴k k k k k ， 解得2

5=k . 这种解法在黑板上板书时得到了很多同学的认可，有些同学虽然觉得不对劲，但说不出什么原因。这时我有意识地让学生多观察一下①式有什么特点，经过观察得出了错误的根源，在不能确定①式是一元二次方程的情况下用了判别式，从而得出正确解法如下：

与错解相同得出①，下面分情况讨论：

⑴当2042±=⇔=-k k 时，直线l 与双曲线只有一个公共点；

⑵当042≠-k 时，0=∆，解得2

5=k 总之，2

5,2±=k 时直线l 与双曲线只有一个公共点. 这时，有同学经过画图得出了经过点)1,1(P 且与双曲线渐近线平行的直线与双曲线也只有一个公共点，于是提出了自己的疑问：这种解法与解方程有什么联系和不同？大家又展开了激烈的讨论，提出了自己的看法，最后总结如下：

直线l 与双曲线有一个公共点，从几何意义上讲，有两个类别：一是直线平行于双曲线的渐近线，二是直线与双曲线相切，上述错解只求出了后一种类别.从方程的角度讲，只有一个公共点⇔方程组只有一解⇔关于x 的方程①只有一解.

趁热打铁，我又设计了以下两道习题来加强学生发散性思维严谨性的培养.