曲边梯形面积与定积分

§1.4 定积分与微积分基本定理

1.4.1 曲边梯形面积与定积分 (一)

一、基础过关

1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n

]上的值，可以近似代替为 ( ) A ．f (1n

) ` B ．f (2n ) C ．f (i n ) D ．f (0)

2．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2

(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是

( ) A.lim n →＋∞∑n i ＝1

[11＋(i n )2·2n ] B.lim n →＋∞∑n i ＝1

[11＋(2i n )2·2n ] C.lim n →＋∞∑n i ＝1 (11＋i 2·1n

) D.lim n →＋∞∑n i ＝1[11＋(i n

)2·n ] 3．把区间[a ，b ] (a

( ) A ．[i －1n ，i n

] B ．[i －1n (b －a )，i n

(b －a )] C ．[a ＋i －1n ，a ＋i n

] D ．[a ＋i －1n (b －a )，a ＋i n

(b －a )] 4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为

( )

A.13

B.12 C ．1 D.32

二、能力提升

5．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为

( )

A ．0.5 J

B ．1 J

C ．50 J

D ．100 J

6．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 7.∑n i ＝1 i n

＝________. 8．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间

[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．

9．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为______．

10．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积．

11．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t ]内物体下落的距离．

三、探究与拓展

12．某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝6

t2，求物体在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.

答案

1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C

7.

n ＋12

8．[n ＋i －1n ，n ＋i n ] 9．55

10．解 令f (x )＝x 2.

(1)分割

将区间[0,2]n 等分，分点依次为

x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n

，x n ＝2. 第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n

. (2)近似代替、求和

取ξi ＝2i n

(i ＝1,2，…，n )， S n ＝∑n

i ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑n i ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2) ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6

＝43(2＋3n ＋1n 2)． (3)取极限

S ＝li m n →＋∞S n ＝li m n →＋∞ 43(2＋3n ＋1n 2

) ＝83

， 即所求曲边梯形的面积为83

. 11．解 (1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份．

把时间[0，t ]分成n 个小区间，

则第i 个小区间为[i －1n t ，it n

](i ＝1,2，…，n )， 每个小区间所表示的时间段

Δt ＝it n －i －1n t ＝t n

， 在各个小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．

(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．

在[i －1n t ，it n

]上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )， 可取ξi 使v (ξi )＝g ·i －1n

t 近似代替第i 个小区间上的速度， 因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n

内所经过的距离可近似表示为 Δs i ≈g ·i －1n t ·t n

(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：

s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑n

i ＝1g ·i －1n t ·t n ＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2(1－1n

)． (4)取极限：s ＝lim n →＋∞ 12gt 2(1－1n )＝12

gt 2. 即在时间区间[0，t ]内物体下落的距离为12

gt 2. 12．解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n 个小区间[1＋i －1n ，1＋i n

](i ＝1,2，…，n )，区间长度为Δt ＝1n ，每个时间段内行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则s n ≈∑i ＝1

n Δs i . (2)近似代替：ξi ＝1＋i －1n

(i ＝1,2，…，n )， Δs i ≈v (1＋i －1n )·Δt ＝6·(n n ＋i －1)2·1n ＝6n (n ＋i －1)2

(i ＝1,2，…，n )．