第1章 传感器的一般特性

第—章传感器的一般特性
传感器的特性土要是指输出与输入之间的关系。

当输入量为常量，或变化极慢时，这一关系就称为静特性；当输入量随时间变化时，这一关系就称为动特性。

一般说来，传感器输出与输入关系可用微分方程来描述。

理沦上，将微分方程中的一阶及以上的微分项取为零时，便可得到静特性，因此，传感器的静特性只是动特性的一个特例。

实际上传感器的静特性要包括非线性和随机性等因素，如果把这些因素都引入微分方程，将使问题复杂化。

为避免这种情况，总是把静特性和动特性分开考虑。

传感器除了描述输出输入关系的特性之外，还有与使用条件、使用环境、使用要求等有关的特性。

1.1 传感器的静特性
静特性表示传感器在被测量各个值处于稳
定状态时的输出输入关系。

人们总是希望传感器的输出与输入成唯一
的对照关系，而且最好呈线性关系。

但一般情况
下，输出输入不会符合所要求的线性关系，同时
由于存在着迟滞、蠕变、摩擦、间隙和松动等各
种因素的影响，以及外界条件的影响，使输出输
入对应关系的唯一性也不能实现。

考虑了这些情
况之后，传感器的输出输入作用图大致如图1－
1所示。

图中的外界影响不可忽视，影响程度取
决于传感器本身，可通道传感器本身的改善来加
以抑制，有时也可以对外界条件加以限制。

图中
的误差因素就是衡量传感器静特性的主要技术
指标。

1.1.1线性度
传感器的输出输入关系或多或少地部存在着非线性问题。

在不考虑迟滞、蠕变等因素的情况下，其静特性可用下列多项式代数方程来表示：
y—输出量；
x—输入量；
a0—零点输出，
a1—理论灵敏度；
a2,a3,a n—非线性项系数。

各项系数不同，决定了特性曲线的具体形式。

静特性曲线可用实际测试获得。

在获得特性曲线之后，可以说问题已经得到解决。

但是为了标定和数据处理的方便，希望得到线性关系。

这时可采用各种方法，其中也包括计算机硬件或软件补偿，进行线性化处理。

一般来说，这些办法都比较复杂。

所以在非线性误差不太大的情况下，总是采用直线拟合的办法来线性化。

在采用直线拟合线性化时，输出输入的校正曲线与其拟合曲线之间的最大偏差，就称为非线性误差或线性度，通常用相对误差γL来表示，即
式中 —非线性最大偏差；
max L Δy FS 一满量程输出。

由此可见，非线性偏差的大小是以一定的拟合直线为基准直线而得出来的。

拟合直线不同，非线性误差也不同。

所以，选择拟合直线的主要出发点，应是获得最小的非线性误差。

另外，还应考虑使用是否方便，计算是否简便。

目前常用的拟合方法有：(1)理论拟合；(2)过零旋转拟合；(3)端点连线拟合，(4)端点连线平移拟合；(5)最小二乘拟合等。

前四种方法如图1－2所示。

图中实线为实际输出的校正曲线，虚线为拟合直线。

在图a 中，拟合直线为传感器的理论特性，与实际测试值无关。

这种方法十分简便，但一般来说很大。

图b 为过零旋转拟合，常用于曲线过零的传感器。

拟合时，使。

这种方法也比较简单，非线性误差比前一种零的传感器。

拟合时，使,这种方法也比较既单，非线性误差比前一种小很多。

图c 个，把校正
曲线两端点的连线作为拟合直线。

这种方法比较简单，但max L Δmax 21||L L L Δ=Δ=Δmax 21||L L L Δ=Δ=Δmax L Δ较大。

图d 在图c 基础上使直线平移，移动距离为原先的一半，这样校正曲线分布于拟合直线的两侧，
max L Δmax 012||||L L L L Δ=Δ=Δ=Δ，与图c 相比，非线性
误差减小一半，提高了精度。

采用最小二乘法拟合时，如图1—3所示。

设拟合直线方程为 y=kx+b
若实际校准测试点有n 个，则第i 个校准数据y i 与拟合直线上相应值之间的残差为
最小二乘法拟合直线的原理就是使∑Δ
2i
为最
小值，即
也就是使
对k 和b 的—阶偏导数等于零，即
∑Δ
2
i
从而求出k 和b 的表达式为
在获得k 和b 之值后代入上式，即可得到拟合直线，然后按上式，求出残差的最大值
即为非线性误差。

max L Δ顺便指出，大多数传感器的校正曲线是通过零点的，或者使用“零点调节”使它通过零点。

某些量程下限不为零的传感器，也应将量程下限作为零点来处理。

1.1.2 迟滞
传感器在正(输入量增大)反(输入量减小)行程中输出输入曲线不重合称为迟滞。

迟滞特性如图1—4所示，它一般是出实验方法测得。

迟滞误差一般以满量程输出的百分数表示，即
式中：—正反行程间输出的最大差值。

max H Δ迟滞误差的另一名称叫回程误差，回程误差常用绝对误差表示，检测回程误差时，可选择几个测试点。

对应于每一点的输入信号，传感器正反行程趋近，输山信号出现差值。

差值中最大者即为回程误差。

1.1.3重复性
重复性是指降感器在输入按同一方向作全量程连续多次变动时所得特性曲线不一致的程度。

图1—5所示为校正曲线的重复特性，正行程的最大重复性偏差为1max R Δ，反行程的最大重复性偏差为重复性偏差取这两个最大偏差中之较大行为2max R Δmax R Δ，再以满量程输出y FS 的百分数表示，即
重复性误差也常用绝对误差表示。

检测时也可选取几个测试点，对应每一点多次从同一方向趋近，获得输出位系列y il ，y i2,y i3,…，y in 算出最大值与最小值之差或3σ作为重复性偏差,在几个中取出最大值Ri ΔRi Δmax R Δ作为重复性误差。

1.1.4 灵敏度与灵敏废误差
传感器输出的变化量与引起该变化量的拖入变化量y Δx Δ之比即为其静态灵敏度，其表达式为
由此可见，传感器校准曲线的斜率就是其灵敏度。

线性传感器，其特性曲线的斜率处处相同，灵敏度k 是－常数，以拟合直线作为其特性的传感器，也可认为其灵敏度为一常数，与输入量的大小无关。

由于某种原因，会引起灵敏度变化，产生灵敏度误差。

灵敏度误差用相对误差表示，即
1.1.5 分辨力与阈值
分辨力是指传感器能检测到的最小的输入增量。

有些传感器，如电位器式传感器，当输入量连续变化时，输出量只作阶梯变化则分辨力就是输出量的每个“阶梯”所代表的输入量的大小。

分辨力可用绝对值表示，也可用与满量程的百分数表示。

在传感器输入零点附近的分辨力称为阈值。

1.1.6 稳定性
稳定性是指传感器在长时间工作的情况下输出量发生的变化。

有时称为长时间工作稳定性或零点漂移。

测试时先相传感器输出调至零点或某一特定点，相隔4h 、8h 或一定的工作次数后，再读出输出值，前后两次输出值之差即为稳定性误差。

稳定性误差可用相对误差表示，也可用绝对误差表示。

1.1.7 温度稳定性
温度稳定性又称为温度漂移，它是指传感器在外界温度变化下输出量发出的变化。

测试时先将传感器置于一定温度(例如20℃)下，将其输出调至零点或某一特定点，使温度上升或下降一定的度数(例如5℃或10℃)，再读出输出值，前后两次输出值之差即为温度稳定性误差。

温度稳定性误差用每若干℃的绝对误差或相对误差表示。

每℃的误差又称为温度误差系数。

1.1.8 各种抗干扰稳定性
这是指传感器对外界干扰的抵抗能力，例如抗冲击和振动的能力、抗潮湿的能力、抗电磁场干扰的能力等。

评价这些能力比较复杂，一般也不易给出数量概念，需要具体问题具体分析。

1.1.9 静态误差
静态误差是指传感器在其全量程内任一点的输出值与其理沦输出值的偏离程度。

静态误差的求取方法如下：把全部校准数据与拟合直线上对应值的残差，看成是随机分机求出其标准偏差σ，即
式中 —各测试点的残差；
y Δ n —测试点数。

取2σ和3σ值即为传感器的静态误差。

静态误差也可用相对误差来表示，即
静态误差是一项综合性指标，它基本上包括了前面叙述的非线性误差、迟滞误差、重复性误差、灵敏度误差等，所以也可以把这几个单项误差综合而得，即
1.2 传感器的动特性
动态特性是指传感器对于随时间变化的输入量的响应特性。

实际被测量随时间变化酌形式可能是各种各样的，只要输入量是时间的函数，则其输出量也将是时间的函数。

通常研究动态特性是根据标难输入特性来考虑传感器的响应特性。

标准输人有三种；呈正弦变化的输入、阶跃变化的输入和线性输入，而经常使用的是前两种。

1.2.1 动态特性的数学描述
为了便于分析传感器的动态特性，必须建立数学模型。

线性系统的数学模型为一常系数线性微分方程。

对线性系统动态特性的研究，其方法之一就是分析数学模型的输入量x 与输出量y 之间的关系，通过对微分方程求解，就可得到动态性能指标。

对于线性定常(时间不变)系统，其数学模型为高阶常系数线性微分方程，即
式中：
y —输出量； x —输入量： t —时间；
n a a a ,,,10L —常数; n b b b ,,,10L —常数;
n n dt y d /—输出量对时间t 的n 阶导数； m m dt x d /—输入量对时间t 的m 阶导数.
1.2.2传递函数
动态特性的传递函数在线性(或线性化)定常系统中是指初始条件为0时，系统输出量的
拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

传感器的一般方程式，当其初值为o时，对下式进行拉氏变换，即可得系统传递函数H(s)的一般式为
式中y(s)—传感器输出量的拉氏变换式；
x(s)—传感器输入量的拉氏变换式;
上式的分母是传感器的特征多项式，由它来决定系统的“阶”数。

由上式可知，对一定常系统，当系统微分方程已知，只要把方程式中各阶导数用相应的s变量来替换，即可求得传感器的传递函数。

图1.6是由各环节的传递函数求取系统传递函数的一个实例。

正弦输入下传感器的动态特性(即频率特性)可以由下式导出
1.2.3 动态响应
1. 正弦输入时的频率响应
(1)零阶传感器
在零阶传感器中，对照方程式，则只剩下a0与b0两个系数,于是微分方程为
a
y
b
x
=
式中K—静态灵敏度。

图1.6
上式表明，零阶系统的输入星无论随时间如何变化，其输出量幅值总是与输入量成确定的比例关系。

在时间上也不滞后，幅角ϕ等于零。

电位器式传感器是零阶系统的一例。

在实际应用中．许多高阶系统在变化缓慢、频率不高时，都可以近似地当作零阶系统来处理。

（2）一阶传感器
这时，上式(除系数a 1,a 0,b 0外其他系数均为0，因此可写成
上式两边各除以a 0，得到
或者写成
式中 τ—时间常数(0
1
a a =
τ)； K —静态灵敏度(0
a b K =
).
由上式可得一阶系统的传递函数H(s)为
而一阶系统的频率特性为
幅频特性为
相频特性为
由弹簧(刚度k)和阻尼器(阻尼系数C 组成的机械系统可算是典型的一阶传感器的实例．如图 1.7所示。

图1.7
这个系统的运动微分方程为
上式可写成下列形式
式中τ为时间常数(k
C
=
τ)；K 为静态灵敏度
(k
b K 0
=
)。

利用上式，即可写出它的频率特性、幅频特性和相频特性的表达式。

在相频表达式中，负号表示相位滞后。

由频率特性公式可以看出，时间常数τ越小，系统的频率特性越好。

在弹簧阻尼系统中，要时间常数小．就要求系统的阻尼系数小，而刚度要求大些。

除了弹簧—阻尼属于一阶系统，还有RC 、RL 电路、液体温度计也属于一阶系统等。

图1.8
3)二阶传感器
很多传感器，例如振动传感器、压力传感器等属于二阶传感器，如图l. 8所示。

对照下式可得
与含有质量m 、弹性元件k 、阻尼器C 和受作 用力F(t)的系统动力学方程
相比较可知a 2＝m ，
a l ＝C ，a 0＝k ，y 为位移，上式又可写成
式中
0ω—系统无阻尼时的固有振动角频率，m
k =
0ω； ξ—比阻尼系数，km
C
2=
ξ
1
k —常数，m
k 11=。

将上式写成一般通用形式，则为
式中 K
—静态灵敏度，2
1
ωm K = 其传递函数为
频率特性为
幅频特性为
相频特性为
图1.9画出了以比阻尼系数为参比变量的幅频特性和相频特性曲线族。

2．阶跃输入时的阶跃响应 (1)一阶传感器的阶跃响应 对于一阶系统的传感器，设在t ＝0时，x 和y 均为0;当t ＞0时,有一单位阶跃信号输入．如图
1.10(a)
所示。

此时方程变为
图1.9
此时该齐次方程的通解为
而该非齐次方程的特解为
因此方程的解为
以初始条件y(0)＝0代入上式，即得t ＝0时，C l ＝-1，所以
上式画成曲线如图1.10(b)所示。

输出的初值为零。

随着时间推移，y 接近于1，当t ＝τ时，y ＝0.63.在一阶惯性系统中，时间常数τ值是决定响应速度的重要参数。

(2)二阶传感器的阶跃响应
由前述的二阶系统动力学方程变形得
令γ
ξm C
2=
，m
γ
ω=
0，γ
1
=
k ，再令F=AU(t),带入上式，使得二阶延迟系统的
阶跃响应式为
该方程的特征方程为
则特征根为
于是，上式的解就放下列三种情况处理：
①1λ和2λ是实数，即ξ＞1，这时齐次方程的通解就是
取齐次方程的特解y 2＝C ，并代入上式可得C ＝kA ，所以y 2＝kA ，则该方程的解为
考虑到初始条件t ＝0时y ＝0，并把该解表达式代人原方程，即可求出k l 和k 2，于是得解如下：
这是表示过阻尼情况。

②1λ与2λ相等。

即ξ＝1时方程解为
第—章 传感器的一般特性
这是表示临界阻尼的情况。

③1λ与2λ为共扼复根。

即ξ＜1时方程解为
这是表示欠阻尼情况．式中2
1arcsin ξφ−=
对应于不同的ξ值的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图1.11所示。

由于横坐标是量纲为一的变量t 0ω，所以曲线族只与ξ有关，由图可见，在一定的ξ值下，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳定值;过阻尼系统反应迟钝，动作缓慢，所以一般传感器都设计成欠阻尼式的，5取值一般为0.6~0.8。

图1.11
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