旅行商问题_TSP_的几种求解方法

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2 主要求解方法
基于 TSP 的问题特性, 构造型算法成为最先开 发的求解 算法, 如最 近邻 点、最 近合并、最近 插入、最 远插 入、最 近添 加、贪婪插入等。但 是, 由于构 造型算 法优化 质量较 差, 迄今 为止已开发了许多性 能较好的改进型搜索算法 [ 3] , 主要有:
1) 模拟退火算法 2) 禁忌搜索算法 3)H opfie ld神经网络优化算法 4) 蚁群算法 5) 遗传算法 6) 混合优化策略 2. 1 模拟退火算法方法 2. 1. 1 基本思想 模拟退 火算法 ( sim ula ted annea ling, SA ) 是 基于 M onte Car lo 迭代求解 策略的 一种随 机寻优 算法, 其 出发点是 基于 物理中固体物质的 退火过 程与 一般组 合优 化问 题之间 的相
1) 编码 选 择: 采 用 描 述 T SP 解的 最 常 用 的一 种 策 略 路径编码。 2) SA 状态产生函数的设计: 对 于基于路径编码的 SA状 态产生函数 操作, 可将其设计为: ① 互换操作 ( SWA P ); ② 逆 序操作 ( INV ); ③ 插入操作 ( IN S)。 3) SA 状 态 接 受 函数 的 设 计: m in{ 1, ex p( - / t) } > random [ 0, 1] 准则是作为接受新 状态的 条件最常 用的方 案, 其中 为新旧状态的目标值差, t为 温度 。 4) 初温和初始状态: 最常 用且 可理 解的 初温 确定 方案 是, 首先随机产生一组 状态, 确 定两两 状态 间的 最大目 标值 差: | m ax |, 然后由式 t0 = - m ax / lnpr, 其中 pr 为初始接受概 率 ( 理论上应接近 1, 实际设计时也可以取 0. 1)。初 始状态可 采用启发式算法 (如 2opt方 法 ) 快速得 到一个 解, 并以 此为 SA 的初始状态。 5) 退温函数的设计: 指数 退温 函数 是最 常用 的退 温策 略 ( tk = tk- 1, 为退温速率 ) 。 6) 温度修改准则和 算法 终止 准则 的设 计: 可 采用 阈值 法设计的 温度修改 和 算法终止 两准则 。 2. 2 禁忌搜索算法 2. 2. 1 基本思想 禁忌搜索 ( T abu Search或 T aboo Sea rch, 简称 T S) 是一 种亚启发式搜索技术 [ 4], 由 G lover在 1986年首次提出, 进而
似性。SA 算法由某一较高初温开始, 结合具有 概率突 跳特性 的 M etropo lis抽样策略在解空间中随机寻找目标函数的全局 最优解, 伴随温度参数 的不断 下降 重复抽 样过 程, 最终 得到 问题的全局最优解。
从算法结构知, 新状态产生函数、新状态 接受函数、退温 函数、抽样稳定准 则 和退 火结 束准 则 ( 简称 三函 数两 准则 ) 以及初始温度是直接 影响算法优化结果的主要环节 [ 3] 。 2. 1. 2 求解 T SP
SeveralM ethods for So lving Trave ling Sa lesm an P rob lem
T IAN G u i- chao, L IM ing, W E IX ue - jie
( D epa rtm en t of T est& C ontro l Eng inee ring, N anchang Institute o f A e ronautica l T echno logy, N anchang Jiangx i 330034, Ch ina)
简单 TS算法的 基本思想是: 给定 一个当 前解 ( 初始 解 ) 和一种邻域, 然后在当 前解的 邻域 中确定 若干 候选解 ; 若最 佳候选解对应的目标 值优于 best so far 状态, 则忽视 其禁 忌特性, 用其替代当前解和 best so far 状态, 并将相应的对 象加入禁忌表, 同时修 改禁忌 表中 各对象 的任 期; 若不 存在 上述候选解, 则选择在候选解中选择非禁 忌的最佳状 态为新 的当前解, 而无视它与 当前解 的优 劣, 同时 将相 应的对 象加 入禁忌表, 并修改禁忌 表中各 对象 的任期; 如此 反复上 述迭 代搜索过程, 直至 满足停 止准则。邻域函数、禁忌对 象、禁忌 表和藐视准则, 构成了禁忌搜索算法的关键。 2. 2. 2 求解 T SP
基于禁忌搜索算法的一般设 计原则, 对典型的组 合优化 问题 TSP, 其算法可以按如下方案实现:
1) 初始解: 可随机产生也可基于问题信息借助一些启发 式方法产生以保证一定 的初始性能。
2) 邻 域 结 构: 常 用 方 法 是 互 换 ( SWA P )、 插 入 ( INSERT )、逆序 ( INV ERSE) 等操作。
旅行商问题可分 为如下两类: 1) 对称旅行商问题 ( dij = dj i,
i, j = 1, 2, 3, , n );
基金项目: 国家自然基金 ( 60475002 ) 收稿日期: 2005 - 06 - 30
2) 非对称旅行商问题 ( dij dji, i, j = 1, 2, 3, , n )。 非对称旅行商问题较难求解 , 我们一 般是探讨对 称旅行 商问题的求解。
n
d ti,
t
i+
。
1
i= 1
T SP 是一个典型的组 合优化 问题, 并且是 一个 N P 完全
难题, 是诸多领域内出现的多种复杂问题 的集中概括 和简化
形式, 并且已成为各种 启发式 的搜 索、优化 算法 的间接 比较 标准。因此, 快速、有效地解决 T SP 有着重要的理论价 值和极
高的实际应用价值 [ 2]。
AB STRACT: T he T rave ling Sa lesm an P rob lem ( TSP) is one of the typ ical N P - Comp lete ha rd prob lem s in com b inato r ia l optim ization, wh ich is easy to be descr ibed but hard to be so lv ed. Its possible am ounts o f pa th increase ex ponentia lly w ith the am oun ts o f c ity, so it is v ery difficult to so lve. But to so lve T SP qu ick ly and effect ive ly has im por tant theo retica l v a lues and h igh pract ica l application va lue s. TSP is first in troduced in th is paper. T hen the ba sic thoughts o f six effec tiv e m ethods ( sim u la ted annea ling algo rithm, taboo search a lgo rithm, H opfie ld neura l ne two rks op tim iza tion a lg or ithm, ant co lony a lgo r ithm, genet ic a lgor ithm s and hybr id op tim iza tion stra tegy) for so lv ing TSP and the ir p ro ce sses are discussed. A t last, the advantage s and d isadvantage s o f the six m a in so lv ing m ethods are re spective ly ind icated, and the pro spect fo r the future o f so lv ing T SP is prov ided. K EYW ORDS: T rave ling salesm an prob lem ( T SP ); Com b ina tor ia l op tim iza tion; P ath; P ro spect
第 23 卷 第 08期 文章编号: 1006 - 9348( 2006) 08 - 0153 - 05
计算机仿真
2006年 08月
旅行商问题 ( TSP) 的几昌航空工业学院测试技术与控制工程系, 江西 南昌 330034)
摘要: 旅行商问题 ( TSP) 是组合优化领域里的一个典型的、易于描述却难以处理的 N P完全难题, 其可能的路径 数目与城市 数目是呈指数型增长的, 求解非常困难。而快速、有效地解决 TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。该文首先介 绍 了什么是 TSP, 接着论述了六种目前针对 TSP比较有效的解决方法 ( 模拟退火算法、禁忌搜索算法、H op f ield神经网络优化 算法、蚁群算法、遗传算法和混合优化策略 ) 的基本思想, 并且简单阐述 了它们的求解过 程, 最后分别指 出了各自的 优缺点 并对解决 TSP的前景提出了展望。 关键词: 旅行商问题; 组合优化; 路径; 展望 中图分类号: TP301. 6 文献标识码: A
若对于城市 V = { v1, v2, v3, , vn } 的一个访问顺序为 T
= { t1, t2, t3, , ti, , tn }, 其中 ti V ( i = 1, 2, 3, , n), 且
记 tn+ 1 = t1, 则 旅 行 商 问 题 的 数 学 模 型 为 [ 1]: m in L =
神经网络优化 算法就 是利 用神经 网络 中神 经元的 协同 并行计算能力来构造的优化算法 , 它将实 际问题的优 化解与 神经网络的稳定状态相对应, 把实际问题 的优化过程 映射为 神经网络系统的 演化过程 。H op field网络 是典型 的全连 接网 络, 通过在网络中引入 能量函 数以 构造动 力学 系统, 并 使网 络的平衡态与能量函数 的极小解相对应, 从而将求解 能量函 数极小解的过程转化为 网络向平衡态的演化过程。
3) 候选解的选择: 通常取当前解的邻域解集的一个子集 作为候选解集, 而取其中的满足藐视准则 或非禁忌的 最优状 态为最佳候选解。
4) 禁忌表及其长度: 建议尝试 自适应 长度法, 譬 如根据 目标值更新的情况 或禁忌 频率 信息来 适当 增加 或缩短 禁忌 表长度。
5) 藐视准则: 采 用若某个 状态的性能 优于 best so far 状态, 则忽视其禁忌属性, 直接选 取它为当前状态。
6) 集中搜索和分散搜索策略: 分别采用在一定步数的迭 代后基于最佳状态 进行重 新初 始化并 对其 邻域 进行多 步趋
化性搜索和对算法 的重新 随机 初始化 或是 根据 频率信 息对 一些已知对象进行惩罚 。
7) 终止条件: 给定最优状态连续保持不变的最大持续迭 代步数。
大量研究表明禁忌搜索算法 具有模拟退火、遗传 算法等 智能优化算法相当的性 能, 甚至更优越。 2. 3 H op fie ld神经网络优化算法 2. 3. 1 基本思想
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形成一套完整算法 [ 5, 6]。它是对局部邻域搜索的一种扩展, 是 一种全局逐步寻优算 法, 是 对人类 智力 过程的 一种 模拟。TS 算法通过引入一种 灵活的 存储 结构和 相应 的禁 忌准则 来避
免迂回搜索, 并 通过 藐 视准 则来 赦 免一 些 被禁 忌的 优 良状 态, 进而保证多样化的有效探索以最终实现全局优化。
1 引言
旅行商问题 ( T rave ling Sa le sm an P rob lem, 简 称 T SP ) 即
给定 n个城市和两两 城市之间的距离, 要 求确定一 条经过各 城市当且仅当一次的 最短路线。其 图论 描述为: 给定图 G =
( V, A ) , 其中 V 为顶点集, A 为各 顶点相 互连 接组成 的边 集, 设 D = ( dij ) 是由顶点 i和顶点 j之间的距离所组成的距离矩 阵, 要求确定一 条长度最短 的 H am ilton回 路, 即遍历 所有顶 点当且仅当一次的最 短距离。