个人住房贷款还款算法及推导方法

k
-
t
(A + 2G ) + 2式
… + [ (A + v
2 式中:
t+ w
k = w + ( v - 1) t+ 1
∑
-
t
(A + vG ) ]
k = w + 1 (1+ i)
∑
= ( 1 + i) n n- k
(w + 1)
+ ( 1 + i) n -
(w + 2)
+ … + ( 1 + i) n (w + t)
[ ( 1 + i)
n- w
[ ( 1 + i) - 1 ] + [ ( 1 + i) t v - 1 ]
i G ( 1 + i)
n + t- w
= Y
( 1 + i) n -
[1 -
( 1 + v ) ( 1 + i) - tv + v ( 1 + i) t i [ ( 1 + i) - 1 ]
S m = a 1 + 2a 1 d + 3a 1 d + … + m a 1 d
2 3 2 2
m- 1 m
S m d = a 1 d + 2a 1 d + 3a 1 d + … + m a 1 d S m - S m d = a 1 + a 1d + a 1d + … + a 1d
6式 - m a 1d
i
+ 2G
[ ( 1 + i) t - 1 ]
i
+ …+ 10 式
( 1 + i) n-
(w + v t)
[ ( 1 + i) t - 1 ]
i
( 1 + i) t - 1
i
( 1 + i) n [1 -
( t+ w )
( 1 + i) 2 t
tv
=
G
( 1 + i) n +
t A v
t- w
( 1 + v ) ( 1 + i) t i [ ( 1 + i) - 1 ]
2
F4 = t v A + v (1 + v ) t G
13 式
( 1) 应还款的总本息共为:
n Y ( 1 + i) -
F0 -
F1 -
F2 -
F3 -
2
+ w
A
14 式
将 F 0、 F 1、 F 2 代入上式并整理得:
F0 + F1 = Y
( 1 + i) n - F 2 - w
w
A A
t ( v + 1)
A =
( 1 + i) n ( 1 + i) n - 1
i
Y
本文将此公式推导过程给出, 供读者参考。 设贷款总额为 Y , 贷款期数 ( 月) 为 n , 贷款月利息为 i, 已还至第 k 期, 则可按下列各式计算每月还款额
A : 求解: 将等额还款法还款期用线图表述如下:
收稿日期: 1999212215 作者工作单位: 中国建设银行上海市分行房地产信贷部, 上海 200137
( 1 + i) nk
加或减少, 这种还款方式可以适应收入有逐步增加或逐步减少趋势的借款人的需要。 等额累进还款法与等
29
中国房地产金融・2000・第1期
额还款法所不同的是月均还款额都较前一时间段增加 ( 或减少) 累进量, 两种还款方式的经济含义分析的 出发点是相同的。 采用等额累进还款法时, 当还款期数不能整除还款累进间隔时会出现余数, 设这个余数 为w 。 因为w 在还款期的不同位置, 等额累进还款法还款额的计算公式是不同的, 所以对等额累进还款法, 分以下三种情况进行讨论。 第一种情况: 在等额累进还款法中, 设 w 在还款期首期 设贷款总额为 Y , 贷款期数 ( 月) 为 n , 贷款月利率为 i, 已还至第 k 期, 借款人首期月均还款额为 A , 以 后每隔 t 期, 月均还款额都较前一时间段增加 G ( 当 G 为负数时, 是递减的) , 并设 n = w + t v , 其中: w 为 首期付款期数 ( 月) , v 为 t 的期数。 等额累进还款法: 当 w 变化时, 结果是不同的。 当 t 能为贷款总期数整除时 w = 0, w 也可不为零; 当 t 不能为贷款总期数整除时 w ≠ 0。 给出第一种情况计算公式推导过程, 求解: 设 k 为从 1 到 n 之间的任意还 款月。
w w + t … k … w + 2 t … w + v t A A + G A + 2G A + vG
( 1) 当 k Φ w 时, 设分期付款比到期一次性付款节约的利息为 F 0
w
F0 = A
∑ (1 +
k= 1
i)
n- k
- w
A
= A
( 1 + i ) n - w [ ( 1 + i) w - 1 ]
[ ( 1 + i) t - 1 ]
i
3式 4式
k = w + ( v - 1) t+ 1
∑
( 1 + i) n -
=
( 1 + i) n-
(w + v t)
[ ( 1 + i) t - 1 ]
i
=
( 1 + i) t - 1
i
5式
( 1) 为求 2 式中各分项级数的计算, 求出 F , 先进行以下的推导:
i
t+ w
- A
w
2 t+ w
1式
( 2) 当 k > w 时, 设分期付款比到期一次性付款节约的利息为 F
F=
(A + G )
k= w + 1 n
∑
( 1 + i) nG)
k
-
t
(A + G ) ] + [ (A + 2G ) ( 1 + i) n k
k = w + t+ 1
∑
( 1 + i) n -
n
A
( 1 + i) n -
1
+ A
( 1 + i) n -
2
+ …+ A = A
∑ (1 +
k= 1
i)
n- k
2式
( 3) 分期付款计算还款总额 ( 所借款的本和利) 为:
n A
n
3式
将 2 式减去 3 式为分期付款节约的利息。 即为:
A
∑ (1 +
k= 1
i)
n- k
- n A
4式
( 4) 分期还款应还本息:
1 等额还款法及其计算方法
等额还款法是借款人每期 ( 月) 还款的金额相同, 但每期 ( 月) 还入的本金和利息都不相同, 其优 点是借款人清楚每次要还多少钱, 是现在普遍采用的基本还款方式, 缺点是在排除利率变化因素的情况 下, 整个借款期内的分期还款额不变。 等额还款法要求借款人分期还本付息, 贷款本金会逐期减少, 每期利息也随之逐期减少, 只要借款 人按时还本付息, 银行就不会收取复利。 若采用一次还本付息, 由于贷款本金始终不变, 因此与等额还 款法相比要支付较多的利息。 等额还款法与一次还本付息两者相比, 借款人归还的贷款利息是不同的。 本 文以此为出发点, 将等额还款法与一次还本付息的经济含义进行分析计算, 得出两者在借款人归还利息 时的差异, 应用数学概念将等额还款法的还款额推导后得到应用公式为:
( 6) 整理 6 式得:
n
∑ (1 +
k= 1 n
i)
n- k
由等比级数可得:
= 1
〔 1 - ( 1 + i) n 〕 ( 1 + i ) n - 1 = 7式 ∑ 1 - ( 1 + i) i k= 1 ( 7) 将 7 式代入 6 式得累计还款 ( 应还款本息总额) : ( 1 + i) n i A = Y 8式 ( 1 + i) n - 1 n ( 1 + i) i 累计应还款本息 = A n = Y n 9式 ( 1 + i) n - 1 ( 8) 第 k 期 ( 月) 的还款累计总额为: ( 1 + i) n i 第 K 期累计还款总额 = Y k 10 式 ( 1 + i) n - 1 综上所述: 8 式、 9 式、 10 式即为等额还款方式的计算公式。 2 等额累进还款法 等额累进还款法是等额还款法的一种变化, 其特点是每隔一指定周期, 还款额做一定值或一定比的增
i
tV
- 1]
9式 ( 1 + i) n (w + 2 t)
( 2) F 中各项的计算: F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4. 由 2 式和 3 式、 4 式、 5 式计算如下:
F2 = G vG F2 = G
( 1 + i) n -
(w + t)
[ ( 1 + i) t - 1 ]
( 1 + v ) ( 1 + i) - tv + v ( 1 + i) - t (v + 1) ] [ ( 1 + i) t - 1 ] 2 ( + v ( 1 + i) - t v + 1) ] 11 式 [1 12 式
F3 = F4 = -
t (G + 2G + … + vG ) = -
tv ( v + 1) G
]
15 式
整理 15 式求出 A :
A =
( 1 + i) n Y ( 1 + i) [ ( 1 + i ) - 1 ] + [ ( 1 + i) t v - 1 ] ( n + t- w G ( 1 + i) [ 1 - ( 1 + v ) ( 1 + i) - t v + v ( 1 + i) - t v + 1) ] t n- w w ( 1 + i) [ ( 1 + i) - 1 ] [ ( 1 + i ) - 1 ] + [ ( 1 + i) t v - 1 ]
i
n- w w
ห้องสมุดไป่ตู้16 式
任意月份时已还的本息 ( 含当月)
m m
m- 1
7式
m m+ 1
整理得:
S m (1 Sm = d) = a1 [ 1 d ) - m a 1d m = 1- d (1 + m ) dm + m dm + 1 ] (1 - d ) 2 a1 (1 m
d - md + md 1- d
] 8式
a1 [ 1 -
经算例计算, 可以肯定 8 式是正确的。
28
中国房地产金融・消费信贷
1 2 3 … k … n
第 1 个月 第 k 个月 第 n 个月 ( 1) 如果假设借款额为 Y , 不分期还款, 而到期一次还本付息, 按照复利算法: 基本计算公式 Y ( 1 + i) n 1式 ( 2) 每月等额还款与到期一次还本付息相比, 借款人支付的利息较少, 下面计算出减少的利息加还款 额总数: 当第 k 个月时, 当月还款额为 A , 则此款会比到期一次性归还节约利息加上第 k 个月的还款额 A 为: ( 1 + i) n - k A 当 k 从 1 到 n 变化, 分期还到银行的款项比到期一次性归还节约的利息加上各月还款额的总额为:
将到期一次还本付息的本利和减去分期还款节约的利息即为分期还款应还款本息:
n
Y
( 1 + i) n -
A
∑ (1 +
k= 1
i)
n- k
- n A
5式
( 5) 应还款本息:
应还款本息 = n A 用 5 式等于应还款本息, 整理后得:
n
Y
( 1 + i) n = A
∑ (1 +
k= 1
i)
n- k
6式
( t+ w )
=
2 t+ w
( 1 + i) n k
k = w + t+ 1 v t+ w
∑
( 1 + i) n -
=
k
〔 1 - ( 1 + i) t 〕 ( 1 + i ) n = 1 - ( 1 + i) ( 1 + i) n - (w + 2 t) [ ( 1 + i) t - 1 ]
i
(w + t)
30
中国房地产金融・消费信贷
F1 = A
( 1 + i) n -
(w + 1)
[ ( 1 + i) t - 1 ]
i
n - (w + v t)
+ …+
( 1 + i) n -
(w + v t)
[ ( 1 + i) t - 1 ]
i
= =
[ ( 1 + i) tV - 1 ]
i
( 1 + i)
A
A
[ ( 1 + i)
中国房地产金融・2000・第1期
个人住房贷款还款算法及推导方法
□ 怀 蕾
中图分类号: F 8301572 文章编号: 100627388 ( 2000) 0120028205 文献标识码: A 摘要: 详尽分析商业银行个人住房贷款业务等额还款和等额累进还款方法, 并推导各种个人住房贷 款业务还款算法。 关键词: 个人住房贷款; 还款; 数学模型; 商业银行 目前随着人们消费水平的不断提高, 消费结构也随之改变, 人们对住房的需求呈上升趋势。 由 于购买住房需要大额资金, 使得城镇居民向银行申请贷款购买住房已经成为解决住房问题的基本途径, 同 时给银行带来了良好的经营机遇, 国内各家银行已纷纷推出了个人住房贷款业务。 这项业务与银行其他 的资产业务比较, 其最明显的区别在于它的还款方式, 那么对于银行来说, 如何设计出既能够满足客户 需要, 又能够保证银行和客户双方利益的还款方式是至关重要的, 而不同还款方式对于分期还款额的计 算又是非常关键的。 作者根据工作实践, 介绍了个人住房贷款的几种还款方式, 如等额还款法、 等额累 进还款法、 等额本金还款法、 一次还本付息法、 按期付息按期还本法及其计算公式, 并对这些计算公式 以及典型还款方法进行推导, 以飨读者。