第三章中事故树定量分析

事故树定量分析
一、基本事件的发生概率 基本事件的发生概率包括系统的单元(部件或元件)故障概率及 人的失误概率等,在工程上计算时,往往用基本事件发生的频率来 代替其概率值。 二、顶事件的发生概率 事故树定量分析, 是在已知基本事件发生概率的前提条件下, 定 量地计算出在一定时间内发生事故的可能性大小。如果事故树中 不含有重复的或相同的基本事件, 各基本事件又都是相互独立的, 顶事件发生概率可根据事故树的结构, 用下列公式求得。
1
2(n j 1)
xiK j
Kj—含有基本事件i的最小割集； Nj—Kj中的基本事件数；
概率重要度
基本事件的结构重要度分析只是按事故树的结构分析各基本事件 对顶事件的影响程度, 所以, 还应考虑各基本事件发生概率对顶事件 发生概率的影响, 即对事故树进行概率重要度分析。
事故树的概率重要度分析是依靠各基本事件的概率重要系数大小 进行定量分析。所谓概率重要度分析, 它表示第 i 个基本事件发生 概率的变化引起顶事件发生概率变化的程度。 由于顶事件发生概率 函数是 n 个基本事件发生概率的多重线性函数, 所以, 对自变量qi求 一次偏导, 即可得到该基本事件的概率重要度系数Ig(i) 为:
结构重要度
（2）利用事故树的最小割集或最小径集进行结构重要度排序:
a 单事件最小割( 径)集中的基本事件结构重要度最大。 b 仅在同一最小割(径)集中出现的所有基本事件结构重要度相 等。 c 两个基本事件仅出现在基本事件个数相等的若干最小割(径) 集中, 这时在不同最小割 ( 径)集中出现次数相等的基本事件其 结构重要度相等; 出现次数多的结构重要度大, 出现次数少的结 构重要度小。 d 若几个事件在各最小割(径)集中出现的次数相等,则少事件最 小割(径) 集中出现的基本事件结构重要度大;
b.从概率重要度分析知: 降低基本事件X3的发生概率, 能迅速有效 地降低顶事件的发生概率, 其次是基本事件X1 、X5 、X4, 而最不重 要、最不敏感的是基本事件X2.
c.从关键重要度分析知: 基本事件X3不仅敏感性强, 而且本身发生 概率较大, 所以它的重要度仍然最高; 但由于基本事件X1发生概率较 低, 对它作进一步改善有一定困难; 而基本事件X5敏感性较强, 本身 发生概率又大, 所以它的重要度提高了。
事故树有四个最小径集: P1={X1, X3,}; P2={X1, X5};
P3={X3, X4}; P3={X2, X4, X5}
事故树定量分析
解：事故树有三个最小割集:K1={ X1, X2, X3} , K2={ X1, X4}, K3={ X3, X5}
利用最小割集确定基本事件结构重要度系数近似公式1：
事故树定量分析
例：以图事故树为例, 试用最小割集 法、最小径集法计算顶事件的发生概 率。 各基本事件发生的概率分别为：q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03; q4=0.04; q5=0.05
解：事故树有三个最小割集:K1={ X1, X2, X3} , K2={ X1, X4}, K3={ X3, X5}
事故树定量分析
三种重要度系数中, 结构重要度系数是从事故树结构上反映基本 事件的重要程度, 这给系统安全设计者选用部件可靠性及改进系统 的结构提供了依据; 概率重要度系数是反映基本事件发生概率的变 化对顶事件发生概率的影响,为降低基本事件发生概率对顶事件发生 概率的贡献大小提供了依据; 关键重要度系数从敏感度和基本事件 发生概率大小反映对顶事件发生概率大小的影响, 所以, 关键重要度 比概率重要度和结构重要度更能准确地反映基本事件对顶事件的影 响程度, 为找出最佳的事故诊断和确定防范措施的顺序提供了依据。
顶事件发生概率的近似计算 （1）首项近似法，由最小割集计算 在式 (2-11) 中, 设:
因为：P(T)=F1-F2+…(-1)r-1Fr； F1>>F2,F2>>F3,…所以可以用首项F1来近似当作顶事件的 发生概率。
顶事件发生概率的近似计算 (2) 平均近似法。为了使近似算法接近精确值, 计算时保留式 (211) 中第一、二项, 并取第二项的1/2 值, 即:
=0.001904872
顶事件发生概率的近似计算
按照最小割集和最小径集法可以计算顶事件发生概率的精确解。 但当事故树中的最小割集或最小径集较多时会发生组合爆炸问题, 计算量相当大。在许多工程问题中, 这种精确计算是不必要的, 这 是因为统计得到的基本数据往往是不很精确的,因此, 用基本事件 的数据计算顶事件发生概率值时精确计算没有实际意义。所以, 实 际计算中多采用近似算法。
事故树定量分析 基本事件的关键重要度:
基本事件的关键重要度顺序为: Icg (3) > Icg (5) > Icg (1) > Icg (4) > Icg (2)
事故树定量分析
分析:
a.从结构重要度分析可知: 基本事件 X1 、X3 对顶事件发生的影 响最大, 基本事件 X4 、X5的影响次之, 而基本事件X2的影响最小。
这种算法, 称为平均近似法。 (3) 独立事件近似法。若最小割集 Er(r=1,2, … ,k) 相互独立, 可
以证明其对立事件E/r 也是独立事件, 则有:
对于式(3-25), 由于 Xi=O( 不发生 ) 的概率接近于 1, 故不适用 于最小径集的计算 ,否则误差较大。
重要度分析
一个基本事件对顶事件发生的影响大小称为该基本事件的重要 度。重要度分析在系统的事故预防、事故评价和安全性设计等方面 有着重要的作用。事故树中各基本事件的发生对顶事件的发生有着 程度不同的影响, 这种影响主要取决于两个因素 , 即各基本事件发 生概率的大小以及各基本事件在事故树模型结构中处于何种位置。 为了明确最易导致顶事件发生的事件, 以便分出轻重缓急采取有效 措施,控制事故的发生, 必须对基本事件进行重要度分析。
Ig(i) -- 第 i 个基本事件的概率重要度系数;
事故树定量分析
例：以图 3-12 事故树模型为例, 计算 各基本事件的结构重要度系数、割集重 要度系数、概率重要度系数、关键重要 度系数。 q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03; q4=0.04; q5=0.05
解：事故树有三个最小割集:K1={ X1, X2, X3} , K2={ X1, X4}, K3={ X3, X5}
最小径集法求顶上事件概率
根据最小径集与最小割集的对偶性, 利用最小径集同样可求出顶 事件的发生概率。 设某事故树有k个最小径集: P1、P2、… Pr、… Pk . 用 Dr(r=1,2, …,k) 表示最小径集不发生的事件 , 用T′表示顶事件不发 生。由最小径集的定义可知, 只要 k 个最小径集中有一个不发生, 顶 事件就不会发生, 则:
结构重要度 （2）利用事故树的最小割集计算结构重要度简易算法: 近似公式1:
1 1
I (i) N xiK j n j
N—最小割集总数； Kj—含有基本事件i的最小割集； Nj—Kj中的基本事件数；
结构重要度 （2）利用事故树的最小割集计算结构重要度简易算法:
近似公式2:
I (i)
结构重要度
如不考虑各基本事件发生的难易程度, 或假设各基本事件的发 生概率相等, 仅从事故树的结构上研究各基本事件对顶事件的影 响程度, 称为结构重要度分析,并用基本事件的结构重要度系数、 基本事件割集重要度系数判定其影响大小。
（1）基本事件(元)的结构重要度系数 Iφ(i) 定义为基本事件 的危险割集的总数nф(i)与2n-1个状态组合数的比值 , 即:
事故树定量分析
用 “与门” 连接的顶事件的发生概率为:
用 “或门” 连接的顶事件的发生概率为:
式中 qi -- 第 i 个基本事件的发生概率 ( i=1,2, … , n)。
如图 3-15所示的事故树。已知各基本事 件的发生概率q1 =q2 =q3 =0.1, 顶事件的 发生概率为: P (T) = q1[1-(1- q2)(1- q3)]
I (i)

1 N
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xiK j
1 nj
I (1) 5 /18, I (2) 1/ 9, I (3) 5 /18, I (4) I (5) 1/ 6
基本事件结构重要度顺序为: IΦ (1)= IΦ (3) > IΦ (5) = IΦ (4) > IΦ (2)
事故树定量分析
利用最小割集法计算顶事件发生的概率: P(T)= q1q2q3 +q1q4 +q3q5 -q1q2q3q4 -q1q3q4q5 qlq2q3q5 +qlq2q3q4q5 所以 ,由 Ig(i) 得P每(T个) 事件概率重要度为:
qi
事故树定量分析
基本事件概率重要度顺序为: Ig (3)> Ig(1) > Ig(5) > Ig(4) > Ig(2)
P(T)=1-[(1- q1)(1- q3)+(1- q1)(1- q5)+(1- q3)(1- q4) +(1q2)(1- q4)(1- q5)] +(1- q1)(1- q3)(1- q5)+(1- q1)(1- q3)(1- q4) +(1- q1)(1q2)(1- q4)(1- q5) +(1- q2)(1- q3)(1- q4)(1- q5)
Ig (i) P(T ) qi
概率重要度
式中 P(T) -- 顶事件发生概率; qi -- 第 i 个基本事件的发生概率。
利用上式求出各基本事件的概率重要度系数, 可确定降低哪个基本 事件的概率能迅速有效地降低顶事件的发生概率。
概率重要度有一个重要性质: 若所有基本事件的发生概率都等于 1/2, 则基本事件的概率重要度系数等于其结构重要度系数 , 即:
= 0.1[1-(1-0.1)(1-0.1)] = 0.019
最小割集法求顶上事件概率 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时, 顶事件等于最 小割集的并集。 设某事故树有是个最小割集: E1 、 E2 、…、 Er、…、 Ek, 则有:
顶事件的发生概率为：
根据容斥定理得并事件的概率公式:
设各基本事件的发生概率为: q1 、 q2 、…、 qn , 则有:
事故树有四个最小径集: P1={X1, X3,}; P2={X1, X5}; P3={X3,
X4}; P4={X2, X4, X5}
事故树定量分析
由式(3-18)得顶事件的发生概率: P(T)= q1q2q3 +q1q4 +q3q5 -q1q2q3q4 -q1q3q4q5 -
qlq2q3q5 +qlq2q3q4q5 代入各基本事件的发生概率得 P(T)=0.001904872。 由式 (3-19) 得顶事件的发生概率:
最小割集法求顶上事件概率
故顶事件的发生概率为:
式中 r 、 s 、 t -- 最小割集的序数,r < s < t; i -- 基本事件的序号,xi €Er; k -- 最小割集数;
1 ≤r <s≤k --k个最小割集中第r 、s两个最小割集的组合顺 序;
xi €Er -- 属于第 r 个最小割集的第 i 个基本事件 ; xi €Er UEs--属于第 r 个或第 5 个最小割集的第 i 个基本事件。
Ig(i) qi 1/ 2 I (i)
这样, 在分析结构重要度时, 可用概率重要度系数的计算公式求取 结构重要度系数。
临界重要度 当各基本事件发生概率不等时, 一般情况下, 改变概率大的基本 事件比改变概率小的基本事件容易, 但基本事件的概率重要度系数 并未反映这一事实, 因而它不能从本质上反映各基本事件在事故树 中的重要程度。关键重要度（临界重要度）分析,它表示第 i 个基 本事件发生概率的变化率引起顶事件发生概率的变化率, 因此, 它 比概率重要度更合理更具有实际意义。其表达式为:
事故树定量分析
事故树的定量分析首先是确定基本事件的发生概率, 然后求出 事故树顶事件的发生概率。求出顶事件的发生概率之后, 可与系 统安全目标值进行比较和评价,当计算值超过目标值时,就需要采 取防范措施,使其降至安全目标值以下。
在进行事故树定量计算时, 一般做以下几个假设: (1) 基本事件之间相互独立; (2) 基本事件和顶事件都只考虑两种状态; (3) 假定故障分布为指数函数分布。
即：
根据容斥定理得并事件的概率公式:
最小径集法求顶上事件概率
故顶事件的发生概率为：
式中 Pr -- 最小径集 (r=1,2, …,k) r 、 s -- 最小径集的序数,r < s; k -- 最小径集数;
(1-qi)-- 第 i 个基本事件不发生的概率; xi €Pr -- 属于第 r 个最小径集的第 i 个基本事件 ; xi €Pr UPs--属于第 r 个或第s个最小径集的第 i 个基本事件。