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灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数 据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能 的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同 时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始 数据模型。 因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1) 模型所得到的预测值的逆处理结果。
灰色预测模型
1
1、灰色系统介绍
■ 灰色系统是由华中科技大学的邓聚龙教授80 年代初所创立，在短短的三十年里已得到了长足 的发展。 ■ 灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息 未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题，并 依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运 动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重 研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
4
3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰 数，通常记为：“”。
例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范
围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
5
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
称Z (1)为X (1) 的MEAN序列，并记为
Z (1) MEAN X (1)
当且仅当
Z (1) z(1) 1, z(1) 2,L , z(1) n
并且每个z(1) (k) Z (1) 满足下述关系
13来自百度文库
z (1)
k
1 2
x(1)
(k )
x(1)
(k
1)
例3 对于X (1) (1, 2, 3, 4, 5)，有
6
4、灰生成技术
灰色序列生成
是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点
在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，
显现其规律性。
灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。 2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
2
灰色模型的优点
1、不需要大量的样本。 2、样本不需要有规律性分布。 3、计算工作量小。 4、定量分析结果与定性分析结果不会不一致。 5、可用于近期、短期，和中长期预测。 6、灰色预测精准度高。
3
2、灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差 异。 公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是 非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的 基本法则。 公理3、最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发 利用已占有的“最少信息”。 公理4、认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5、新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信 息。 公理6、灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
通过AGO可以加工成单调增序列：
AGO X (0) X (1) (1, 3, 4.5, 7.5)
10
9
8
X (0)
7
6
5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
9
8 7
X (1)
6
5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
并y(k) Y 满足 y(k) x(0) (k) x(0) (k 1)
11
例2 令原始序列X (0)为
X (0) x(0) 1, x(0) 2, x(0) 3, x(0) 4, x(0) 5
(1,1,1,1,1) AGO X (0) X (1) (1, 2, 3, 4, 5)
IAGO X (1) 1, 2 1,3 2, 4 3,5 4
我们说X (1)是X (0)的AGO序列，并记为
当且仅当
X (1) AGO X (0)
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
k
并满足 x(1) (k) x(0) (m) (k 1, 2,L , n) m1
9
例1 摆动序列为：X (0) 1, 2, 1.5, 3
(k)
x(0) (k 1) , x(0) (k)
k
2,3,L
, n.
为序列 X (1) 的级比。
检验准则 设序列 X (0) x(0) 1 , x(0) 2,L , x(0) n
的级比满足
2
2
(k) (e n1 , en1 )
时，序列 X (1) 可做GM(1,1)建模。
15
5、GM（1，1）模型
MEAN Z (1) z(1) (1), z(1) (2), z(1) (3), z(1) (4)
0.5(1 2),0.5(2 3),0.5(3 4),0.5(4 5) 1.5, 2.5,3.5, 4.5
14
4. 级比生成算子
定义 设序列X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n ，则称
(1,1,1,1,1)
这表明
IAGO X (1) IAGO( AGO X (0) ) X (0)
12
3. 均值生成算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， 以获得生成序列。令X (1)为X (0)的AGO序列
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
7
常见的几种灰生成类型：
1. 累加生成算子（AGO） 2. 逆累加生成算子（ IAGO） 3. 均值生成算子（MEAN） 4. 级比生成算子
8
1. 累加生成算子（AGO）
定义 它是对原序列中的数据依次累加以得到 生成序列。令x(0) 为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
2. 逆累加生成算子（IAGO）
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X (0)为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
称Y是 X (0)的IAGO序列，并记为
当且仅当
Y IAGO X (0)
Y y(1), y(2),L , y(n)
灰色预测模型
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1、灰色系统介绍
■ 灰色系统是由华中科技大学的邓聚龙教授80 年代初所创立，在短短的三十年里已得到了长足 的发展。 ■ 灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息 未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题，并 依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运 动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重 研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
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3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰 数，通常记为：“”。
例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范
围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
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灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
称Z (1)为X (1) 的MEAN序列，并记为
Z (1) MEAN X (1)
当且仅当
Z (1) z(1) 1, z(1) 2,L , z(1) n
并且每个z(1) (k) Z (1) 满足下述关系
13来自百度文库
z (1)
k
1 2
x(1)
(k )
x(1)
(k
1)
例3 对于X (1) (1, 2, 3, 4, 5)，有
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4、灰生成技术
灰色序列生成
是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点
在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，
显现其规律性。
灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。 2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
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灰色模型的优点
1、不需要大量的样本。 2、样本不需要有规律性分布。 3、计算工作量小。 4、定量分析结果与定性分析结果不会不一致。 5、可用于近期、短期，和中长期预测。 6、灰色预测精准度高。
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2、灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差 异。 公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是 非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的 基本法则。 公理3、最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发 利用已占有的“最少信息”。 公理4、认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5、新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信 息。 公理6、灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
通过AGO可以加工成单调增序列：
AGO X (0) X (1) (1, 3, 4.5, 7.5)
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X (0)
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0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
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X (1)
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5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
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并y(k) Y 满足 y(k) x(0) (k) x(0) (k 1)
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例2 令原始序列X (0)为
X (0) x(0) 1, x(0) 2, x(0) 3, x(0) 4, x(0) 5
(1,1,1,1,1) AGO X (0) X (1) (1, 2, 3, 4, 5)
IAGO X (1) 1, 2 1,3 2, 4 3,5 4
我们说X (1)是X (0)的AGO序列，并记为
当且仅当
X (1) AGO X (0)
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
k
并满足 x(1) (k) x(0) (m) (k 1, 2,L , n) m1
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例1 摆动序列为：X (0) 1, 2, 1.5, 3
(k)
x(0) (k 1) , x(0) (k)
k
2,3,L
, n.
为序列 X (1) 的级比。
检验准则 设序列 X (0) x(0) 1 , x(0) 2,L , x(0) n
的级比满足
2
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(k) (e n1 , en1 )
时，序列 X (1) 可做GM(1,1)建模。
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5、GM（1，1）模型
MEAN Z (1) z(1) (1), z(1) (2), z(1) (3), z(1) (4)
0.5(1 2),0.5(2 3),0.5(3 4),0.5(4 5) 1.5, 2.5,3.5, 4.5
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4. 级比生成算子
定义 设序列X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n ，则称
(1,1,1,1,1)
这表明
IAGO X (1) IAGO( AGO X (0) ) X (0)
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3. 均值生成算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， 以获得生成序列。令X (1)为X (0)的AGO序列
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
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常见的几种灰生成类型：
1. 累加生成算子（AGO） 2. 逆累加生成算子（ IAGO） 3. 均值生成算子（MEAN） 4. 级比生成算子
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1. 累加生成算子（AGO）
定义 它是对原序列中的数据依次累加以得到 生成序列。令x(0) 为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
2. 逆累加生成算子（IAGO）
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X (0)为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
称Y是 X (0)的IAGO序列，并记为
当且仅当
Y IAGO X (0)
Y y(1), y(2),L , y(n)