概率论与数理统计(chapt1-4 条件概率与全概率公式)

全概率公式 P18
设S是试验E的样本空间， 1 ,B2 ,Bn 是S的一 B
个划分，且 P( Bi )>0(i=1,2, n), 则对任一事件A，有
P(A)=P(B1 )P( A B1 )+P(B2 )P( A B2 )++P(Bn )P( A Bn )
= P(Bi )P( ABi )
i=1
（贝叶斯公式，后解） 返回
解： 设事件A：取到的产品是次品
Bi (i 1, 2, 3)：取到的产品分别由甲、乙、丙厂生产
则: (1) P ( A) P Bi P A Bi
3 i 1
P(B1 )P(A B1 ) P(B2 )P(A B2 ) P(B3 )P(A B3 )
n
多个因求一个果的概率
例6 设某仓库中有同样规格的产品1000件，其中 甲厂生产600件，乙厂生产250件，丙厂生产150 件。已知这三个厂生产的产品质量不同，它们 的次品率依次为1%，4%，2%，现从仓库中任 取一件产品，求： (1) 取得的产品是次品的概率 （全概率公式） (2) 已知取得的产品是次品，但生产厂的标签已脱 落，问甲厂应承担多少经济责任？
三个人都抽到难签的概率。
（2）乙抽到难签的概率。 解 设A , B , C分别表示甲、乙、丙各自抽到难签。
(1)P(ABC) P(A)P(B A)P(C AB)
4 3 2 1 10 9 8 30
4 0.4 （2） P(A) 10
对于事件B而言，
样本空间的划分是 A 和A
则 A 3 表示第三次取到红球， 所求概率为 P(A1A2 A3 )
a ac , P( A2 A1 ) , P ( A1 ) ab abc
b P ( A3 A1 A2 ) a b 2c
所求概率为
P(A1A2 A3 ) P(A1 ) P(A 2 A1 ) P(A 3 A1 A 2 )
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) P( An A1 A2 An1 )
例3 见例1(2)
例4 有一批产品，由甲、乙两家生产，其中甲家占2/3, 乙家占1/3，又知甲家产品次品率为5％，乙家产品次品 率为3％，现从中抽取一件，求 （1）取到甲家产品次品的概率； （2）取到乙家产品次品的概率； 解 设A1：取到甲家产品，A2：取到乙家产品； A3：取到次品 1 2 则（1） P( A A3 ) P( A1 ) P( A3 | A1 ) 5% 1 30 3
第四节
条件概率与全概率公式
一、条件概率与乘法定理 二、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率与乘法定理
1.条件概率
引例 10个人抽一个签 第一个人抽中，第二个人抽中的概率为 0
1 第一个人抽不中，第二个人抽中的概率为 9
A,B为两个事件，在事件B发生条件下，事 件A发生的概率称为B发生条件下A的条件概率， 记为P(A|B).
P( A B) P( AB)
条件概率的计算方法
P(AB) （1）由定义 P(A | B) 计算 P(A | B) P(B)
（2）在事件Ｂ发生的条件下将样本空间S缩减为事 件B所包含的样本点的集合SB，然后在缩减的样本
空间 SB中求事件A发生的概率,从而得 P(A | B)
例1 5件产品中有2件次品，从中取产品两次，每次任取
二、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较 复杂事件的概率,它们实质上是加法公式、乘法公 式和条件概率的综合运用. 综合运用
乘法公式 条件概率 加法公式 P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B|A) P(A|B)= P(AB)/P(B) P(A)>0 P(B)>0 A、B互斥
P(ABC) P(A)P(B A)P(C AB)
1 1 0.1 0.025 2 2
（2）他拿伞而没有下雨的概率，即：
P(AC) P(ABC ABC)
P(ABC) P(ABC)
P(A)P(B A)P(C AB) P(A)P(B A)P(C AB)
1 1 1 0.9 0.1 1 0.275 2 2 2
样本空间的一个划分 （P18全概率公式中）
B 设S为样本空间， 1 ,B2 ,Bn 为n个随机事件，若满足
(1) B1 ,B2 ,Bn 两两互不相容，即：Bi Bj (i j)
n
(2)
B
i 1
i
S
则称 B1 , B2 ,Bn 为样本空间S的一个划分。
S B1 B2
…...
Bn
P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
4 3 6 4 2 0.4 10 9 10 9 5
下面我们对全概率公式的使用方法进行小结
全概率公式的使用
我们把事件A看作某一随机过程的一种可能结果，
把 B1 , B2 , , Bn 看作该过程的若干个原因，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
一只，作不放回抽样，求：
（条件概率）
(1)在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率.
(2)在第一次取得正品，第二次取得次品的概率. 解： 设事件A ：“第一次取得正品”
（乘法定理，后解）
事件B ：“第二次取得次品”
2 1 则：(1) P(B | A) 4 2 3 2 3 (2) P(AB) P(A)P(B | A) 5 4 10
3
3 2 C 4 C1 C2 5 C5C1 6 C5 7 533 33 3 C8 10 C 10 C8 10 C8 10
i0 3 3 3 8
329 0.5875 560
例8 10张考签中有4张难签，今有甲乙丙三个依次
参加抽签，从中任取一张，抽后不放回，试求（1）
（2）注意概率 P(A|B)与 P(AB)的区别与联系 联系： 事件A，B都发生了 （1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差 区别：
异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。
（2）样本空间不同，在P(A|B)中，样本空间是缩减 样本空间SB；在P（AB）中，样本空间仍为S。 因而有
1 1 （2） P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 | A2 ) 3% 3 100
返回
例5(P18) 一口袋中装有a 只白球，b 只红球，每次随
机取出一只，然后把原球放回，并加进与抽出的球同 色的球 c只。连续摸球三次，试求第一、第二次取到 白球，第三次取到红球的概率。 解 设 Ai 表示事件“第 i 次取到白球’’ （i=1,2,3)
P(AB) P(B) 0.6
P(AB) 0.6 所求概率为： 0.75 P(B A) P(A) 0.8
2.乘法定理
设Ａ,Ｂ为随机试验E的两个事件, 若Ｐ(A)＞０，则
P( AB) P( A) P( B A)
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
若Ｐ(B)＞０，则
P Ai B P Ai B i 1 i 1
概率的性质，即
1. P( A1 A2 B) P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B)
2. P ( A B ) 1 P ( A B ) 3. P ( A C B ) P ( AC B ) P ( A B ) P ( AC B )
返回
例2(P17)某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概 率为0.8，超过60年的概率为0.6,现该建筑物已经历 了50年，问它的使用寿命超过60年的概率是多少？ 解： 设A：该建筑物使用寿命超过50年。 B：该建筑物使用寿命超过60年。 由题意， P(A) 0.8, P(B) 0.6
B A,
引例(P15)盒子中混有新旧两种球共100个，新球中有
白球40个，红球30个，旧球中有白球20个，红球10个，
现从盒子中任取一球，已知取出的是新球，求取得的
是白球的概率。 设A:取得白球。B:取得新球。现列表如下： 解：
白球 红球 小计 新球 旧球 小计
P(A B)
40 20 60
30 10 40
P( AB) P( B)P( A B)
P ( AB ) P( A B) P( B)
推广 P17
1.若Ｐ(AB)＞０，则
P( ABC ) P( A) P( B A) P(C | AB)
2.设 A1 ,A2 ,…, An 为随机试验E的n个事件, 若 Ｐ(A1 A2 … An-1)＞０，则
i 1 =
例9 见例6(2)
多个因发生一个果，在果已知的情况下，求各因的可能性
说明：
Bi是事件 A 的原因,称 P(Bi ) i=1,2, …,n为先验
概率，它是在没有进一步信息（不知道事件A是否发
70 30 100
P(AB)
40 70

40/ 100 70/ 100
P(B)
P(AB)Βιβλιοθήκη Baidu P(A B) P(B)
上述关系虽然是在特殊情况下得到的，但它对一般的古典概率。几何 概率都成立，由此公式我们给出条件概率的定义
条件概率的定义 P16
设Ａ,Ｂ为随机试验E的两个随机事件, 且Ｐ(Ｂ)＞０，则称
600 150 250 1% 2% 4% 1000 1000 1000
0.019
P(B1 )P(A B1 ) P(AB1 ) (2) P(B1 A) 3 P(A) P(Bi )P(ABi )
i=1
0.6 0.01 0.3158 0.019
所以甲厂应承担约31.58%的经济责任. 返回
即 P B 已知
i
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 P A B 已知
i
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 P A
再回到例6，现有一人从此仓库买了一件这种产品， 结果是次品，此人要求赔偿，但生产厂的标签已
脱落，问该如何赔偿，例如，甲厂应承担多少经
济责任？ 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件
概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可
能性大小。 接下来我们介绍贝叶斯公式来解决这类问题
贝叶斯公式 P19
设S是试验E的样本空间，B1 ,B2 ,Bn 是S的一个
划分， P(Bi）>0(i=1,2, n) ，则对任一事件A，有 且
P(Bk )P(A Bk ) P(ABk ) P(B k A ) = = n k 1, 2, n. P(A) P(B）P(A Bi ) i
例7 甲箱中有5个正品3个次品，乙箱中有4个正品3个次 品，从甲箱中任取3个产品放入乙箱，然后从乙箱中任 取1个产品，求这个产品是正品的概率。 解 设A：从乙箱中所取产品是正品 Bi：“从甲箱中所取3个产品中有i个正品”， （i =0，1，2，3） 则所求概率为：
P(A) P Bi P A Bi
考虑刚才的例4的次品概率。
P( A3 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 )
P( A1 ) P( A3 | A1 ) P( A2 ) P( A3 | A2 )
1 1 13 30 100 300
此公式即为全概率公式的一种特殊形式，要给出一 般形式，先给出划分的定义
P(AB) P(A | B) P(B)
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．
注： (1)条件概率也是概率, 所以满足 概率的三条公理和性质 三条公理即： 1）非负性 2）规范性 3）可列可加性
0 P( A B) 1
P ( S B ) 1,
P ( B ) 0
A1，A2，…,An…两两互不相容时，
a ac b a b a b c a b 2c
思考. 某城市下雨的日子占一半，天气预报的准确 度为90％，某人每天上班都为下雨烦恼，于是预报
下雨他就拿伞，即使预报没有雨，他也有一半时间
拿伞，求
（1）他没有拿伞而遇到雨的概率。
（2）他拿伞而没有下雨的概率。
解：
设A：天下雨，B:天气预报正确，C：此人拿伞。 （1） 他没有拿伞而遇到雨,说明天气预报错了，所以 这是求事件 ABC 的概率