多元函数可微性的判定12
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f(x+△x,y)-f(x,y)=fx(x,y)△x+ε1△x, f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)=fy(x+△x,y)△y+ε2△y,
其中
,
.
又因为fy(x,y)在(x,y)关于x连续，所以
fy(x+△x,y)=fy(x,y)+ε3,
其中
.
所以 f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)=fy(x,y)△y+ε2△y+ε3△y，
其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x、y有关,
,且
,则称函数z=f
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陕西工学院学报990217
(x,y)在点(x,y)可微分, 而称A△x+B△y为函数在点(x,y)的全微分， 记作dz,即
陕西工学院学报990217
陕西工学院学报
JOURNAL OF SHAAMXI INSTITUTE OF TECHNOLOGY
1999年 第2期 第15卷 No.2 vol.15 1999
多元函数可微性的判定
李小斌
【摘 要】 多元函数的可微性一般情况下是通过讨论偏导数的连续性来进行判断的, 本文改进了这种方法,将多元函数连续性的讨论弱化为一元函数连续性的讨论,从而使得 多元函数可微性的判定变的较为简便。 【关 键 词】 全微分； 偏导数； 多元函数 【中图分类号】 O172 【文献标识码】 A
4.期刊论文 孟赵玲.张梅荣 一阶全微分形式不变性的应用 -北京印刷学院学报2004,12(1)
在积累教学实践的基础上,总结了全微分形式不变性的应用问题,指出在多元函数微分运算中利用它可以分别求函数的偏导数,隐函数求导,求空间曲线的切向量及求多元函数的极值.
5.期刊论文 陈喜娥.尹雪峰 在全微分教学中培养学生的发散思维 -山西煤炭管理干部学院学报2005,18(3)
函数的导数与微分的求解技巧.
10.期刊论文 陈定元.王业庆 多元函数教学中应注意的几个问题 -安庆师范学院学报（自然科学版）2005,11(2)
多元函数的教学是高等数学教学中的一个难点.本文指出了多元函数教学中应注意的几个问题.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxgxyxb199902017.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7e558b28-34ec-4713-9d47-9dce00befedf
陕西工学院学报 JOURNAL OF SHAANXI INSTITUTE OF TECHNOLOGY 1999，15(2) 0次
参考文献(2条) 1.陈传章 数学分析 1983 2.同济大学数学教研室 高等数学 1996
相似文献(10条)
1.期刊论文 陈华锋.李治.李燕.CHEN Hua-feng.LI Zhi.LI Yan 一阶全微分形式不变性在多元微分学中的应用 -广东教育学院学报
在高等职业教育的微积分教学中,求二元复合函数的全微分是一个难点.教师应引导学生从不同角度、采用不同方法,求得二元复合函数的全微分,以培养学生的发散思维能力.
6.期刊论文 钱泽平.禹春福.QIAN Ze-ping.YU Chun-fu 全微分在偏微分方程变量替换中的应用 -安徽教育学院学报2005,23(6)
而应用起来更为方便,且有较大的应用范围。
作者简介：李小斌(1972—)，男，陕西洋县人，陕西工学院助教。 作者单位：陕西工学院 基础课部，陕西 汉中 723003
参考文献 [1] 陈传章等编.数学分析.第二版. 北京:高等教育出版社,1983. [2] 同济大学数学教研室主编. 高等数学.第四版.北京:高等教育出版社,1996.
The decision of the differenability of a function of many varibles
LI Xiao-bin
(Dept.of B.C.,of Shaanxi Institute of Technology，Hanzhong 723003，China)
Abstract：The differenability of a function of many varibles is usually decided by discussing the continunity of its partial derivative.Here,an improved method is introduced, which transforms the discussing of the continuity of a function of many varibles into the discussing of the countinuity of a function of one varible,and thus simplifies the decision of the differenability of a function of many varibles. Key words：total differenability；derivative；function of many variables
下载时间：2010年8月10日
推论2 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内有连续的偏导数 和 ,则函数
file:///E|/qk/sxgxyxb/sxgx99/sxgx9902/990217.htm（第 2／3 页）2010-3-23 7:53:03
陕西工学院学报990217
z=f(x,y)在点(x,y)可微分。 这两条推论的证明只要利用定理的结论即可得到。 下面我们具体看一个例子。 例 试讨论函数
在点(0,0)的可微性。 解 当(x,y)=(0,0)时 fx(0,0)=0,fy(0,0)=0；
当(x,y)≠(0,0)时
因为
，所以fy(x,y)在(0,0)关于x连续，因而根据定理可知z=f(x,y)
在(0,0)可微分。
4 结论
本文所给的方法,由于将多元函数连续性的讨论弱化为一元函数的连续性的讨论,因
1 引 言
多元函数的可微性是多元函数的一个重要性质，一般情况下多元函数的可微性是 通过讨论偏导数是否连续来进行判断的，本文将在更一般的范围内给出判定多元函数 可微性的一个方法。
2 主要结果
2.1 多元函数全微分的定义 函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分的定义为: 设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内有定义,若全增量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 可表示为△z=A△x+B△y+o(ρ),
收稿日期：1999-03-16
file:///E|/qk/sxgxyxb/sxgx99/sxgx9902/990217.htm（第 3／3 页）2010-3-23 7:53:03
ห้องสมุดไป่ตู้
多元函数可微性的判定
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
李小斌， LI Xiao-bin 陕西工学院,基础课部,陕西,汉中,723003
所以 △z=fx(x,y)△x+fy(x,y)△y+ε1△x+ε2△y+ε3△y.
又因为
所以△z=fx(x,y)△x+fy(x,y)△y+o(ρ), 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，证完。
3 应用
由该定理即可得到如下两个常用的推论。
推论1 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内偏导数 和 都存在,且 在点 (x,y)连续,则函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分。
3.期刊论文 刘青桂.郝香芝.LIU Qing-gui.HAO Xiang-zhi 全微分形式不变性在多元函数求导中的作用 -石家庄职业技术学院学报
2007,19(6)
对于多元复合函数的求导,经常使用"链锁法则",这个公式对一般的复合函数而言,是一个很有效的方法,但对于比较复杂的函数的偏导数,变量之间的关系不好区分,而利用多元函数的 一阶全微分形式不变性来求,则无需知道变量之间的相互关系,只需知道谁是自变量就可以了,从而简化了计算.
8.期刊论文 龙新科.LONG Xin-ke 二元函数可微的一个充分条件 -邵阳学院学报（自然科学版）2005,2(2)
提出了二元函数在某点可微的一个充分条件,与传统的判别方法相比,这个充分条件更加减弱了判别条件,进一步阐明了二元函数偏导数与可微性的关系,使适用范围扩大,适用性加强.
9.期刊论文 高凤芹 高等数学中导数与微分的求解技巧 -科技信息(科学·教研)2008,""(6)
dz=A△x+B△y.
2.2 判定定理
定理 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内偏导数 和 都存在,且 在(x,y)
关于x连续(或 在(x,y)关于y连续),则z=f(x,y)在点(x,y)可微分。 证明 因为 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)+f(x+△x,y)-f(x,y), 又因为
2006,26(5)
利用一阶全微分形式不变性求解偏导数,可以简化较复杂的复合函数求偏导的解题过程,介绍一阶全微分形式不变性在求解复合函数、隐函数的偏导数中的应用.
2.期刊论文 林先安 一阶全微分形式不变性在多元微分学中的应用 -孝感学院学报2004,24(6)
利用一阶全微分形式不变性和多元函数全微分的四则运算法则,得到了求多元复合函数高阶偏导数的新方法.
提供了一种用求多元函数全微分的方法,解决了多元偏微分方程的变量替换问题,它比其它的方法更具系统性和完整性.
7.期刊论文 张国铭 一道例题的答案给我的启示 -高等数学研究2009,12(2)
针对某考研资料中的一道极限题目给出了两个解答,第一个依赖偏导数的定义,第二个依赖两个重要极限之一,且第二个解答的获得源于第一个解答所算出的答案,此外,还证明了有关等 价无穷小代换的一个结论,扩大了其解决问题的范围.
其中
,
.
又因为fy(x,y)在(x,y)关于x连续，所以
fy(x+△x,y)=fy(x,y)+ε3,
其中
.
所以 f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)=fy(x,y)△y+ε2△y+ε3△y，
其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x、y有关,
,且
,则称函数z=f
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(x,y)在点(x,y)可微分, 而称A△x+B△y为函数在点(x,y)的全微分， 记作dz,即
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陕西工学院学报
JOURNAL OF SHAAMXI INSTITUTE OF TECHNOLOGY
1999年 第2期 第15卷 No.2 vol.15 1999
多元函数可微性的判定
李小斌
【摘 要】 多元函数的可微性一般情况下是通过讨论偏导数的连续性来进行判断的, 本文改进了这种方法,将多元函数连续性的讨论弱化为一元函数连续性的讨论,从而使得 多元函数可微性的判定变的较为简便。 【关 键 词】 全微分； 偏导数； 多元函数 【中图分类号】 O172 【文献标识码】 A
4.期刊论文 孟赵玲.张梅荣 一阶全微分形式不变性的应用 -北京印刷学院学报2004,12(1)
在积累教学实践的基础上,总结了全微分形式不变性的应用问题,指出在多元函数微分运算中利用它可以分别求函数的偏导数,隐函数求导,求空间曲线的切向量及求多元函数的极值.
5.期刊论文 陈喜娥.尹雪峰 在全微分教学中培养学生的发散思维 -山西煤炭管理干部学院学报2005,18(3)
函数的导数与微分的求解技巧.
10.期刊论文 陈定元.王业庆 多元函数教学中应注意的几个问题 -安庆师范学院学报（自然科学版）2005,11(2)
多元函数的教学是高等数学教学中的一个难点.本文指出了多元函数教学中应注意的几个问题.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxgxyxb199902017.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7e558b28-34ec-4713-9d47-9dce00befedf
陕西工学院学报 JOURNAL OF SHAANXI INSTITUTE OF TECHNOLOGY 1999，15(2) 0次
参考文献(2条) 1.陈传章 数学分析 1983 2.同济大学数学教研室 高等数学 1996
相似文献(10条)
1.期刊论文 陈华锋.李治.李燕.CHEN Hua-feng.LI Zhi.LI Yan 一阶全微分形式不变性在多元微分学中的应用 -广东教育学院学报
在高等职业教育的微积分教学中,求二元复合函数的全微分是一个难点.教师应引导学生从不同角度、采用不同方法,求得二元复合函数的全微分,以培养学生的发散思维能力.
6.期刊论文 钱泽平.禹春福.QIAN Ze-ping.YU Chun-fu 全微分在偏微分方程变量替换中的应用 -安徽教育学院学报2005,23(6)
而应用起来更为方便,且有较大的应用范围。
作者简介：李小斌(1972—)，男，陕西洋县人，陕西工学院助教。 作者单位：陕西工学院 基础课部，陕西 汉中 723003
参考文献 [1] 陈传章等编.数学分析.第二版. 北京:高等教育出版社,1983. [2] 同济大学数学教研室主编. 高等数学.第四版.北京:高等教育出版社,1996.
The decision of the differenability of a function of many varibles
LI Xiao-bin
(Dept.of B.C.,of Shaanxi Institute of Technology，Hanzhong 723003，China)
Abstract：The differenability of a function of many varibles is usually decided by discussing the continunity of its partial derivative.Here,an improved method is introduced, which transforms the discussing of the continuity of a function of many varibles into the discussing of the countinuity of a function of one varible,and thus simplifies the decision of the differenability of a function of many varibles. Key words：total differenability；derivative；function of many variables
下载时间：2010年8月10日
推论2 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内有连续的偏导数 和 ,则函数
file:///E|/qk/sxgxyxb/sxgx99/sxgx9902/990217.htm（第 2／3 页）2010-3-23 7:53:03
陕西工学院学报990217
z=f(x,y)在点(x,y)可微分。 这两条推论的证明只要利用定理的结论即可得到。 下面我们具体看一个例子。 例 试讨论函数
在点(0,0)的可微性。 解 当(x,y)=(0,0)时 fx(0,0)=0,fy(0,0)=0；
当(x,y)≠(0,0)时
因为
，所以fy(x,y)在(0,0)关于x连续，因而根据定理可知z=f(x,y)
在(0,0)可微分。
4 结论
本文所给的方法,由于将多元函数连续性的讨论弱化为一元函数的连续性的讨论,因
1 引 言
多元函数的可微性是多元函数的一个重要性质，一般情况下多元函数的可微性是 通过讨论偏导数是否连续来进行判断的，本文将在更一般的范围内给出判定多元函数 可微性的一个方法。
2 主要结果
2.1 多元函数全微分的定义 函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分的定义为: 设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内有定义,若全增量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 可表示为△z=A△x+B△y+o(ρ),
收稿日期：1999-03-16
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ห้องสมุดไป่ตู้
多元函数可微性的判定
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
李小斌， LI Xiao-bin 陕西工学院,基础课部,陕西,汉中,723003
所以 △z=fx(x,y)△x+fy(x,y)△y+ε1△x+ε2△y+ε3△y.
又因为
所以△z=fx(x,y)△x+fy(x,y)△y+o(ρ), 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，证完。
3 应用
由该定理即可得到如下两个常用的推论。
推论1 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内偏导数 和 都存在,且 在点 (x,y)连续,则函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分。
3.期刊论文 刘青桂.郝香芝.LIU Qing-gui.HAO Xiang-zhi 全微分形式不变性在多元函数求导中的作用 -石家庄职业技术学院学报
2007,19(6)
对于多元复合函数的求导,经常使用"链锁法则",这个公式对一般的复合函数而言,是一个很有效的方法,但对于比较复杂的函数的偏导数,变量之间的关系不好区分,而利用多元函数的 一阶全微分形式不变性来求,则无需知道变量之间的相互关系,只需知道谁是自变量就可以了,从而简化了计算.
8.期刊论文 龙新科.LONG Xin-ke 二元函数可微的一个充分条件 -邵阳学院学报（自然科学版）2005,2(2)
提出了二元函数在某点可微的一个充分条件,与传统的判别方法相比,这个充分条件更加减弱了判别条件,进一步阐明了二元函数偏导数与可微性的关系,使适用范围扩大,适用性加强.
9.期刊论文 高凤芹 高等数学中导数与微分的求解技巧 -科技信息(科学·教研)2008,""(6)
dz=A△x+B△y.
2.2 判定定理
定理 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内偏导数 和 都存在,且 在(x,y)
关于x连续(或 在(x,y)关于y连续),则z=f(x,y)在点(x,y)可微分。 证明 因为 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)+f(x+△x,y)-f(x,y), 又因为
2006,26(5)
利用一阶全微分形式不变性求解偏导数,可以简化较复杂的复合函数求偏导的解题过程,介绍一阶全微分形式不变性在求解复合函数、隐函数的偏导数中的应用.
2.期刊论文 林先安 一阶全微分形式不变性在多元微分学中的应用 -孝感学院学报2004,24(6)
利用一阶全微分形式不变性和多元函数全微分的四则运算法则,得到了求多元复合函数高阶偏导数的新方法.
提供了一种用求多元函数全微分的方法,解决了多元偏微分方程的变量替换问题,它比其它的方法更具系统性和完整性.
7.期刊论文 张国铭 一道例题的答案给我的启示 -高等数学研究2009,12(2)
针对某考研资料中的一道极限题目给出了两个解答,第一个依赖偏导数的定义,第二个依赖两个重要极限之一,且第二个解答的获得源于第一个解答所算出的答案,此外,还证明了有关等 价无穷小代换的一个结论,扩大了其解决问题的范围.