历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 2 ，相应于焦点F（c,0）（c0）的准线l与x轴相交于点A，OF =2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；
uuur uuur
（2）若OP OQ=0，求直线PQ的方程；
uuur uuur
（3）设AP =AQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证
uuuur uuur
明FM =-FQ . （14 分）
2．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+ f（x）=1，且当x[0,2]时，f（x）=| x -1| 。

（1）x[2k,2k + 2]（k Z）时，求f（x）的表达式。

（2）证明f（x）是偶函数。

（3）试问方程f（x）+log 1= 0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有4x 实数根，请说明理由。

3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x2+（y-3）2=1。

1）若动点M 到点 F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹 E 的方程；
2）过点 F 的直线g 交轨迹 E 于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；
3）过轨迹 E 上一点P 作圆 C 的切线，切点为A、B，要使四边形PACB 的面积S 最小，求点P 的坐标及S 的最小值。

x2
4.
以椭圆+ y2＝1（a>1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试a2
nn a n
是等差数列吗？请给予证明；
n
（Ⅲ
）
令
判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
5
已知，二次函数 f （ x ）＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 及一次函数 g （x ）＝－ bx ，其中 a 、b 、c ∈R ，a >b >c ，
a ＋
b ＋
c ＝0.
（Ⅰ）求证：f （x ）及 g （x ）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设 f （x ）、 g （x ）两图象交于 A 、B 两点，当 AB 线段在 x 轴上射影为 A 1B 1时，试求|A 1B 1| 的取值范围.
6
已知过函数 f （x ）= x 3 + ax 2 +1的图象上一点 B （1，b ）的切线的斜率为－3。

（1） 求 a 、b 的值；
（2） 求 A 的取值范围，使不等式 f （x ）≤A －1987 对于 x ∈［－1，4］恒成立； （3） 令 g （x ） = - f （x ）- 3x 2 + tx +1。

是否存在一个实数 t ，使得当 x
（0,1］时，
g （x ）有
最大值 1？
→→
7
已知两点 M （－2，0）， N （2，0），动点 P 在 y 轴上的射影为 H ，︱ PH ︱是 2 和 PM
PN 的等比中项。

（1） 求动点 P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点 M 、N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q ，求实轴最长的双曲线 C 的方程。

1）求数列｛b n ｝的通项公式；
7 2）设数列｛b n ｝的前项和为 S n ，试比较 S n 与 7
的大小，并证明你的结论.
8
9．已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 A （0, 2） 为 圆
心，1 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y = x 对称．
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 y = mx +1与双曲线 C 的左支交于 A ，B 两点，另一直线l 经过 M （-2，0） 及
AB 的中点，求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围；
（Ⅲ）若 Q 是双曲线 C 上的任一点，F 1F 2 为双曲线 C 的左，右两个焦点，从 F 1 引 F 1QF 2
的平分线的垂线，垂足为 N ，试求点 N 的轨迹方程．
10. f (x ) 对任意 x
R 都有 f (x ) + f (1- x ) = 1.
(Ⅰ)求 f (1) 和 f (1) + f (n -1) (n
N ) 的值．
2
n n
( Ⅱ ) 数 列
a n
满足
8．已知数列｛a n ｝满足 a
= 3a (a 0),a
22
an + a
,设b n = 2an a n
- a an + a
a n = f (0) + f (1) + f (2) +
+ f (n -1) + f (1) ， 数 列
4an -1,T n =b 1 +b 2 +b 3 + +b n ,S n =32- n 试比较T n 与S n 的大小．
11. ：如图，设 OA 、OB 是过抛物线 y 2＝2px 顶点 O 的两条弦，且O →A ·O →B ＝0，求以 OA 、OB 为
直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹.(13 分)
9
12.知函数 f (x )＝log 3(x 2－2mx ＋2m 2＋ 2 )的定义域为 R m －3 (1)求实数 m 的取值集合M ；
(2)求证：对 m ∈M 所确定的所有函数 f (x )中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2 的 m 的
值和 x 的值.
4 x - t 13.设关于x 的方程2x 2-tx-2=0的两根为,(
),函数f(x)= 4x -t .
x 2 + 1
(1). 求 f(
)和f ()的值。

(2)。

证明：f(x)在[
,
] 上是增函数。

(3) 。

对任意正数x 1、x 2,求证： f (x 1+ x 2) - f ( x 1+ x 2)
2
-
x + x x +x
14．已知数列｛a n ｝各项均为正数，S n 为其前 n 项的和.对于任意的
n
N * ，都有
4Sn =(an +1)2.
I 、求数列a 的通项公式.
II 、若
2n tS 对于任意的n
N *恒成立，求实数t 的最大值.
15.( 12 分)已知点 H (－3，0)，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，
3
且满足
HP · PM =0， PM =－ 3 MQ ，
(1)当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C ；
(2)过点T (－1，0)作直线 l 与轨迹 C 交于A 、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E (x 0,0)，使 得△ABE 为等边三角形，求 x 0的值.
16.(14分)设f 1(x )= 2 ,定义f n +1 (x )=f 1[f n (x )],a n = fn (0)-1 ,其中n ∈N *.
1 1+ x
n +1 I n n
f n (0)+2
I 求数列｛a n ｝的通项公式；
n
4a n
4n 2
+ n
(2)若T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+2na 2n ,Q n = 4
n +n
,其中n ∈N *,试比较9T 2n 与 Q n 的大小.
4n 2 + 4n + 1
→ → → → → → 17． 已知 a =(x,0)， b =(1，y)，( a + 3 b ) ⊥ ( a – 3 b )．
(I ) 求点
(x ，y )的轨迹 C 的方程；
(II) 若直线L ：y=kx+m(m
0)与曲线C 交于A 、B 两点，D(0，–1)，且有 |AD|=|BD|， 试求 m 的取
值范围．
18．已知函数 f (x )对任意实数p 、q 都满足 f (p
+q )= f (p ) f (q ),且f (1)=1.
n
设a n =nf (n )
(n
N +),求证：
a k 3; k =1 4 nn (n N +), Sn =
bk ,试比较 1 与6的大小．
k =1 k =1 S k
19．已知函数 f (x )=log a x (a 0且a
1),若数列：2, f (a 1), f (a 2),…，
f (a n ),2n + 4(n N ) 成等差数列.
1)求数列｛a n ｝的通项a n ；
2)若
a 1,数列｛a n ｝的前n 项和为S n
，求lim S n ；
n
n →
n
3)若
a = 2,令
b n =a n f (a n )，对任意n N ,都有b n f -1(t ) ,求实数t 的取值范围.
20．已知△OFQ 的面积为
2 6,且OF FQ =m .
1)设 6
m 4 6, 求向量OF 与FQ 的夹角
正切值的取值范围；
2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q (如图)，| OF |= c ,m = ( 6 -1)c 2，
当| OQ |取得最小值时，求此双曲线的方程.
3) 设 F 1为(2)中所求双曲线的左焦点，若 A 、B 分别为此双曲线渐近线 l 1、l 2上的动 点，且
2|AB|=5|F 1F|，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
1)
当n N 时，求 f (n )的表达式；
2)
3) 设bn =nf f (n (n +)1)
21、已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数，g(x) = 5x + c是奇函数，正数数列a满足
a n =1,f(a n +a n+1)-g(a n+1a n +a n2)=1
① 求a n的通项公式；
②若a n的前n项和为S n，求lim S n . n n n→n
31
22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦
22 点且经过点D．
(1)建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
1
(2)若点E满足EC = 1AB，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且2
| ME |=| NE | ，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．
23、．设函数f (x) = x1 ,
4 x + 2
(1)求证：对一切x R, f (x) + f (1- x) 为定值；
(2)记an = f(0)+ f(1)+ f(2)+ + f(n-1)+ f(1) (n N*),求数列｛an｝的通
n n n
项公式及前n 项和.
24. 已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数.当X 0 时, f (x)=
7x
x + x + 1
(I) 求当X<0 时, f (x)的解析式;
(II) 试确定函数y = f (x) (X 0)在1,+
)的单调性，并证明你的结论. (III) 若x 2 且x 2 ，证明：| f (x ) －f (x ) |<2.
完美 WORD 格式
x
25、已知抛物线
y 2 = 4x 的准线与x 轴交于M 点，过M 作直线与抛物线交于A 、B 两点，若 线段
AB 的垂直平分线与X 轴交于 D （X 0,0）
⑴求 X 0的取值范围。

⑵△ABD 能否是正三角形？若能求出 X 0的值，若不能，说明理由。

26、已知□ABCD ，A （-2，0）， B （2，0），且∣
AD
∣=2 ⑴求□ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程。

8
⑵过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，且∣MN ∣=
8
2 ，MN 的中点到Y 轴的距 3
4
离为 ，求椭圆的方程。

3
x 2
27．（ 14分）（理）已知椭圆
+ y 2 =1（a
1），直线 l 过点A （－a ，0）和点 B （a ，ta ）
a 2
t >0）交椭圆于 M.直线 MO 交椭圆于 N.（1）用 a ，t 表示△AMN 的面积 S ；
2）若 t ∈[1，2]，a 为定值，求 S 的最大值.
28．已知函数 f (x )= 的图象过原点，且关于点(-1，1)成中心对称.
( 1)求函数f(x) 的解析式；
( 2)若数列｛a n｝( n∈N*)满足：a n>0，a1=1，a n+1= [f( a n)] ，求数列｛a n｝的通项公式a n，并证明你的结论.
30、已知点集L=｛(x,y)| y =m n｝,其中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列P n(a n,b n)在L 中，P为L与y轴的交点，等差数列｛a n｝的公差为1，n N。

(1)求数列｛a n｝，｛b n｝的通项公式；
5
(2)若c n = 5 (n2),求lim(c1+c2+ +c n)；
n n| P1P n | n→ 1 2 n
a (n = 2k - 1)
(3)若f (n) = n(k N ),是否存在k N使得f(k+11)=2f(k),若存
b n(n= 2k) + +
在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

21．经过抛物线y2= 4x的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点. (12分)
(1)若线段AB的中点为M(x,y),直线的斜率为k,试求点M的坐标,并求点M的轨迹方程
(2)若直线l的斜率k 2 ,且点M到直线3x+4y+m=0的距离为1,试确定m的取值范
5
围.
所以直线PQ 的方程为x - 5y -3=0或x + 5y -3=0
uuur uuur
(3，理工类考生做)证明： AP = (x -3, y ), AQ =(x -3, y )。

由已知得方程组
x -3= (x
-3),
y 1=
y 2,
x
1 + y
1 =1, 62
5
-1
注意
1，解得 x = -
因F (2, 0),M (x 1, - y 1)，故
uuuur
1--1
FM =(x 1-2, - y 1) = (
(x 2 - 3) +1, -y 1) =(1-, -y 1)=-(-1
, y 2)。

22 FQ =(x 2-2, y 2)=( , y 2)，所以FM
而
= -
FQ 。

1）解：由题意，可设椭圆的方程为
x
+ y =1（a 2）。

a 2 2
a 2
解得 a =6, c =2 c =2(a -c ). 由已知得 c
2）解：由（1）可得 A （3，0）。

设直线PQ 的方程为y = k （ x - 3） 。

由方程组 62 y =k (x -3) 得(3k 2
+1)x 2
-18k 2
x +27k 2
-6=0，依题意=12(2-3k 2
)0，得- k 3
k 18k 2 27k 2
- 6 设P (x 1
, y 1
), Q (x 2
, y 2
)，则x 1+x 2= 2k ， ① x 1x 2= k 2 - 。

② 由直线 PQ 的方程得 y = k (x -3), y = k (x -3)。

于是 y y =k 2(x -3)(x -3)=k 2
[xx -3(x +x )+9]。

③ uuur uuur ∵ OP OQ =0 ，∴ x x +y y =0 。

④
uuur - 1 uuuur uuur 62
2
①f(x)= x - 2k -1 (2k ≦x ≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在［1，4］上有4个实根
①x 2=4y ②x 1x 2=-4
⑶P(±2,1) S MIN = 7
.解：因a >1，不防设短轴一端点为B （0，1） 设BC ∶y ＝kx ＋1（k >0） 则AB ∶y ＝－ 1 x ＋
1
k
把BC 方程代入椭圆， 是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝0 ∴|BC |＝ 1+ k
2 2a k
，同理|AB |＝ 1+ k
2
1 + a k
由|AB |＝|BC |，得 k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0
（k －1）［ k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0
当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4 由Δ<0，得1<a < 3
由Δ＝0，得a ＝ 3 ，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1<a ≤ 3 时有一解 由Δ>0即a > 3 时有三解
解：依题意，知a 、b ≠0 ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a >0且c <0 （Ⅰ）令f （x ）＝g （x ）， 得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（*） Δ＝4（b 2－ac ） ∵a >0，c <0，∴ac <0，∴Δ>0 ∴f （x ）、 g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*），知
= (a + c + ac )
a 2
= 4
( c )2 + c + 1 (**)
aa
2a 2 k 2 + a 2
x 1、x 2
2
4b 2 - 4ac 4(a + c ) 2 - 4ac
a 2
a 2
完美 WORD 格式
c
2a + c 0，而 a >0，∴ -2 a
∴
c
-
1
∴
-
a 2
1
-
2
∴4［（ c
）2＋ c
＋1］∈（3，12） aa ∴|A 1B 1|∈（ 3 ，2 3 ） 6、解：（1） f
'
（x ）=3x 2 + 2ax
依题意得 k= f '
（1） =3+2a=－3， ∴a=－ 3
f （x ） = x 3 - 3x 2 +1，把 B （1，b ）代入得 b= f （1） = -1
∴a=－3，b=－1 （2）令 f '
（x ） =3x 2
－6x=0 得 x=0 或 x=2
∵f（0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17 ∴x∈［－1，4］，－3≤f（x ）≤17
要使 f （x ）≤A －1987 对于 x ∈［－1，4］恒成立，则 f （x ）的最大值 17≤A －1987
∴A≥2004。

（1） 已知 g （x ）=－
（x - 3x +1）- 3x + tx +1 = -x + tx
∴ g
（x ） = -3x + t
∵0<x≤1，∴－3≤－3x <0， ① 当 t>3 时，t －3x 2>0，即
g '（x ）
∴g （x ）在（0.1］上为增函数，
g （x ）的最大值 g （1）=t －1=1,得 t=2（不合题意,舍去） ② 当 0≤t≤3 时, g
（x ） = -3x + t
列表如下:
令 g ' （x ）
=0,得 x= a + b + c = 0 a b
a +
b +
c =
a + 2c 0，
-2
c
x
(0, 3)3t( 3,1]
g'(x)
＋
0－g（x）↗极大值↘
③当t<0时，g'
（x）=-3x2+ t <0，∴g（x）在（0.1]上为减函数，∴g（x）在（0.1] 上为增函数，
∴存在一个a= ，使g（x）在（0.1] 上有最大值1。

7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）, PH =
（-x,0）,PM =（－2－x,－y）→
PN =（2－x,－y）
→→
∴ PM· PN =（－2－x,－y）·（2－x,－y）= x2- 4 + y2 →
PH = x
→→
由题意得∣PH∣2=2· PM· PN
即x2=2
（x2-4+ y2）
即x + y = 1 ，所求点P 的轨迹为椭圆
84
（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1 的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣ 双曲线的C实轴长2a= QM - QN = QM - QE ME = 10 （当且仅当Q、E、M共线时
取“=”），此时，实轴长2a最大为10
g（x）在x=
所以，双曲线 C 的实半轴长 a= 10
2
又
c = 1 NM =2,b 2 =c 2 -a 2
x 2
∴双曲线C 的方程式为 x
2
1
+ 1
+ 1
+
+)-1
(1 + 1
1
+
1
1 +)-1= 16 -1=0
28
216
8 16 24
2 24
22
8 1 8
1 -
2
8.(1)bn
1 2n -1
9．解：(Ⅰ)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx ，则 kx-y=0 ∵该直线与圆x 2 +(y - 2)2 =1相切， ∴双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=±x ．……………… 故设双曲线C 的方程为 x - y =1． a 2 a 2
又双曲线 C 的一个焦点为
( 2,0) ∴ 2a 2 = 2， a 2 = 1． ∴双曲线C 的方程为x 2 -y 2 = 1 ．……………………… y = mx + 1
得(1-m 2)x 2 -2mx -2=0．
x 2 - y 2 = 1
Ⅱ)由
2分
4分
令 f (x ) = (1- m 2)x 2 - 2mx - 2 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f(x)=0在(-,0)
上有两个不等实根．
0 因此
2 m
2m 0 解得1
m 2 ．
1-m 2 -2 0 1-m 2 m 1
又AB 中点为( m 2 , 1 2)，
1- m 2 1- m 2
1
∴直线 l 的方程为 y = ( x + 2) ．…… -2m 2
+ m + 2 22
令 x=0，得 b = 2 =
-2m 2
+m +2 -2(m -1)2 +17
6分
∵ m
(1, 2) ，
∴-2(m -1)2 +17
(-2+ 2,1)
y 2=1 3 2
2)
S n
∴ b (-
,-2 - 2) (2,+)．……………………………………… (Ⅲ)若Q 在双曲线的右
支上，则延长QF 到T ，使| QT |=| QF |， 若 Q 在双曲线的左支上，则在QF 上取一点 T ，使| QT |=| QF | ． 根据双曲线的定义| TF 2 |= 2 ，所以点T 在以F ( 2,0)为圆心，2为半径的圆上，即点T
的轨迹方程是 (x - 2)2 + y 2 =4(x 0) ①……………………… 由于点 N 是线段FT 的中点，设N (x , y )，T (x ,y )．
x - 2 x = T
2
y =y
2T
则
，即
x = 2 x + 2
yT = 2 y
8分 10分
代入①并整理得点 N 的轨迹方程为 x 2 + y 2 =1．(x
- 2 ) ………………
10 解：(Ⅰ)因为 f (1
)
+ f (1-1)= f (1)+ f (1)= 1．所以 f (1)= 1．……2分 令x = 1 ，得 f (1)+
f (1-1)= 1，即 f (1)+ f (n -1)= 1．
n n n 2 n n 2
1 n - 1
(Ⅱ)a n = f (0)+ f (1)+ + f (n -1)+ f (1)
nn n - 1 1
又a n = f (1)+ f (n -1)+ + f (1)+ f (0)
nn 12 分
4分
5分 两式相加 1 n -1 n + 1 2a n =[f (0)+ f (1)]+[f (1)+ f (n -1)]+ +[f (1)+ f (0)] = n +1
n n 2 n +1 所以a n = ,n N ，…………
n 4
n + 1 + 1 n +1 1
又 a n +1 - a n = - = ．故数列{a n } 是等差数列．
n +1 n 4 4 4 n
44 (Ⅲ) bn = = n
4a n - 1 n Tn =b 12 +b 22 + +bn 2 = 16(1+ 1 + 1 + + 1 )
22 32 n 2
16[1+ 1 + 1 + + 1 ] ………… 1 2 2 3 n (n -1)
=16[1+(1-1)+(1 -1)+ +( 1 -1)]…
2 2
3 n -1 n
=16(2- 1) =32-16
= S n nn
所以Tn Sn ………………………………………
11．设直线 OA 的斜率为 k ，显然 k 存在且不等于 0 则 OA 的方程为 y ＝ kx 7分
9分
10 分 12分
14分
由
y 2＝2px 解得A （k 2 ， k ）
1
又由，知 OA ⊥OB ，所以 OB 的方程为 y ＝－ x k 1
y ＝－ x
由
k 解得B （2pk 2，－2pk ） y 2＝2px
从而 OA 的中点为 A '
，OB 的中点为 B '（pk 2，－pk ）
所以，以 OA 、OB 为直径的圆的方程分别为
2 2
2px 2py
x 2
＋y 2－ k 2 － k ＝0
……① x 2＋y 2－2pk 2x ＋2pky ＝0
……②
∵P （x ，y ）是异于 O 点的两圆交点，所以 x ≠0，y ≠0
1
由①－②并化简得 y ＝（k － ）x
……③
k
1
将③代入①，并化简得 x （k 2＋ 2
－1）＝2p ……④
由③④消去 k ，有 x 2＋y 2－2px ＝0
∴点 P 的轨迹为以（p ，0）为圆心，p 为半径的圆（除去原点）.
9
12．（1）由题意，有 x 2
－2mx ＋2m 2
＋ 2 >0 对任意的 x ∈R 恒成立
m －3
4分
4分
6分
10 分
13 分
9
所以△＝4m 2－4（2m 2＋ 2 ）<0 m
－3
即－m 2－m 2－3<0
3
(m 2
－3)2＋27
m 2
－3 >0
由于分子恒大于 0，只需 m 2－3>0 即可 所以 m <－ 3或 m > 3
∴M ＝{m |m <－ 3或 m > 3}
(2)x 2－2mx ＋2m 2
＋
9
m 2
－3
（x －m ）2
＋m
2＋
29
≥m
2
m －3
9
m 2
－3
当且仅当 x ＝m 时等号成立.
9
所
以，题设对数函数的真数的最小值为 m 2＋ 2 m －3 又因为以 3 为底的对数函数为增函数
∴f (x )≥log 3(m 2＋
9
m 2
－3
9 ∴
当且仅当 x ＝m （m ∈M ）时，f （x ）有最小值为 log 3（m 2＋ 2 ） m
－3
又当 m ∈M 时，m 2－3>0
4分
7分
10 分
9 9 9
2 ＝ m 2－
3 ＋ 2 ＋ 3≥ 2 (m 2 － 3) · 2 ＋ 3 ＝ 9 m －3
m －3 m －3
当且仅当 m 2－3＝ 29 ，即 m ＝± 6时，
m －3
99
log 3（m 2
＋ 2 ）有最小值 log 3（6＋
）＝log 39＝2
m －3
6－3
∴当 x ＝m ＝± 6时，其函数有最小值 2.
13．解析：（1）。

，由根与系数的关系得，
+
= t ,= -1.
f ()= 42
-t
= 4
-2
2(+
)
= 2 = 8 =-1(t + t 2 +16).
2
+ 1
2 -
t - t 2 +16 2
同法得f(
)=1( t 2 +16-t ).
2x 2-tx-2=2(x-
)(x -
)
0,故当 x [,]时, f /(x)≥0,
函数 f(x)在[,] 上是增函数。

3)。

证明： x 1
+x
2
-=
x 2
(
-)
0,x 1
+x
2
-=
x 1
(
-
)
0,
x +x x + x x + x x +x
x
+ x
x + x
1 2
, 同理 1 2
.
x +x x + x
f ()
f ( x 1
+ x 2
)
f (),故- f ()-f (x 1
+x 2
)-f ().
x + x x + x
又f(
) f (
x 1
+ x 2
)
f ().两式相加得: x + x
-[f ()- f ()]
f (x 1
+x
2
)- f (x 1+ x 2) f ()- f (),
x +x x + x
即 f (x 1+x 2)- f ( x 1+ x 2)
f ()- f ().
x + x x + x
而由(1)， f(
) = -2, f () = -2 且f(
)- f ()= f ()- f () ,
f (x 1
+x
2
)- f (x 1+ x 2) 2
-
.
x + x x + x
14(I)
Q 4S = 4a = (a +1)2,a = 1. 当 n 2
∴m
2
(2).证明：
f /(x)=
4(x +1)-(4x -t )2x
= -2(2x -tx -2),而当x
[,
]时，
(x 2 + 1)2
(x 2 + 1)2
3
y
x
15.（1）设点M 的坐标为（x ,y ），由PM =－ 3 MQ ,得P （0,－ y ）,Q （ x
,0）,
2 2 3
2 分
由HP ·PM =0，得（3，－ y ）（x , 3y ）=0,又得y 2=4x ,
5 分
22
由点 Q 在 x 轴的正半轴上，得 x >0,
所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6分
（2）设直线 l :y =k （x +1）,其中 k ≠0,代入 y 2=4x ,得 k 2x 2+2（k 2－2）x +k 2=0,① 7 分
设 A （ x 1,y 1） ,B （x 2,y 2）,
则x 1,x 2是方程①的两个实根，∴x 1+x 2=－ 2（k -2） ,x 1x 2=1, k 2 2- k 2
2 所以，线段AB 的中点坐标为（ 2 - k ,2 ）, 8分 k 2 k
2 1
2- k 2
线段 AB 的垂直平分线方程为 y － =－ （x －
）, 9 分
k k k 2
22
令 y =0,x 0= +1, 所以点 E 的坐标为 （ +1,0）
k 2 k 2
因为△ABE 为正三角形，所以点 E （ 2 +1,0）到直线 AB 的距离等于 3 ｜AB ｜,
k 2
2
时,4an =4Sn -4Sn - 1=
(an +1) -(an -1+1) ,
2(an +an -1)=an 2-an -12,又｛a n ｝各项均为正数,
an -an -1 =2.数列
an
是等差数列,
a = 2n -1.
(II) S
=n
2
,若2
n
tS 对于任意的n N
*
恒成立,则t min
2
.令b
n n
n 2
n
= 2n 2 ,.当
n 2
n 3 时
b 2n 2n 2+ (n - 1)n + n n +1
=
=
1
b
(n + 1)2n 2
+ 2n + 1 b 1 = 2,b 2 = 1,b 3
min
bn
=min 2n n 2
88
8
.
t 的最大值是 8 .
99
2
k 2
而｜AB ｜= (x 1 - x 2) +(y 1 - y 2) = · 1+ k ,
2 3 1-k 4 2 1+ k 2 所以，
k 2
解得k =± 23 ,得x 0=131.
10分
11 分
12 分
当 n =1 时，22n =4,(2n +1)2=9, ∴ 9T 2n < Q n ;
当 n =2 时，22n =16,(2n +1)2=25, ∴ 9T 2n < Q n ; 13分 当 n ≥ 3 时，22n = [( 1+1 ) n ] 2
=(C 0n +C 1n +C n 2 +…+C n n )2>(2n +1)2,∴9T 2n >Q n .
17．解(I) a + 3 b =(x,0)+ 3 (1,y)=(x+ 3 , 3 y),
a – 3
b = ( x, 0 ) - 3 (1,y)= (x - 3 ,– 3 y). ( a + 3 b ) ⊥ ( a - 3 b ),
( a + 3 b )·( a - 3 b )=0, (x+ 3 )( x - 3 )+ 3 y·( - 3 y)=0,
2-1 16.(1)f 1(0)=2,a 1=22+-12
1 ,f n
+1
(0)=f 1
4
f n (0)]
2 1+ f n (0)
-1
f n +1(0)-1 1+ f n (0)
1- f n (0)
a n +1=
= =
n +1
f n +1(0) + 2
2 + 2 4+2f n (0) 1+ f n (0) +2
1 f n (0) -1 1
2 f n (0)+2 =－ 2 an ,
4分
∴数列｛a n ｝是首项为4 ,公比为－ 2的等比数列，∴a n = 4 （－ 2 ） . 6分
2)T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+(2n －1)a 2n －1+2na 2n ,
－ T 2n =( － a 1)+( － )2a 2+( － )3a 3+ …+( － )(2n － 1)a 2n 2 2 2 2 2 =a 2+2a 3+…+(2n －1)a 2n －na 2n ,
3 两式相减得 T 2n =a 1+a 2+a 3+…+a 2n +na 2n ,
2
1
1-
4
所以，32 T 2n =
+n ×14(－12)
2n －1
1+1
2
2n
=
1
－1 (－ 1 )2n + n (－ 1 )2n －1= 1 (1－3n +1).
9 9 2 6 2 9
22n
Q n =1 3n + 1 (2n + 1)2
n －1
+(－ )·2na 2n
2
1
( － 1 )2n + n 6 24
∴9T 2n =1
8分
(－12)2n －1
3n + 1
22n
10分
12分
14分
x 2
故P 点的轨迹方程为 x 3 -y 2
=1．
６分）
2n
II )考虑方程组 消去 y ，得(1–3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0
(*)
x 2
2 3 -y 2
=1,
显然 1-3k 2
0, =(6km)2-4(1-3k 2)( -3m 2-3)=12(m 2+1-3k 2)>0.
设 x 1,x 2 为方程*的两根，则 x 1+x 2= 6 km ，x 0= x 1 + x 2 = 3km ,
y 0=kx 0+m= m
1-3k 2
2 = 1-3k 2
1-3k 2
故 AB 中点 M 的坐标为( 3km ， m ) ,
1- 3k 2
1-3k 2
线段AB 的垂直平分线方程为y - m =（- 1 ）
1- 3k 2 k
将 D （0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k 2 -1,
11
又
4m=3k 2 - 1> - 1, m - , 故m
(- ,0) (4,+ )．
(１２分)
44
11
18．(1)解 由已知得
f (n )= f (n -1) f (1)=1
f (n -1)=(1)2
f (n -2)=L
S n =
b k = (1+2+L +n ) = k =1 3 6
(x -
3km
1-3k
2
)
k 满足
m 2+1-3k 2
0,
4m =3k 2
-1,
消去 k 2 得 m 2 - 4m>0, 解得 m<0 或 m>4.
=(1)n -1
f (1)=(1)n ．
(4分)
（2）证明 由(1)可 知 a n
=n
(1)n ,设T n = a k 3 k =1
1 1 1 则T n =1
1
+2
(1)2+L
+n (1)n 1
T n =1(1)2+2(1)3+L +(n -1)
1
+n (1)n +
1
两式相减得2 T =1+(1)2+(1)3+…+(1)n -n
(1)n +1
=
2
1 -
31
T
n =
a
k = 4 -
4
k =1
n 2
(13)n 43 ．
9 分）
3）解 由（1）可知
b = 1 n .
n 3
-
完美WORD 格式
则1= 6=6(1- 1),
S n(n +1) nn+ 1
n1
故有k S1k =6(1-1+ 1-1+L
223
+1- 1 ) =6(1-1 )6．
nn+1 n + 1
１４分)
19．( 1) 2n+4=2+(n+2-1)d ,d =2,f(a )=2+(n+1-1)2=2n+2,a = a2n+2
2) lim S n =lim a4(1-a22n) = a42 . n →
n →1- a21- a2
3) b n =a n f(a n)=(2n+2)a2n+2=(2n+2)22n+2=(n+1)22n+3.
b n+1 = n+2 4 1
bn n +1
bn+1 bn .
{b n}为递增数列b n中最小项为b1=225=26, f-1(t)=2t ,262t ,t 6.
20．( 1)
1|OF ||FQ |sin(-)=2 6
2
| OF | | FQ | cos = m
tan= 4 6, 6 m 4 6 1tan 4.
m
arctan
4.
x 2
y
2
2)设所求的双曲线方程为x - y =1(a 0,b0),Q(x1,y1),则FQ=(x1-c,y1)
a 2 b2 1 1 1 1
S OFQ = 2|OF || y1 |=2 6,y1 =c又由OF FQ =(c ,0)(x1 -c,y1)=
(x1-c )c=( -1)c ,x1= c ,| OQ |= x1+ y1= 96+3c212.
c
28
当且仅当c=4 时，| OQ |最小，此时Q的坐标为( 6, 6)或( 6,- 6)
a2 -
b2
=1
a2+ b2=16 a = 4所求方程为x - y = 1. b2= 12 4 12
3)设A(x ,y ),B(x ,y ) l1的方程为y = 3x,l的方程为y =- 3x则有y = 3x①y =- 3x ② 2| AB |= 5| FF | 2 (x -x )2+(y - y )2=52c =40
(x 1-x 2) +(y 1- y 2) =20 ③ 设M (x , y )由①②得y 1 + y 2 = 3(x 1-x 2)
22
y 2 + x 2
300 100 焦点在 y 轴上的椭圆.
21、解：(1)
f (x )为偶函数 f (-x )= f (x ) b =0 f (x )=3x 2 + 1
g (x )为奇函数 g (-x )=-g (x )
c =0
g (x )=5x
f (an +1 +an )-
g (an +1an + an 2 ) = 3(an +1 + an )2 +1-5(an +1
an +an 2)=1
a 2
3an +1+an +1
an -2an =0 (an +1+an )(3an +1-2an )=0 a n n +1 = 3
22、解析：（1）如图，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系， A （-1，
0）， B （1，0）
y 1 -y 2 = 3(x 1 +x 2)
2y = 3(x 1 -x 2),y 1 -y 2 =2 3x x - x
2y
3，
y 1 - y 2 = 1.
M 的轨迹为
{a n }是以a n
= 1为首项，公比为2 的等比数列.
3
2）
lim sn n →
1
1-2
3
=3
设椭圆方程为：
a 2 +
b 2
=1
令x =C y 0 =
c
∴
C
b 2==13
a
2
a = 2
b = 3
= 2 3x 代入③得
+(2 3x )2
= 400
a
n
1
3m 1
y 0 -
1 2 - 1
3 + 4k 2 | ME |=| NE | MN ⊥ EF
2 = - 1
3+ 4k
2
= - 1
m = -
3+ 4k
x k 4 km
k 2
- 3 + 4k 2 3+ 4k 2
∴ 4k 2 + 3
(- 3+24k )2 ∴ 4k 2 + 3
4 ∴0 k 2
1
∴ l 与 AB 的夹角的范围是（0 ， ］．
椭圆 C 的方程是： 22
x 2 + y 2 = 43
(2) EC
= 1 AB E (0，
设 l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)
1
2)
l ⊥AB 时不符，
y = kx + m
x 2 y 2
(3+ 4k 2)x 2 +8kmx + 4m 2 -12 = 0 + = 1 4 3
M 、N 存在
0 64k 2m 2 - 4(3+ 4k 2)(4m 2 -12) 0 4k 2 + 3 m 2
设 M （ x ， y ）， N （ x ， y ）， MN 的中点 F （ x ， y ）
x + x x 0 = 1 2 02
4km 3 + 4k 2
y 0 = kx 0 + m =
3m 3+4k 2
∴ -1 k 1且 k 0
23、(1)f (x) + f (1- x ) = 4x1+ 2+ 41-x1+ 2= 4x1+ 2+ 4 +424x = 12.
(6)
(2)由(1)知f (0) + f (1) = 1 , f (1) + f (n -1) = 1 , f (2) + f (n - 2 n n 2
n n , f (1) + f (0) = 1.
2)=12
将上述n +1个式子相加得2a n = n +1,a n = n +1.
n 2 n 4(10)
1 1 n + 3 n( n + 3)
S = [2 + 3+ 4 + + (n +1)] = n = . n 4 4 2 8(12)
7x
24、( 1)当X<0 时, f (x) = 7x
x - x + 1
（ 3 分）
（2）函数y = f（x）（X0）在1,+）是增函数；（证明略）（9 分）
3）因为函数y = f（x）（X0）在1,+）是增函数，由x2得f（x）f
（2）= -2 ；
7x 又因为x + x + 1 0,-7 x 0 ，
所以- 0 ，所以- 2 f ( x )
0 ；
x + x + 1
因为x ,x 0，所以-2f(x )0，且-2f(x ) 0，即0f (x ) 2，
所以，-2≤f(x1) – f(x2) ≤2即| f(x1)－f (x2 ) |<2. 14 分) 25、解：⑴由题意易得M(-1,0)
设过点M的直线方程为y =k(x+1)(k 0)代入y2= 4x得
k2x2+(2k2-4)x+k2= 0…………
再设Ａ(ｘ１，ｙ１)，Ｂ(ｘ２，ｙ２)
１)
4- 2k2
则ｘ１＋x2= １ 2k 2１·x2=１
4
y１＋y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(ｘ１＋x2)+2k=
k
2 - k2 2 ∴ＡＢ的中点坐标为( 2-
k2
k , k2)
2 1 2- k2
那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为y - = - (x - ) ，令y = 0 得
k k k
k2+2 k2+2 2 x= k k+2 2，即x0 = k k+2 2
=1+ k22
2 又方程(１)中△＝(2k2-4)2-4k40,0k21,22,x
3 k 2 0
3
点到AB 的距离d=k k2 + k
1+k22k2+ 2 k 2 1+ k2
据d2 =3 AB2得：4(k2+1) =316(1-k4)
4k2 4 k4
3
∴4k4+k2-3=0,(k2+1)(4k2-3)=0，∴k2= 3，满足0k21
完美 WORD 格式
8
26、解：⑴设 E (x ，y )， D (x 0，y 0)
∵ABCD 是平行四边形，∴ AB + AD = 2 AE ，
∴(4，0)+(x 0+2，y 0)=2(x+2，y)∴(x 0+6，y 0)=(2x+4，2y)
x + 6 = 2 x + 4 x = 2 x - 2
∴
0 0 y 0 = 2y
y 0 = 2y
又 AD = 2,(x 0 +2) + y 0 = 4,
(2x -2+2) +(2y ) = 4
即： x 2 + y 2 = 1
∴□ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程为 x 2 + y 2 = 1 ⑵设过A 的直线方程为y =k (x +2) 以 A 、B 为焦点的椭圆的焦距 2C =4，则 C =2
22
x 2 y 2
即 + = 1
a a - 4
将y =k (x +2)代入(*)得
x
+ k (x +2) =1
a a - 4
即 (a 2 +a 2k 2 -4)x 2 +4a 2k 2x +4a 2k 2 -a 4 +4a 2 = 0 设 M (x 1 ， y 1 )， N ( x 2， y 2)则
4a 2k 2 4a 2k 2 - a 4 + 4a 2
x 1
+x 2
=
4-a 2 -a 2k 2
,x 1
x 2
=
a 2 +a 2k 2 -4
4
∵MN 中点到 Y 轴的距离为 ，且MN 过点 A ，而点 A 在 Y 轴的左侧，∴MN 中点也在 Y 轴的左侧。

∴(x 1 -x 2)2 =(x 1+x 2)2 -4x 1x 2 =(8)2 -4(8-a 2) ∵ MN = 8 2 ∴ 1+k 2 x -x = 8 2
∴△ABD 可以为正△
此时x 0 =11
设椭圆方程为 x + y = 1 ， a 2
b
2
*)
2a 2k 2 a 2 +a 2k 2
-4
4
,a 2k 2 = 2a 2
- 8，
∴x + x
-8 = , x 1
x
8-a 2
3
∴(1+k2)(64-32+ 4a2)=128即12a2+12a2k2-32k2=160
2-64
∴12a2+12(2a2-8) -32k2=160 ∴k2 =9a
∴当t=15时， PQ 2取最大值为15 ， PQ 的最大值为 15。

此时 16x 2 =0,x =0,
y =1 ，∴直线l 的方程为y =
1
∴a
2
9a 2-64=2a 2-8
8
9a 4 -80a 2 +64=0
( a - 8)(9a - 8) = 0 ，∵ a
c = 2 ，∴ a = 8
∴b 2 =a 2 -c 2 =8-4=4
22
∴所求椭圆方程为 x + y = 1
84
⑶由⑴可知点 E 的轨迹是圆 x 2 + y 2 = 1
设(x 0,y 0)是圆上的任一点，则过(x 0,y 0)点的切线方程是x 0x + y 0y =1
1 - x x
①当 y 0 时， y = 0 代入椭圆方程得：
0 y 0
(2x 02 + y 02)x 2 -4x 0x +2-32y 02 =0 ，又x 02 + y 02 =1
∴ (x + 1)x - 4x x + 32x - 30 = 0
4x
32x 2 - 30
x 1
+x 2
=
x 2 +1,x 1x 2 = x 2 +1
∴(x 1 -x 2) =(x 1 +x 2) -4x 1x 2 = (x 02 +1)2 (-128x 0 +8x 0 +120)
2 x 02
2
y 02
22
PQ =(1+(- ) )(x 1 -x 2) = 2
(x 1 -x 2) y
1 1 4 2
16x 2 + 15
1-x 0 2
(1+x 02)2
(-128x 0
+8x 0
+120)=
(1+0x 02)2
令16x 2 +15=t (15
t 31)
则 PQ 2
(t 1+61)2
256t t 2 +2t +1 256
t +1+2
∵15t 31
②当y 0 = 0时，容易求得 PQ = 7 15
故：所求 PQ 的最大值为 15 ，此时l 的方程为y =
1
2 ，得(a 2t 2+4)y 2－4aty =0…2分
x 2
2
2 + y 2 = 1 a 2
28. (1) ∵函数f (x )= b x x ++1c
的图象过原点，即f (0)=0，∴c =0，∴f (x )= x b +x 1. bx ab x
又函数f (x )= = b - 的图象关于点(-1，1)成中心对称，∴a =1，b =1，∴f (x )= .(2)
1 1 1
∴数列｛ ｝是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴
=1+(n -1)=n ，即 a n = ，∴a n =
a n
a n n
1 1 1 1 1
n 2
.∴a 2= 4，a 3= 9，a 4= 16，a n = n 2.
y = m
n
29、解：(1)由
m =(2x -b ,1)，得y =2x +1
…………2分
n = (1,b +1)
L : y = 2x +1, P (0,1) ，则a =0,b =1,
a n =n -1(n
N +),b n = 2n -1(n
N +)
…………4分
27．解(理)(1)易得l 的方程为y = t (x +a )…1分 由
解得y=0或 y = 4at
即点M 的纵坐标 y =
a 2t 2
+4
y
M
4at
a 2t
2 + 4
4分
S=S △AMN =2S △AOM =|OA|·y M = 4 a t …7分
4+ a 2t 2
2)
由(1)得，
4a 2t
4+ a 2t 2
4a 2 4
4a
2 (t 0) + a t
t
令V = 4+a 2t ,V
=- 4 +a 2
t t
2
9分
2 由V
=0
t =2
a
t
2时，V
0;当0
t
2时,V
0…10分 若1≤a ≤2，则2
[1,2)， a a a
故当 t = 2时，S max =a 11分 a
若a >2，则0 2 1.
V =4+a 2
t 在［1，2］上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,S a t m
4a 2 13
max =
4+ a 2
综上可得
S
max
a (1 a
2) 4 a 2
4 a 2 ( a 2) 4+
a 14分
2)当
n
2时，，P n (n -1,2n -1),|P 1P n |= 5(n -1)
5 1 1 1
n | PP | n (n -1) n -1 n
lim(c +c + +c ) = n → 1 2 n
(3)假设存在符合条件的k 使命题成立
当 k 是偶数时， k + 11是奇数，则 f (k + 11) = k +10, f (k ) = 2k -1 由 f (k +11) = 2f (k ),得k = 4
…………11分
当 k 是奇数时， k + 11是偶数，则 f (k + 11) = 2k + 21, f (k ) = k -1 由 f (k +11) = 2f (k ),得k 无解 综上存在k =4，使得 f (k +11)=2f (k )
…………14分
30.解：(1)设
A (x , y )，
B (x ,y ) ，直线AB 的方程为： y = k (x -1)(k
0 )
把y =k (x -1)代入y 2
=4x 得：k 2x 2
-(2k 2
+4)x +k 2
=0
k 2
x + x
k + 2
坐标为
M
k +2
, 2
2 k
∴点 M 的
y 1+ y 22
k 2
k
y =
2
=k
消去k 可得点M 的轨迹方程为： y 2
=2x -2 (x
0)；
k 2 + 22
|3
2 +4 +m |1 (2)∵d =kk =1 55
∴|3+ + +m |=1∴3+ + +m =
1∴ 6+ 8=1-3-m k 2 k k 2 k k 2
k ∵k 2∴0
63
，0
8
4∴0 6 +8 11∴01-3-m
11
k 2 2 k k 2 k 2 2
11
11 15
19
∴0
1-3-m
或0 -1-3-m
∴-
m -2或-
m -
4
2
2
2
2
c
n
…………6 分
lim n →
+ ( 1 - 1)] = lim
n -1 n
n →
…………8 分
2k 2 + 4
4
∴x 1+x 2= 2 ∴y 1+y 2 =k (x 1-1)+k (x 2 -1)=
k 2 k 2
=1
n
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19 - m 2 -2 ∴m 的取值范围为。