内部算子空间及其范畴
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一
的一个集 合 Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ． （ ｉ ｉ ｉ ） 对 于 Ｃ中对 象 的每个 有序 三元 组 （ 曰 ， Ａ ，Ｃ ） 对 应一 个称 为复合 （ 或 合成 ） 的映射 ： Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ×Ｈ ｏ ｎ ｒ
（ Ａ ， ｃ ） ＿ ÷ ｍ（ 日 ， ｃ ） ， （ ，， ｇ ） 卜 ＋ ｇ。 则 ｇ。ｆ 称为 ／和 ｇ的复合（ 或合成 ） ． 要求 Ｃ中对 象和 态射 满足 下列公 理 ： （ １ ）若 （ ， Ａ） ≠（ Ｄ ， Ｃ ） ， 则 Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ｎ Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｄ， Ｃ ） ＝ ； （ ２ ）若 厂 Ｅ Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ， ｇ∈Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｃ ， Ｂ） ， ｈ∈Ｈ ｏ ｍ（ Ｄ， Ｃ ） ， 则（ ｆ。 ｇ ） 。 ｈ＝ ｆ。 （ ｇ。 ） ； （ ３ ） Ｖ Ｂ∈ｏ ｂ （ ｃ ） ， ｊ ｉ ｄ Ｂ ∈Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， 曰） 使得 Ｖ ∈Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ， Ｖ ｇ∈Ｈ ｏ ｍ（ Ｃ ， Ｂ） ， 有 。 ｉ ｄ Ｂ ＝ ｉ ｄ ａ。 ｇ＝ｇ ，ｉ ｄ ａ 称 为 上 的恒 同态射 ． 定义 ２ ＿ ２ 以内部算子空间作为对象， 并以内部算子空间之 间的连续映射作为态射， 构成的系统， 我们称 之 为 内部 算子 空 间范畴 ． 注 １ 定理 １ ． １ 、 映射 性质及 定 义 ２ ． １ 表 明， 内部 算 子空 间范 畴的定 义是合 理 的 ．
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ３ Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０１ ３
内部算子 空间及 其范 畴
杜银玲 ， 卢 涛 ， 朱润秋
（ 淮北师范大学 数学科学学 院， 安徽 淮北 ２ ３ ５ ０ ０ ０ ）
摘
要： 文章 给出内部算子空 间及其之 间的连续 映射 的定义 ， 讨论 由内部算子 空间 （ 对象 ） 及其之 间的连续 映射 （ 态
算子空间， 结合范 畴理论去讨论 内部算子空间范畴． 本文通过对拓扑空间上的内部算子及其性质的研究， 给 出内部算子空间及其之间的连续映射的定义， 讨论以内部算子空间为对象及其之 问的连续映射为态射而构 成的内部算子空间范畴， 并证明内部算子空间范畴中的（ 有限） 积的存在性．
１ 内部 算子空 间与连 续映射
Ｉ ｏ （ Ａ） ＝Ａ ， 则 ， ０ 为 上 的一个 内部算 子 ．
定义 １ － ２ 设（ Ｘ ， Ｉ ｘ ） 和（ ｙ ， Ｉ ｒ ） 是两 个 内部 算 子 空 间 ，
．
— ｙ ， 如果 厂 为 满射 且 对 于 Ｖ Ａ∈ （ Ｘ） ， ， （ 厂
． ．
（ ） ） （ Ａ） ） ， 则 称 是 从 （ Ｘ ， ｘ） Ｉ 到（ １ ， ， ， ｙ ） 的一 个 连续 映 射 ， 简称 厂连续 ． 特别 地 ， 当 ＝Ｙ时， 称 厂 为 （ ， ＾） 上 的 连续 映射 ． 定理 １ ． １ 设（ Ｘ ， ＾） ， （ ｙ ， ， ） ， （ ｚ ， ） 都 是 内部算 子空 间， 则 （ １ ）内部算 子 空间 （ ， ＾） 上 的恒 同映射 ｉ ｘ ： 是 一个连续 映射 ；
则称 为 上 的一个 内部算子 ， （ ， ＾） 或 为 内部算子 空 间． 例 １ ． １ 设（ ， ． 『 ） 是 一拓 扑空 间， Ｐ（ ） 为 的幂 集， ， ． Ｐ（ ） 一 Ｐ（ ） 的具 体定 义为 ： Ｖ Ａ∈Ｐ（ ） ， ， （ Ａ） ＝Ａ 。 ， 则 由文献 【 １ 】 中 内部 运算性 质知 ， Ｊ 为 上 的一个 内部算 子． 例 １ ． ２ 设 是 一非 空集合 ， ， ０ ： （ ） 一 ÷ （ ） 为一 集值 映射， 如 果对 Ｖ Ａ∈ （ ） ，
第３ ４卷 第 ３期
２ ０ １ ３年 ９月
淮北 师范 大学 学报 （ 自然 科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｕ ａ ｉ ｂ ｅ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
第 ３期
杜银 玲 等 ： 内部 算 子 空间及其 范畴
７
２ 内部 算子 空间范畴及其 积
定义 ２ ． １ … 一 个 范畴 Ｃ由以下 内容 组成 ：
（ ｉ ） 一 个对 象 类 ｏ ６ （ Ｃ） ， ｏ ６ （ Ｃ ） 的元 称为 Ｃ中的对 象 ． （ ｉ ｉ ） 一 个 态射 类 Ｍｏ ｒ （ Ｃ ） ， Ｍｏ ｒ （ Ｃ ） 的元称 为 Ｃ中 的态射 ． 对 于 ｃ中对象 的每 个有 序偶 （ 曰 ， Ａ ） ， 对应有 唯
射） 构成 的范 畴， 并证 明内部算子空间范畴中的 （ 有 限） 积的存在性．
关键词： 内部算子； 连 续 映射 ； 内部 算 子 空 间 范 畴 ； 积
中图 分 类 号 ： ｏ １ ８ ９ ． １ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ２ ０ ９ ５— ０ ６ ９ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ０ ０ ６— ０ ３
范 畴 是从 数 学 的各个 领域 中概括 出来 的一个 高度 抽 象 的数 学 系统， 范 畴理论 的概念 和方 法对 于解 释和
阐述抽象概念， 确定科学研究框架起重要作用 ． 在拓扑学 中， 由算子诱导出的拓扑空间是一类很重要的拓扑 空 间， 内部算子作为重要的算子起很关键 的作用． 文献 ［ １ — ２ ］ 表 明， 对于某一集合而言， 其内部运算和拓扑 是一一对应的． 另外， 崔艳丽和吴洪博Ｉ １ 把拓扑空间上的闭包算子成功推广到闭包算子空间， 并进一步研究 其范畴性质． 基于对这些知识背景的思考和启发， 通过对拓扑空间上的内部算子及其性质 的研究， 引入内部
定义 １ ． １ 设 是一非空集合，
（ １ ） ， （ Ｘ ） ＝ ； （ ３ ） Ｖ Ａ∈ （ Ｘ） ， ， （ Ａ ） Ａ ；
（ ） 一 （ ｘ ） 是一集值映射ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 若， 满足条件：
（ ２ ） Ｖ Ａ ， Ｂ∈ （ Ｘ） ， Ｉ （ Ａｎ Ｂ ）＝， （ Ａ ） ｎ， （ Ｂ） ； （ ４ ） Ｖ Ａ∈ （ ） ， Ｉ （ ， （ Ａ ） ） ＝， （ ） ．
（ ２ ）如果 — ｙ和 ｇ ： ｙ － ＋ ｚ都 是连 续 映射， 则 ｇ 。ｆ － ． ｚ也 是连续 映射 ． 证明 由定义 １ ． ２中的内部算子空间上 的连续映射定义直接验证．
．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ４—１ ９
基金 项 目： 国家 自然科 学 基金 资助项 目（ １ １ １ ７ １ １ ５ ６ ） ； 安徽 省 自然科 学研 究项 目（ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ２ Ｚ ３ ５ ８ ） 作者简介： 杜银 玲 （ １ ９ ８ ８一 ） ， 女， 安徽 宿州 人 ， 硕士生， 主 要 从 事 格 上 拓扑 学 理 论 的研 究
的一个集 合 Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ． （ ｉ ｉ ｉ ） 对 于 Ｃ中对 象 的每个 有序 三元 组 （ 曰 ， Ａ ，Ｃ ） 对 应一 个称 为复合 （ 或 合成 ） 的映射 ： Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ×Ｈ ｏ ｎ ｒ
（ Ａ ， ｃ ） ＿ ÷ ｍ（ 日 ， ｃ ） ， （ ，， ｇ ） 卜 ＋ ｇ。 则 ｇ。ｆ 称为 ／和 ｇ的复合（ 或合成 ） ． 要求 Ｃ中对 象和 态射 满足 下列公 理 ： （ １ ）若 （ ， Ａ） ≠（ Ｄ ， Ｃ ） ， 则 Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ｎ Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｄ， Ｃ ） ＝ ； （ ２ ）若 厂 Ｅ Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ， ｇ∈Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｃ ， Ｂ） ， ｈ∈Ｈ ｏ ｍ（ Ｄ， Ｃ ） ， 则（ ｆ。 ｇ ） 。 ｈ＝ ｆ。 （ ｇ。 ） ； （ ３ ） Ｖ Ｂ∈ｏ ｂ （ ｃ ） ， ｊ ｉ ｄ Ｂ ∈Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， 曰） 使得 Ｖ ∈Ｈ ｏ ｎ（ ｒ Ｂ ， Ａ） ， Ｖ ｇ∈Ｈ ｏ ｍ（ Ｃ ， Ｂ） ， 有 。 ｉ ｄ Ｂ ＝ ｉ ｄ ａ。 ｇ＝ｇ ，ｉ ｄ ａ 称 为 上 的恒 同态射 ． 定义 ２ ＿ ２ 以内部算子空间作为对象， 并以内部算子空间之 间的连续映射作为态射， 构成的系统， 我们称 之 为 内部 算子 空 间范畴 ． 注 １ 定理 １ ． １ 、 映射 性质及 定 义 ２ ． １ 表 明， 内部 算 子空 间范 畴的定 义是合 理 的 ．
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ３ Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０１ ３
内部算子 空间及 其范 畴
杜银玲 ， 卢 涛 ， 朱润秋
（ 淮北师范大学 数学科学学 院， 安徽 淮北 ２ ３ ５ ０ ０ ０ ）
摘
要： 文章 给出内部算子空 间及其之 间的连续 映射 的定义 ， 讨论 由内部算子 空间 （ 对象 ） 及其之 间的连续 映射 （ 态
算子空间， 结合范 畴理论去讨论 内部算子空间范畴． 本文通过对拓扑空间上的内部算子及其性质的研究， 给 出内部算子空间及其之间的连续映射的定义， 讨论以内部算子空间为对象及其之 问的连续映射为态射而构 成的内部算子空间范畴， 并证明内部算子空间范畴中的（ 有限） 积的存在性．
１ 内部 算子空 间与连 续映射
Ｉ ｏ （ Ａ） ＝Ａ ， 则 ， ０ 为 上 的一个 内部算 子 ．
定义 １ － ２ 设（ Ｘ ， Ｉ ｘ ） 和（ ｙ ， Ｉ ｒ ） 是两 个 内部 算 子 空 间 ，
．
— ｙ ， 如果 厂 为 满射 且 对 于 Ｖ Ａ∈ （ Ｘ） ， ， （ 厂
． ．
（ ） ） （ Ａ） ） ， 则 称 是 从 （ Ｘ ， ｘ） Ｉ 到（ １ ， ， ， ｙ ） 的一 个 连续 映 射 ， 简称 厂连续 ． 特别 地 ， 当 ＝Ｙ时， 称 厂 为 （ ， ＾） 上 的 连续 映射 ． 定理 １ ． １ 设（ Ｘ ， ＾） ， （ ｙ ， ， ） ， （ ｚ ， ） 都 是 内部算 子空 间， 则 （ １ ）内部算 子 空间 （ ， ＾） 上 的恒 同映射 ｉ ｘ ： 是 一个连续 映射 ；
则称 为 上 的一个 内部算子 ， （ ， ＾） 或 为 内部算子 空 间． 例 １ ． １ 设（ ， ． 『 ） 是 一拓 扑空 间， Ｐ（ ） 为 的幂 集， ， ． Ｐ（ ） 一 Ｐ（ ） 的具 体定 义为 ： Ｖ Ａ∈Ｐ（ ） ， ， （ Ａ） ＝Ａ 。 ， 则 由文献 【 １ 】 中 内部 运算性 质知 ， Ｊ 为 上 的一个 内部算 子． 例 １ ． ２ 设 是 一非 空集合 ， ， ０ ： （ ） 一 ÷ （ ） 为一 集值 映射， 如 果对 Ｖ Ａ∈ （ ） ，
第３ ４卷 第 ３期
２ ０ １ ３年 ９月
淮北 师范 大学 学报 （ 自然 科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｕ ａ ｉ ｂ ｅ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
第 ３期
杜银 玲 等 ： 内部 算 子 空间及其 范畴
７
２ 内部 算子 空间范畴及其 积
定义 ２ ． １ … 一 个 范畴 Ｃ由以下 内容 组成 ：
（ ｉ ） 一 个对 象 类 ｏ ６ （ Ｃ） ， ｏ ６ （ Ｃ ） 的元 称为 Ｃ中的对 象 ． （ ｉ ｉ ） 一 个 态射 类 Ｍｏ ｒ （ Ｃ ） ， Ｍｏ ｒ （ Ｃ ） 的元称 为 Ｃ中 的态射 ． 对 于 ｃ中对象 的每 个有 序偶 （ 曰 ， Ａ ） ， 对应有 唯
射） 构成 的范 畴， 并证 明内部算子空间范畴中的 （ 有 限） 积的存在性．
关键词： 内部算子； 连 续 映射 ； 内部 算 子 空 间 范 畴 ； 积
中图 分 类 号 ： ｏ １ ８ ９ ． １ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ２ ０ ９ ５— ０ ６ ９ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ０ ０ ６— ０ ３
范 畴 是从 数 学 的各个 领域 中概括 出来 的一个 高度 抽 象 的数 学 系统， 范 畴理论 的概念 和方 法对 于解 释和
阐述抽象概念， 确定科学研究框架起重要作用 ． 在拓扑学 中， 由算子诱导出的拓扑空间是一类很重要的拓扑 空 间， 内部算子作为重要的算子起很关键 的作用． 文献 ［ １ — ２ ］ 表 明， 对于某一集合而言， 其内部运算和拓扑 是一一对应的． 另外， 崔艳丽和吴洪博Ｉ １ 把拓扑空间上的闭包算子成功推广到闭包算子空间， 并进一步研究 其范畴性质． 基于对这些知识背景的思考和启发， 通过对拓扑空间上的内部算子及其性质 的研究， 引入内部
定义 １ ． １ 设 是一非空集合，
（ １ ） ， （ Ｘ ） ＝ ； （ ３ ） Ｖ Ａ∈ （ Ｘ） ， ， （ Ａ ） Ａ ；
（ ） 一 （ ｘ ） 是一集值映射ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 若， 满足条件：
（ ２ ） Ｖ Ａ ， Ｂ∈ （ Ｘ） ， Ｉ （ Ａｎ Ｂ ）＝， （ Ａ ） ｎ， （ Ｂ） ； （ ４ ） Ｖ Ａ∈ （ ） ， Ｉ （ ， （ Ａ ） ） ＝， （ ） ．
（ ２ ）如果 — ｙ和 ｇ ： ｙ － ＋ ｚ都 是连 续 映射， 则 ｇ 。ｆ － ． ｚ也 是连续 映射 ． 证明 由定义 １ ． ２中的内部算子空间上 的连续映射定义直接验证．
．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ４—１ ９
基金 项 目： 国家 自然科 学 基金 资助项 目（ １ １ １ ７ １ １ ５ ６ ） ； 安徽 省 自然科 学研 究项 目（ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ２ Ｚ ３ ５ ８ ） 作者简介： 杜银 玲 （ １ ９ ８ ８一 ） ， 女， 安徽 宿州 人 ， 硕士生， 主 要 从 事 格 上 拓扑 学 理 论 的研 究