布鲁克斯金融计量经济学中文课件-7

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消去非平稳性（续）
• 在后面的内容中我们主要学习差分平稳过程. • 我们可以通过差分去掉数据的随机趋势, 通常我们对数 据先取对数，再作一阶差分, 这样就和回报的定义一样.
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Sample Plots for various Stochastic Processes: A White Noise Process
4 3 2 1 0 -1 1 -2 -3 -4
40 79 118 157 196 235 274 313 352 391 430 469
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Sample Plots for various Stochastic Processes: A Random Walk and a Random Walk with Drift
-10
-15
-20
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非平稳的定义
• 考虑一个具有随机趋势的模型: yt or yt
= yt-1 + ut = u t.
定义 如果一个非平稳的序列, yt 需要经过 d 次差分才能变为平稳的话,则称 它为 d阶积整的. 记为 yt I(d). 所以，如果 yt I(d) 则dyt I(0). 一个I(0)序列是一个平稳的序列 一个 I(1)的序列含有一个单位根, e.g. yt = yt-1 + ut
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增广 Dickey Fuller (ADF)检验
• 以上的检验仅在ut 为白噪声时才成立. 在实际中, ut 有可能是自相关的. 我们可以用 “增广” 检验来解决这类问题，令 p 为被解释变量的滞后 期数:
yt yt 1 i yt i ut
i 1
源自文库
p
• 对该检验我们可以使用和前面一样的临界值.如何确定滞后期数？ • - 根据数据的频率 - 根据信息标准
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I(0), I(1) 和 I(2) 序列的特征
• 一个 I(2)的序列具有2个单位根需要差分2次才能变为平稳. • I(1) 和 I(2)序列的特点是它们会远离它们的均值并且几乎不会穿过 它们的均值. • I(0) 的序列可以多次穿过它的均值. • 绝大多数经济和金融的时间序列都只含有一个单位根, 也有少数例 外,如名义消费价格和名义工资被认为含有2个单位根.
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Autoregressive Processes with differing values of (0, 0.8, 1)
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Phi=1
10
Phi=0.8 Phi=0
5
0 1 -5 53 105 157 209 261 313 365 417 469 521 573 625 677 729 781 833 885 937 989
SE ( )
• 这个统计量在零假设成立的情况下并不服从t-分布, 其原因是零假设成 立意味着该序列是非平稳的, 因此该统计量不服从任何我们已知的分 布. 该分布的临界值由Monte Carlo 模拟给出.
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DF 临界值
Significance level 10% 5% 1% C.V. for constant -2.57 -2.86 -3.43 but no trend C.V. for constant -3.12 -3.41 -3.96 and trend Table 4.1: Critical Values for DF and ADF Tests (Fuller, 1976, p373).
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如何检验是否存在单位根?
• 早期开创性的工作是由Dickey 和 Fuller (Dickey and Fuller 1979, Fuller 1976)做出的. 他们的目的是检验零假设 =1: yt = yt-1 + ut 备择假设是 <1. 即 H0: 序列包含一个单位根 vs. H1: 序列是平稳的. • 我们通常使用下面的回归:
Chapter 7
金融中长期关系建模
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平稳性和单位根检验
为什么需要检验非平稳性? • 平稳和非平稳的时间序列在性质上有很大的差别 – 例如，我们对 非平稳的序列产生一个冲击，则这个冲击的影响永远不会消失； 对平稳的序列则不会出现这种情况 • 缪误回归. 如果2个相互独立的变量都存在着随时间而变化的趋势, 对这2个变量作回归的话 R2 会很高
如果统计量小于临界值，零假设将会被拒绝.
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例
Figure 11.3b: Two Types of 'Detrending'
10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 -2.00 -4.00 -6.00 -8.00 -10.00
Jan-95
Mar-95
May-95
Jul-95
Sep-95
Nov-95
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Deviations from Trend
First Differences
例（续）
• DF test for a unit root.
yt 0.122 0.942 yt 1
(1.71) ( 15.12)
yt 0.03 0.066 yt 1
( 0.47) ( 2.11)
3
Value of t-ratio on Slope Coefficient for 1000 Sets of Regressions of a Non-stationary Variable on another Independent Non-stationary Variable
4
2种类型的非平稳

3. >1.冲击的影响会越来越大, 因为，如果 >1, 则3>2>.
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消去非平稳性
• 回到前面所讲的 2类非平稳过程 • yt = + yt-1 + ut 和 yt = + t + ut • 对这2类非平稳过程我们采用不同的方法消去非平稳. • 对第1类. 令 yt = yt - yt-1 有 L yt = yt-1 所以 (1-L) yt = yt - L yt = yt - yt-1 (1)可写为: yt - yt-1 = + ut yt = + ut 我们说通过 “一次差分”产生了平稳的序列.
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随机非平稳性: 冲击的影响（续）
• 有 3情况: 1. <1 T0 as T 冲击的影响会逐渐消失. 2. =1 T =1 T 冲击的影响不会消失. 有: T i 0 y的当期值仅仅是过去的总和再加上一初始值，这种情况称为单位 根过程，因为其特征方程的根是1
yt y0 ut
• 不同的平稳定义 • 在本章中, 平稳值的是弱平稳 • 通常用2类模型来描述非平稳: 具有漂移的随机游走: yt = + yt-1 + ut (1) 和具有确定趋势的过程: yt = + t + ut (2)
其中 ut 是 白噪声扰动项 的.
5
随机非平稳性
• 模型 (1)可以是一个爆发过程: 其中 > 1. yt = + yt-1 + ut
• 如果回归模型中的变量是非平稳的, 那么可以证明渐近分析的标准 假设都是错误的. 换句话说, 我们所计算的 “t-比率”将不会服从 t分布, 因此我们在此基础上所作的假设检验也是错误的.
2
Value of R2 for 1000 Sets of Regressions of a Non-stationary Variable on another Independent Non-stationary Variable
yt = yt-1 + ut 所以检验 =1 等价于检验=0 (因为 -1=).
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DF检验的不同形式
• Dickey Fuller 也被称为 检验: , , . • 在每种形式中H0和 H1 分别为 i) H0: yt = yt-1+ut H1: yt = yt-1+ut, <1 这是检验一个随机游走对一个平稳的AR(1)过程 ii) H0: yt = yt-1+ut H1: yt = yt-1++ut, <1 这是检验一个随机游走对一个具有漂移的平稳的AR(1)过程. iii) H0: yt = yt-1+ut H1: yt = yt-1++t+ut, <1 这是检验一个随机游走对一个具有漂移和时间趋势的平稳的AR(1)过程.
• 这种爆发过程可以被忽略，我们一般用 = 1 来描述随机非平稳性 – > 1 对经济和金融中的数据并不适用. – > 1 在直觉上也是不对的: 对系统的冲击不但不会逐渐消失反 而会越来越大，以至于无穷.
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随机非平稳性: 冲击的影响
考虑以下 AR(1)过程:
可以是任意值.
有:
（4）代入（3）得: （5）代入（6）得: 连续T次迭代得：
-20
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Sample Plots for various Stochastic Processes: A Deterministic Trend Process
30 25 20 15 10 5 0 -5 1 40 79 118 157 196 235 274 313 352 391 430 469
(1) (2)
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Example
Figure 11.3a: HSBC Price and Fitted Trend
120 110 100 90 80 70 60 Jan-95
Mar-95
May-95
Jul-95 HSBC Price
Sep-95 Fitted Trend
Nov-95
10
Figure 11.3b: Two Types of 'Detrending'
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检验高阶积整
• 考虑以下回归: 我们检验 H0: =0 vs. H1: <0. 如果 H0 被拒绝，我们可以说yt 不含有单位根. 如果 H0 没有被拒绝，我们可以得到什么结论呢? 该序列是含有１个单 位根还是含有多个单位根? 例如 ytI(2)? 我们需要继续作检验 H0: ytI(2) vs. H1: ytI(1) 我们要继续检验直到拒绝H0. 所以我们把 2yt 对 yt-1 作回归. 现在我们检验 H0: ytI(1) 这等价于 H0: ytI(2). 如果在这个检验中我们不能拒绝H0, 则我们说 yt 致少是 I(2).
yt = yt-1 + ut
(3)
yt-1 = yt-2 + ut-1 （4） yt-2 = yt-3 + ut-2 （5） yt = (yt-2 + ut-1) + ut = 2yt-2 + ut-1 + ut （6） yt = 2(yt-3 + ut-2) + ut-1 + ut = 3 yt-3 + 2ut-2 + ut-1 + ut yt = T y0 + ut-1 + 2ut-2 + 3ut-3 + ...+ Tu0 + ut
10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 -2.00 -4.00 -6.00 -8.00 -10.00
Jan-95
Mar-95
May-95
Jul-95
Sep-95
Nov-95
Deviations from Trend
First Differences
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消去非平稳性（续）
• 对于2类非平稳的过程，我们在处理的时候要采取不同的方法 • 如果我们对第2类过程（去趋势平稳过程）采取差分的办法, 那么在消 除非平稳性的同时在误差项中引入了MA(1)结构. • 反过来，如果我们对第1类非平稳的过程（差分平稳）采用去掉趋势 的方法处理，则我们根本不可能消除非平稳性. • 在金融市场的绝大多数数据，例如价格, 收益率等都是差分平稳的而 不是去趋势平稳过程.
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计算DF检验统计量
• 我们可以把上式写为 yt=ut 其中 yt = yt- yt-1, 备择假设的公式可以写为 yt = yt-1++t +ut 其中 ==0 在 i)中, =0 在 ii)中， =-1. 在每种形式下, 主要是检验 yt-1 的t-比率. 统计量为 test statistic =
70
60
Random Walk
50
Random Walk with Drift
40
30
20
10
0 1 -10 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253 271 289 307 325 343 361 379 397 415 433 451 469 487