(电容元件与电感元件)

p ui cu
dt
联参考方向
①当电容充电， p >0, 电容吸收功率。 ②当电容放电，p <0, 电容发出功率。
表明 电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电
场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电
路，因此电容元件是储能元件，它本身不消耗能量
李 5-11
• (2) 能量：由功率和能量的关系可得到电容能
a i(t)
u(t)
+
-
c u(0)=U0
a +
b
uc(t)
i(t)
+ u1(t)
b
U0
+
-
u1(0)=0
-
例题
已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示， 电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。
李 5-7
i/A 3 2 1 -1 0 1 2 3
试求：(1) u(0)； (2) u(t)、t≥0； (3) u(1)和u (－ 0.5)； (4) 作出t≥0时该电容的等效电路。 解 （1）根据已知条件，t≤0时
• 量表达式为：
u (t ) du w pdt cu dt c udu u ( ) dt t t
1 2 cu 2
u (t )
u ( )
1 2 1 2 cu (t ) cu () 2 2
一般地认为在 t = -∞时刻，u(-∞)=0。因此电容能量
1 0 1 t u( t ) i( )d i( )d C C 0 1 t u (0)+ i( )d C 0
u(0)累计了t=0以前所有时刻i的作用,称为电容的初始电压。
上式可写为
u(t ) u(0) u1 (t )
t 0
李 5-6
设u(0)=U0 ,t≥0时电容的等效电路为
t≥0时，不能忽略初始电压u(0)， 它反映了t≤0电流对t ≥ 0时u（t）的影响。 （3）求： u(1)和u (－ 0.5)
u 1 0.5 0.75 1 1.25V
t 0.5s属t 0, 故得 1 0.5 u 0.5 2dt 0.25V 1 4
李 5-1
§1 电容元件的VCR
（1）电容元件是实际电容器(real capacitor) 的模型。 它只具有存储电荷、从而存储电场能量的作用。 其参数为电容C：
q C u
（2）电容（元件）VCR形式一 （3）电容（元件）VCR形式二
（2）电容（元件）VCR形式一
q = cu 由于
dq i dt
李 5-15
李 5-9
例题
(续 )
（4）作出t≥0时该电容的等效电路 i1/A i1(t)
u1(t)
+
+
4F
+
3
u(t)
0.5V
-
-
0
1
2
t/s
t ≥ 0时的等效电路 i1(t) — i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。
李 5-10
§2 电容的储能 状态变量
• (1) 功率：根据功率的定义式可得电容的功率 表达式为： du u、 i 取关
李 5-4
(b)某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。电容
表明
是动态元件；
(c)当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路， 电容有隔断直流作用； (d)实际电路中通过电容的电流 i 为有限值， 则电容电压 u 必定是时间的连续函数。 u 0
线性时不变 电容元件
李 5-2
i
C
+
u
图形符号
-
故得
du i C dt
u、i 应为关联参考方向。
①
电容（元件）的VCR之一，以u表示i。
例 1F的电容，若u如图（a），则i如图（b）
u/V
1
李 5-3
图(a)
2
0.5 t/S
i/A
图(b)
du i C dt
0
0
0.5
t/S
表明
（a）u、i 波形不同。特别是当u为直流电压时， i =0 。 波形不同，除正弦波等少数例外，为动态元件 一般规律。
的表达式可写成：
1 2 w ( t ) cu (t ) 2
李 5-12
从t1 ~ t2时刻，电容吸收的能量为：
1 2 1 2 wc cu (t 2 ) cu (t1 ) 2 2
当 u (t 2 ) u (t1 ) ， 电容充电，吸收电能 当 u ( t1 ) u ( t 2 ) ， 电容放电，释放电能
李 5-14
§3 电容与电感的对偶性（duality）
对偶关系
C uC iC
iC C duC dt
L iL uL
uL L diL dt
1 t u C u C 0 iC d C 0 1 2 wC Cu C 2 u C百度文库为状态变量
1 t i L i L 0 u L d L 0 1 2 wL Li L 2 i L 为状态变量
李 5-13
总结：
1 2 w t Cu 电容是储（电场）能元件。其储能为： C C t 2
某一时刻t 的电容电压反映同时刻储能状况，电容电压 的连续性和记忆性均来自电容的储能本性。 电容电压属动态电路分析中的状态（state）变量。 它满足： （a）给定初始状态[即uc(0)]和所有t≥0的输入[即i(t)]就能 确定在t≥0时的状态[即uc(t)]。 （b）由状态变量可确定电路中任一变量。见下章。作为 状态变量，uc是分析含电容动态电路时的主要对象。
t
du i dt 电容电压的连续性质 （continuity property）
（3）电容（元件）VCR形式二
由 i c du u 1 t i( )d c
李 5-5
dt

由上式可以看出，电容 t 时刻的电压不仅与此时刻的 电流值有关，还与－∞～t 时间段的电流值有关。也 就是说，它是一个记忆元件。 更实用的形式： 设初始时刻为t=0
t/s
仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。

1 0 2 u 0 2dt 0.5V 4 1 4
u(0)记忆了t=0以前所有电流的充电作用。
李 5-8
例题
(续 )
3
i/A 2 1 -1 0 1 2 3 t/s
（2）求： u(t)、t≥0 t ≥ 0时
1 t u t u 0 3dt 4 0 0.5 0.75t V