概率论与数理统计在数学建模中的应用__本科毕业设计论文

概率论与数理统计在数学建模中的应用

——国 冰

。

第一节 概率模型

一、初等概率模型

初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：

1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型

设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大?

这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用

1()n

i i p p x ==∏ （9.1）

来表示.

又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为

1max ()n

i i p p x ==∏

（9.2）

1

1

..,1,2,N

i i i N

i i i i c x c

s t w x c

x N i N

==⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪∈=⎪⎩∑∑

问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数，属于非线性整数规划问题。

2、传染病流行估计的数学模型

问题分析和模型假设

本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行。被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程，以便对这些问题做出回答。

这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程。

假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人，即可能感染者，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的. 问题在于一旦掌握了随机规律，那么如何去估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大?

给出以下假设

（1）设人群只分病人和健康人两类，病人数和健康人数分别记为i 和s ，总数n 不变，即

i s n += （9.3）

（2）人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同概率p ，每人每天平均与m 人接触；

（3） 当健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率为λ。

模型建立求解

由假设（2）知道一个健康人每天接触的人数服从(1,)b n p -，且平均值是m ，则

(1)m n p =-

于是 (1)

m p n =- (9.4) 又设一健康人被一名指定病人接触并感染的概率为1p ，则由假设3及(9 .4)

式得

11m

p p n λλ==- (9.5)

那么一健康人每天被感染的概率2p 为

211(1)1(1)1i i m

p p n λ=--=--- (9.6) 由于健康人被感染的人数服从2(,)b s p ，其平均值μ为

22()sp n i p μ==- (9.7)

标准差σ为

σ==注意，通常,1n m n ≥≥，取(9.6)式右端展开式的前两项，有

21(1)mi mi p n n λλ=--+≈ (9.9)

最后得到 ()

mi n i

n λμ-=

(9.10)

σμ== (9.11) (9.10)式给出了健康人每天平均被感染的人数μ与n 、i 、m 、λ的关系，(9.11)式σμ为变异系数，可看作对平均值μ的相对误差的度量。

二、随机性决策模型

所谓行为决策理论，就是用行为科学的观点和方法，对决策活动进行描述，解释和预测的一种理论。

它以人的决策行为作为基本要素，以自然科学的实证方法作为主要手段，归纳出一套建立在经验证据基础上的理论观点，拓展了决策论的研究范围。 合理的决策必须具备三个条件：

（1）目标合理；

（2）决策结果满足预定目标的要求；

（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。

所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.

①风险决策模型的基本要素

决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.

方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.

准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.

事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.

结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.

②风险决策方法

∙利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.

∙充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.

决策树一般都是自上而下的来生成的。

选择分割的方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。

从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。

决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。

对每个节点的衡量：