第四篇(弯曲挠度3Lu)

2EI
B
a
C
B
F
B
C
M=Fa
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A1
Fa 2 2EI
,
A1
Fa 3 3EI
F
A wA1 θA1
A2
B
Fa 2 4EI
A wB
A2
B
Ba
Fa 3 6EI
Fa 3 4EI
5Fa3 12 EI
B a
A3
B
Fa 2 2EI
A
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A2
B
Ba
Fa 3 4EI
Fa 3 2EI
1
w
<<1
( x )
1 w2
3 2
1 M(x)
( x) EI z
A y
w M x
EI z
θ
p
C
w
p
C
θ
B x
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O
x
O
x
M
M
y
M<0
w" > 0
M
M
y
M>0
w"< 0
w M x
EI z
w M x
EI z
—— 挠曲线近似微分方程
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qa2/2
qa4 qa4 qa4
A
4EI 8EI 3EI
B
C wc2(q)
c 2 (q)
5qa4
24 EI
（e）
——这种叠加法又称为
逐段（级）刚化法。
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例3：求跨中挠度wc 。 解：采用逐段（级）刚化法
A
wc wc1 wc2
Fa Fl 3 2EA 48 EI
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例1. 一简支梁受力如图。已知F1=120KN，F2=30KN， F3=40KN，F4=12KN。梁横截面由两个槽钢组成。 [σ]=170MPa，[τ]=100MPa，[w]=l/400，E=2.1×105MPa。试 由强度条件和刚度条件选择槽钢型号。
解：1°求支座反力
0.0625 Fbl 2 。 EI
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没有 拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。
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总结：
➢挠曲线的微分方程：E I w "= - M (x)
➢数学求解： EIw EI M( x)dx C
EIw [ M(x)dx]dx Cx D
q
A
B
l
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解:1°建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：
FAy
FBy
1 2
ql
A
M ( x) ql x qx2
q l
Bx
2
2y
2o 梁的挠曲线微分方程为
EIw ql x qx2
2
2
积分 EIw ql x2 qx3 C 2 2 23
ql x3
qx4
EIw
θ
p
A
C
w
p
B x
y
C
θ
1、挠度: 梁的截面形心在垂直于轴线方向的线位
移w。
w= w(x)——挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tanθ=dw (x)/dx=w'(x)——转角方 程。顺时针为正。
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§4-8 梁的挠曲线近似微分方程
EI 2EI
A
Flx 2 Fx 3
w
y
2EI 6 EI
F
Bx
θmax
wmax
l
当 x = l 时：
max
w
xl
Fl 2 2 EI
Fl 3 wmax w xl 3EI
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例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。 设梁的抗弯刚度为EI。
A
F
C wc
l
F
C wc1 wc2
l
D a
B
D a
B
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例3：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。 试求左端的挠度。
F
EI
A
B
a
2EI C
a
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解：采用逐段刚化法
F EI
A a
F
1、令BC刚化，AB为
悬臂梁。
A wA1
θA1
A wB
2、令AB刚化，BC为 悬臂梁。 B a
Cx D
2 23 234
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边界条件
x0: w0 xl: w0
q
A
θA
y
wmax θB
Bx
l
得:C ql 3 24 , D 0
w
ql 3
ql
x2
q
x3
24EI 4EI 6 EI
ql 3
ql
w
x
x3
q
x4
24EI 12EI 24EI
5ql 4
wmax
w
54 38.4
（c）
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3°由正应力强度条件选择槽钢型号
Wz
M max
[ ]
62.4 103 170 106
367cm3
查表，选两个20a号槽钢Wz=178×2=356cm3
max
62.4 103 356 106
175106 N
/ m2
175MPa
q
B a
（a）
F
B
（b）
Cx a
Θc(F) wC(F)
θB(F) C
HOHAI UNIVERSITY q
A
B
CA
（c）
A
A
M=qa2/2
B
q
C
q M=qa2/2
B
C
M=qa2/2
B
C
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2o 求c (q)、wc (q)
A
1 AB不变形(刚化），BC变形。
c1 (q )
3EI
12 EI
4EI
2EI
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§4-11 梁的刚度计算
一、梁的刚度计算
梁的刚度条件为：
wmax ≤ [w],
θmax ≤ [θ]
其中：wmax ——梁的最大挠度， θmax ——一般是支座处的截面转角。 [w]、 [θ]——规定的容许挠度和转角。
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x a )2
C2
EIw 2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
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F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l
D1=D2=0 因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：
AD :
w1
1
Fb( l 2 b2 6 EI
)
Fbx 2 2 EIl
w1
Fb( l 2 b2 ) x Fb
6 EIl
6 EIl
x3
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DB :
w2
2
Fb( l 2 b2 ) 6 EIl
Fb 2 EIl
x2
F 2 EI
C, D 由梁支座处的已知位移条件即位移边界条件确定。 常见简单梁在简单荷载作用下产生的挠度和转角可以查表。
➢由微分方程和弯矩来几何分析挠曲线的大致形状。
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思考题1：画出梁的挠曲线大致形状：
M
A
B
l
l
思考题2：画出梁的挠曲线大致形状：
4q
A
B
l
l
M
C
D
l
4q
C
D
l
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第四章 弯曲变形
—— 梁的挠度计算
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§4-7 梁的变形
θ
p
A
C
w
p
B x
C
θ
y
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平
面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。
当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。
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例2：已知F、q、EI。求θc和wc。
A
a y
F=qa
B a （a）
q
Cx a
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1o 求c (F )、wc (F )
C (F ) B(F )
F( 2a )2 16 EI
qa3 4 EI
wC (F ) B (F ) a
qa4 4 EI
A a
y
A
F=qa
3Fa 3 4EI
wB
B a
EI B
F
B
2EI C
M=Fa
B
2EI C
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F
EI
A
B
a
2EI C
a
累加得到总的结果：
A
A1 A2
A3
Fa 2 2EI
Fa 2 4EI
Fa 2 2EI
5Fa 2 4EI
Fa3 5Fa3 3Fa3 3Fa3
wA
w A1
wA2
w A3
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当F作 用 于 梁 中 点C时 ，wmax wc。
当F右 移 至B点 时 ，b 0，x0 0.577l。
wmax的 位 置 距 梁 中 点 仅 0.077l。
令
b2 0,
wmax
Fbl 2 9 3 EI
0.0642 Fbl 2 。 EI
F
wc
Fbl 2 16 EI
EIw1
Fb l
x
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EIw1
Fb l
x
F
a
b
EI w 1
EI 1
Fb 2l
x2
C1
A
CD
Bx
x
EIw 1
Fb 6l
x3
C1x
D1
y
l
Fb DB : M ( x ) x F ( x a )
l
EI w 2
Fb l
x
F(
x
a
)
EIw2
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
EIw [ M(x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
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例1：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的 转角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。
设梁的抗弯刚度为EI。
F
A
B
l
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x
l 2
384EI
A
x0
ql 3 24EI
B
xl
ql3 24EI
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例3：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程
及wmax 。
A
解:1°建立坐标系。
F
a
b
CD
Bx
求支座反力。
x
y
l
FAy
Fb l
,
FBy
Fa l
2°分段求出弯矩方程及w′、w。
AD :
M ( x ) Fbx , l
解：
A
1o M( x ) F( l x )
l
2o EIw M ( x ) y
Fl Fx
积分：
EIw' EI Flx Fx2 2 C
EIw Flx2 Fx3 Cx D 2 23
边界条件:
x 0:
w 0 w0
C0
D0
F Bx
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w Flx Fx 2
由 MB 0，FAy 138KN MA 0，FBy 64KN
2°画剪力图和弯矩图
FQmax 138KN Mmax 62.4KNm
F1 F2 A
F3 F4 B
0.4 0.4
FAy
138
0.7 0.3
2.40 （a）
0.6
FBy
FQ （kN）
M
（kNm）
18
12 52 64
（b）
55.2 62.4
C
l/2
l/2
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解:
m
q
A
B
C
A w x0
l/2
l/2
A(q )A(m )
q
ql 3 ml
24EI 3EI
A
B
C
A (q)
wc (q)
wc wc ( q ) wc ( m )
m
5ql 4 ml 2
A A(m)
C
384EI 16EI
wc (m)
B
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ql 3 6 EI
ql 4 wc1(q) 8EI
2 AB变形，BC不变形（刚化）。
c 2 (q)
B (q)
ml 3EI
1 2
qa
2
2a
qa3
A
3 EI
3EI
wc2(q) B (q) a
qa4
3EI
q
B
（c）
q
B
（d）
C
C
wc1(q) c1 (q )
qa2/2
B
（e）
C wc2(q)
c 2 (q)
§4-10 用叠加法计算梁的挠度与转角
在线弹性范围内，可用叠加法计算梁 的变形：梁在多个荷载作用下产生的变形 （转角或挠度）等于各个荷载单独作用所 产生的变形的代数和。
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例1：简支梁所受荷载如图示。用叠加法求梁中 点挠度和左端截面的转角。设梁抗弯刚度为EI。
q m
A
B
➢有关设计手册或规范可以查阅：
吊车梁： [w]=l/500～l/600 屋梁和楼板梁： [w]=l/200～l/400 钢闸门主梁： [w]=l/500～l/750 普通机床主轴： [w]=l/5000～l/10000
[θ]=0.005rad ～ 0.001rad
➢梁的刚度计算包括：
①校核刚度 ②截面设计 ③求容许荷载
§4-9 用积分法计算梁的挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即位 移边界条件确定。
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EIw EI M( x )dx C
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3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa3 qa3 qa3 4EI 6 EI 3EI
qa3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
( x a )2
w2
Fb( l 2 b2 )
Fb
x
6 EIl
6 EIl
x3 F 6 EI
( x a )3
当a b时，wmax应在AD段。
F
a
b
由w1 0，x0
l2 b2 。 3
A
x
y
CD l
Bx
wmax
w1
x x0
Fb（l 2
b
） 2
3 2
。
9 3EIl
wc
w1
x
l 2
Fb（3l 2 4b2）。 48EI