小波阈值去噪中新的阈值函数
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第 34 卷第 3 期 2011 年 9 月
长春理工大学学报 （自然科学版）
Journal of Changchun University of Science and Technology （Natural Science Edition）
Vol.34 No.3 Sep.2011
小波阈值去噪中新的阈值函数的研究
function on the basis of their features，this paper proposes a new thresholding function，the thresholding function continuous， derivatives and reduced deviation.Adjustment factor can change the trend， with great flexibility. Simulation results show the feasibility and effectiveness of the new thresholding function. Key words： wavelet transform；threshold denoising；thresholding function
Research of New Thresholding Function in Wavelet Threshold Denoising
LI Min
（School of Information and Control Engineering of LiaoNing ShiHua University，LiaoNing FuShun，113001，China ） Abstract：Wavelet coefficients need to be processed non-linearly with the help of noising algorithm based on wavelet transform.Based on the analysis of thresholding function in threshold dehard thresholding function and soft thresholding
Cφ = ∫R
| φ(ω) |
|ω|
2
dω < ∞
（1）
源自文库
-1 x φ a, b ( x) = | a | 2 φ( - b ) a 2 则函数 f ( x) ∈ L 的小波变换定义为
（2）
W f (a, b) =< f, φ a, b >= | a |
-1
-1 2
∫R f ( x)φ(
x-b x )d （3） a
收稿日期：2011-04-15
（4）
（5）
其中，s(k) 为含噪声信号，f (k) 为真实信号，
作者简介：李敏 （1979-） ，女，硕士，讲师，主要从事智能控制的研究，E-mail：liaoninglm@126.com。
第三期
李敏：小波阈值去噪中新的阈值函数的研究
177
e(k) 为方差 δ2 的高斯白噪声， 服从 N (0,1) 分布。对
其相应的反变换公式为
b f ( x) = Cφ 2 ∬ 2W f (a, b)φ a, b ( x) dad R a2 假设含噪声的一维信号 s(k) = f (k) + δ·e(k), k = 1,2,...., N
1 小波阈值去噪
若函数 φ( x) ∈ L2 (R) ， 其傅里叶变换为 φ(ω) ， 如果满足 允许条件［2］
ìsign ê T arctan m( W - T ) - Tú é ù |W j, k | ≥ T |W j, k | + 2π | j, k | ̂ j, k = ï W ë û í ï |W j, k | < T î0
信号 s(k) 进行离散小波变换后， 得到的小波系数
W s(k) 由真实信号系数 W f (k) 和噪声信号系数 W e(k) 组
1995 年， Donoho 和 Johnstone 提出基于小波的 阈值去噪方法［1］， 包括软阈值法和硬阈值法， 因为具 有简单高效的特点， 迅速得到应用和推广。但硬阈 值函数在阈值处不连续， 重构时会出现振荡现象， 软 阈值函数与真实值间总是存在偏差， 会模糊细节信 息。本文在研究软、 硬阈值函数的基础上， 针对软硬 阈值函数各自的缺陷， 提出了一种新的阈值函数， 该 函数在阈值处连续且可导 （大于阈值的范围内） ， 又 减小了偏差。实验证明该函数的可行性和优越性。 令
成。两种系数具有不同的特性， 随着尺度的增加， 噪 声信号系数的幅值将迅速衰减为零， 真实信号系数 的幅值基本保持不变。 Donoho 提出的小波阈值去噪法的基本思想［3］： 有用信号对应的小波系数包含有重要的信息， 其数 据较少， 幅值较大。而噪声对应的小波系数的分布 则遍布整个小波域内， 信号的小波系数模的绝对值 远大于噪声对应的小波系数， 于是可以通过设定适 当的门限阈值对小波系数进行取舍， 当小波系数小 于该阈值时， 认为是噪声引起的， 予以舍弃， 当小波 系数大于该阈值时， 认为是有用信号引起的， 则把这 些小波系数保留， 最后利用处理后的小波系数进行 小波重构， 得到去噪后的信号。 小波阈值去噪的过程一般分为 3 个步骤： 1） 对含噪信号进行小波变换 2） 确定阈值， 对各尺度下的高频小波系数利用
李敏
（辽宁石油化工大学 摘 信息与控制工程学院，抚顺 113001） 要：基于小波变换的阈值去噪算法，需采用阈值函数对小波系数进行非线性的处理。本文在分析了硬阈值函数和软阈
值函数各自特性的基础上，提出了一种新的阈值函数，该阈值函数克服了软、硬阈值函数的缺陷，连续、可导，且减小了 偏差，函数中调节因子 m 可以改变阈值函数的趋向，使阈值函数具有较大的灵活性。仿真结果表明新的阈值函数的可行性 及有效性。 关键词：小波变换，阈值去噪，阈值函数 中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1672-9870(2011)03-0176-03
理， 与真实值之间总是存在一定的偏差， 这将直接影 响重构信号与真实信号的逼近程度。 2.2 新的阈值函数的构造 使阈值函数在 ± T 处连续， 且 |W j, k | > | T | 时介于软、 硬阈值函数之间， 就能在一定程度上克服软、 硬阈值 函数的缺陷［5-7］。为此， 本文构造了新的阈值函数
长春理工大学学报 （自然科学版）
Journal of Changchun University of Science and Technology （Natural Science Edition）
Vol.34 No.3 Sep.2011
小波阈值去噪中新的阈值函数的研究
function on the basis of their features，this paper proposes a new thresholding function，the thresholding function continuous， derivatives and reduced deviation.Adjustment factor can change the trend， with great flexibility. Simulation results show the feasibility and effectiveness of the new thresholding function. Key words： wavelet transform；threshold denoising；thresholding function
Research of New Thresholding Function in Wavelet Threshold Denoising
LI Min
（School of Information and Control Engineering of LiaoNing ShiHua University，LiaoNing FuShun，113001，China ） Abstract：Wavelet coefficients need to be processed non-linearly with the help of noising algorithm based on wavelet transform.Based on the analysis of thresholding function in threshold dehard thresholding function and soft thresholding
Cφ = ∫R
| φ(ω) |
|ω|
2
dω < ∞
（1）
源自文库
-1 x φ a, b ( x) = | a | 2 φ( - b ) a 2 则函数 f ( x) ∈ L 的小波变换定义为
（2）
W f (a, b) =< f, φ a, b >= | a |
-1
-1 2
∫R f ( x)φ(
x-b x )d （3） a
收稿日期：2011-04-15
（4）
（5）
其中，s(k) 为含噪声信号，f (k) 为真实信号，
作者简介：李敏 （1979-） ，女，硕士，讲师，主要从事智能控制的研究，E-mail：liaoninglm@126.com。
第三期
李敏：小波阈值去噪中新的阈值函数的研究
177
e(k) 为方差 δ2 的高斯白噪声， 服从 N (0,1) 分布。对
其相应的反变换公式为
b f ( x) = Cφ 2 ∬ 2W f (a, b)φ a, b ( x) dad R a2 假设含噪声的一维信号 s(k) = f (k) + δ·e(k), k = 1,2,...., N
1 小波阈值去噪
若函数 φ( x) ∈ L2 (R) ， 其傅里叶变换为 φ(ω) ， 如果满足 允许条件［2］
ìsign ê T arctan m( W - T ) - Tú é ù |W j, k | ≥ T |W j, k | + 2π | j, k | ̂ j, k = ï W ë û í ï |W j, k | < T î0
信号 s(k) 进行离散小波变换后， 得到的小波系数
W s(k) 由真实信号系数 W f (k) 和噪声信号系数 W e(k) 组
1995 年， Donoho 和 Johnstone 提出基于小波的 阈值去噪方法［1］， 包括软阈值法和硬阈值法， 因为具 有简单高效的特点， 迅速得到应用和推广。但硬阈 值函数在阈值处不连续， 重构时会出现振荡现象， 软 阈值函数与真实值间总是存在偏差， 会模糊细节信 息。本文在研究软、 硬阈值函数的基础上， 针对软硬 阈值函数各自的缺陷， 提出了一种新的阈值函数， 该 函数在阈值处连续且可导 （大于阈值的范围内） ， 又 减小了偏差。实验证明该函数的可行性和优越性。 令
成。两种系数具有不同的特性， 随着尺度的增加， 噪 声信号系数的幅值将迅速衰减为零， 真实信号系数 的幅值基本保持不变。 Donoho 提出的小波阈值去噪法的基本思想［3］： 有用信号对应的小波系数包含有重要的信息， 其数 据较少， 幅值较大。而噪声对应的小波系数的分布 则遍布整个小波域内， 信号的小波系数模的绝对值 远大于噪声对应的小波系数， 于是可以通过设定适 当的门限阈值对小波系数进行取舍， 当小波系数小 于该阈值时， 认为是噪声引起的， 予以舍弃， 当小波 系数大于该阈值时， 认为是有用信号引起的， 则把这 些小波系数保留， 最后利用处理后的小波系数进行 小波重构， 得到去噪后的信号。 小波阈值去噪的过程一般分为 3 个步骤： 1） 对含噪信号进行小波变换 2） 确定阈值， 对各尺度下的高频小波系数利用
李敏
（辽宁石油化工大学 摘 信息与控制工程学院，抚顺 113001） 要：基于小波变换的阈值去噪算法，需采用阈值函数对小波系数进行非线性的处理。本文在分析了硬阈值函数和软阈
值函数各自特性的基础上，提出了一种新的阈值函数，该阈值函数克服了软、硬阈值函数的缺陷，连续、可导，且减小了 偏差，函数中调节因子 m 可以改变阈值函数的趋向，使阈值函数具有较大的灵活性。仿真结果表明新的阈值函数的可行性 及有效性。 关键词：小波变换，阈值去噪，阈值函数 中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1672-9870(2011)03-0176-03
理， 与真实值之间总是存在一定的偏差， 这将直接影 响重构信号与真实信号的逼近程度。 2.2 新的阈值函数的构造 使阈值函数在 ± T 处连续， 且 |W j, k | > | T | 时介于软、 硬阈值函数之间， 就能在一定程度上克服软、 硬阈值 函数的缺陷［5-7］。为此， 本文构造了新的阈值函数