第讲二期证券市场讲课教案

《金融经济学》第二讲
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经济学使高维空间普及化
“商品空间有实向量空 间结构这一事实是经济学 数学化成功的基本原因。”
－－G. Debreu 1983 年
诺贝尔经济奖演说
G. Debreu (1921-2004),
1983 年诺贝尔经济奖获得者
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金融学数学化成功的基本原因
▪ 模仿 Debreu 的警句，我们可以说：金融学数学 化成功的基本原因是：portfolio 与 linear combination 之间有对应关系。即证券组合的价 值等于证券价值的线性组合。
向量： 内积： 长度： 夹角余弦：
▪ 数学公理化方法把“同构”的东西看作（外延 上）“同样”的东西！
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基本假设
1. 未定权益空间 是一些方差有限的随机 变量形成的向量空间。
2. 如果对于任何 定义 为它们的内 积，那么 是Hilbert 空间。
3. 定价函数
为线性连续函数。
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《金融经济学》第二讲
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随机游走、布朗运动和鞅
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随机游走、布朗运动和鞅 (续)
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有效市场理论的先驱
▪ 这几个概念虽然都是后人提出的，但都 起源于 Bachelier 1900 年的论文，而其更 早的根源是 17 世纪的 Pascal-Fermat 的观 念。
▪ 在“二期模型”中，“一价定律”可形象地 表述为“将来（不确定）价值一样，现在 （确定）价值也一样”。
▪ “无套利机会”可形象地表述为“将来（不 确定）值钱（为正），现在（确定）也值钱 （为正）。
▪ 在存在无风险证券（钱）的模型中，“无套
利机会”一定能导出“一价定律”。因此，
“无套利机会”将意味着一种“正线性定价
▪ 上述“期权定价”是一种“相对定价”的方 法。其中没有涉及任何经济活动者的市场行 为。
▪ 考虑“经济者行为”的是“均衡定价论”。 这是一种“绝对定价”的方法。(见讲义中的 例子)
▪ 这些“定价理论”都不考虑信息的作用。
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二期资产定价模型
未来未定权益空间 定价
当前确定价值 (实数域)
▪ 从“定价”（“下赌注”）的角度来看，赌博 与金融资产一样，要确定“未来”价值不确定 的“赌局”的“当前”价值。
▪ 概率论最早的著作就是关于赌博的一些通信。
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概率论的早期历史
1654 年 Pascal 与 Fermat 的 五封通信，奠定概率论的 基础。他们当时考虑一个 掷骰子问题，开始形成数 学期望的概念，并以“输 赢的钱的数学期望”来为 赌博“定价”。
第二讲 二期证券市场的基本模型
和线性定价法则
从期权定价问题讲起
▪ 从我们上次最后提出的“期权定价问题”的 解法上我们可看出“数学公理化方法”的一 般步骤：1。提出模型 (二期、二状态、二证 券模型)；2。提出所依据的“公理”的具体 形式 (线性定价法则等)；3。根据“公理”， 提出问题，求解。
▪ 所求得的解答当然取决于“模型”和“公理” 两方面。
法则”。
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二期模型
未来未定权益线性空间
一价定律： 线性定价法则
定价
无套利机会： 正线性定价法则
当前确定价值 (实数域)
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进一步认识
▪ 1、2、3、4——一价定律（线形定价法则）：期权 定价之前的所有定价模型
▪ 5——无套利（正线形定价法则）：期权定价 ▪ 未定权益都有M中组合对应——”复制”(权益定义) ▪ “可交易的未定权益”——某些基本证券的线性组
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简单情形的模型
▪ 市场中只有 K 种证券，“未定权益空间” 就 是这 K 种证券的未来价格的各种线性组合所张 成的 (有限维) 空间。
▪ 定价函数就由这 K 种证券的当前价格的线性组 合来形成。但是为了保证能定价，必须要求 “未来价值一样的未定权益当前有一样的价值” (一价定律)。
▪ 为讨论“风险分解”，这个 同样需要引入内 积。
▪ 这一“对应关系”被当作“不证自明”的公理。
▪ 因此，“未来未定权益空间”首先形成一个线性 空间。这个线性空间可能是有限维的，也可以是 无限维的。
▪ 定价问题则是两个线性空间之间建立对应关系。
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最早的“金融资产定价”研究
▪ 历史上最早的“金融资产定价”研究紧密联系 着概率论的早期历史。当时研究的“金融资产” 就是赌博。
5. (正线性定价法则) 是正线性函数，即当
时，
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无套利假设五个层次的数学表达
（一般情形）
1. (可定价法则) 存在定价函数 2. (正齐次定价法则) 是正齐次函数，即对
于任何正实数 和实数 3. (齐次定价法则) 是齐次函数，即对于任
何实数 和实数 4. (线性定价法则) 是线性函数，即对于任
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Riesz 表示定理
▪ 定理指出， Hilbert 空间中的每一个连续线性 函数一定可用内积形式表示。
▪ 这一定理是 Hilbert 空间的正交分解定理的推 论。利用连续线性函数的“零空间”是一个 闭子空间，再对它作正交分解，那么这个闭 子空间的适当长度的“法向量”就是所求的 “内积向量”。
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金融资产定价理论的总思路
▪ 金融经济学的基本问题是在不确定市场环境 下对金融资产定价：已知金融资产未来可能 的价值，要定它的当前价值。
▪ 最早的解答是：p(x)=E[x],
▪ 后来的解答是： p(x)=E[mx].
▪ m 的根据是“无套利假设 (线性定价法则)”。
▪ 由此可导出
▪ 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. ▪ 结论：应该用数学期望来定价。
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Bachelier 的观念
▪ Pascal-Fermat 的观念被 Bachelier 用到证券市场 的定价上。
▪ 如果证券的未来价值是 随机变量 x, 那么其当前 价值就是 p(x)=E[x], 或 者 x=p(x)+, 其中 E[]=0.
Blaise Pascal (1623-1662)
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Pierre de Fermat (1601-1665)
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Pascal - Fermat 问题
▪ 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者 赢。有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无意再 赌下去，那么该怎样分割赌注？
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“模型”与“公理”
▪ “模型”的提出取决于工具。工具并非越艰深 越好，而应该以能否回答问题、解决问题为 原则。
▪ “公理”的提出取决于理念。在我们的讨论 中，理念就是“套利定价论”。
▪ 两者常常是同时考虑的。有时甚至很难严格 区分。
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“均衡定价论”的资产定价
合 ▪ 完全市场——都有组合对应，如果有线性定价法则
，等同于“第二种观点”
均值－方差分析
▪ Markowitz (1952) 首先提出把收益率看作随机 变量，并用它的均值（数学期望）来刻画 “收益”，用它的方差来刻画“风险”。这 个观点沿用至今。
▪ 有了这样的观念以后，利用随机变量可进行 线性运算，我们就可用来处理证券组合，其 中的“风险”可“分散”、“对冲”以至 “重新组合”。这是金融工程的核心。
▪ 这样的观念也成为有效市场理论的先驱； 不过后人发现：把上述价格序列代换为 价格的对数序列更符合实际。早期有效 市场理论就企图验证这样的结果。
பைடு நூலகம்
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时间价值和风险价值
▪ 上述观念的最大问题是不能解释证券的时间 价值和风险价值。
▪ 经过长时期的金融学研究，人们最后发现， 应该把 p(x)=E[x] 取代为 p(x)=E[mx]. 其中 m 称为随机折现因子。
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Poincaré、Einstein 和 Hilbert
Jules Henri Poincaré (1854-1912)
法国数学家、物理学 家、哲学家
Albert Einstein (18791955) 德国物理学家
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David Hilbert (1862-1943) 德国数学家
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“公理化”数学回顾
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“公理化”数学回顾（续）
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“公理化”数学回顾（续）
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“公理化”数学回顾（续）
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“公理化”数学回顾（续）
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“公理化”数学回顾（续）
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内积空间
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随机折现因子存在定理
▪ 由 Riesz 表示定理立即可得：在上述基本假
▪ 在金融学文献中，第 1 层次称为一价定律 （law of one price)，第 5 层次称为无套利 机会 (no arbitrage, absence of opportunity for arbitrage).
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“一价定律”的经典表述
▪ “一价定律”往往被看作经济学的“一般定 律”。
5. 未来值钱 (价值为正) 的组合，当前也值钱。 (远期套利)
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无套利假设五个层次的数学表达
(未来价值确定情形）
1. (可定价法则) 存在定价函数
2. (正齐次定价法则) 是正齐次函数，即对于 任何正实数 和实数
3. (齐次定价法则) 是齐次函数，即对于任何 实数 和实数
4. (线性定价法则) 是线性函数，即对于任何 实数 和
▪ 这是一个定义了向量的长度、向量间的夹角、 并且可以作极限运算的向量空间。
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Hilbert 空间的重要性质
▪ 正交性：两个向量正交是指它们的内积为零。 ▪ 正交分解：对于它的任何一个闭子空间，都
存在另一个闭子空间，使得它们正交，并且 每个向量可分解为这两个闭子空间中的向量 之和。同时，还有“勾股定理”成立。
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随机变量的均值和方差
▪ 任何一个随机变量 x 总可分解为它的均值和
随机波动两部分：
其中
是 x 的方差。
▪ 如果 差
是另一个随机变量，其方 , 那么它们的协方差为
其中
是它们的相关系数。
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随机变量与向量的比较
▪ 随机变量： ▪ 协方差： ▪ 标准差： ▪ 相关系数 ：
▪ 数学公理化的方法就是要把一些作为假设的 想法，用一个数学模型把它表达出来。
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无套利假设的五个层次
1. 未来价值一样的组合，当前应该有一样的 定价。
2. 组合的若干倍的当前价值应该等于该组合 的当前价值的同样倍数。
3. 组合的买价与卖价应该一致。
4. 组合的当前价值应该等于其组合成分的当 前价值之和。
何实数 和 5. (正线性定价法则) 是正线性函数，即当
时，
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关于“五个层次”的新认识
▪ 如果我们承认证券组合的价值等于证券价值 的线性组合，即如果我们承认“未定权益空 间为线性空间”，那么 2, 3, 4 层次将是第 1 层次的直接推论。
▪ 因此，更重要的是第 1 层次和第 5 层次。它 们的表述与线性结构无关。
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Euclid 空间和 Hilbert 空间
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Hilbert 空间的正交分解
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Riesz 表示定理
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Hilbert 空间
▪ Hilbert 空间是有限维向量空间的推广。它有 三个条件：1. 有向量空间的结构，即两个向 量可相加，一个向量可与实数相乘；2. 其上 定义了内积；3. 它满足完备性条件。
▪ m 也可看作对概率测度的一种变换，即在另 一种概率测度下，可以有 E*[x]=E[mx], 整个 理论又可回归到原来。
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无套利假设
▪ 解决金融资产定价问题的出发点是无套利假 设。
▪ 无套利假设的简单说法就是“无钱投入就无 钱产出”。它相当于在普通商品经济中的 “无投入就无产出”假设对金融商品的要求。
▪ Modigliani 和 Miller 在他们1958年的经典论文 中正是以此作为他们论述的出发点：“完善 (perfect) 市场”中 “互相完全可替代的两种 商品在均衡中必须都以同样的价格出售”。
▪ 正如我们前面所述，它意味着一种线性定价 法则。
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“一价定律”与“无套利机会”