概率论与数理统计课件：ch4-1 数学期望

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第三章 随机变量的数字特征
Chapter 3 Numerical Characteristics of Random Variable
§3.1 数学期望
Mathematical Expectation
教学要求 1.掌握常用分布的数学期望
Requests 2.会求随机变量函数的数学期望
主要内容
Contents
P(X
xi )
pi ,
i 1,2,
,
若级数 xi pi 绝对收敛，
xi pi 收敛
i 1
i 1
则称 xi pi 的值为随机变量X 的数学期望(均值)，
i 1
Mathematical Expectation (Mean)
记作 E X 即 E X xi pi
注
i
1)数学期望——描述随机变量取值的平均特征
The Mathematical Expectation of
Discrete Random Variable
例1 甲、乙两人射击训练，各射击100次，
成绩如下：
甲 8 9 10 次数 10 80 10
乙 8 9 10 次数 20 65 15
确定甲、乙哪个的射击水平好。 平均成绩
Probability and Statistics– Chapter4 Numerical Characteristics of Random Variable
引言
分布函数能完整地描述随机变量 的统计规律性, 但实际应用中并不都 需要知道分布函数，而只需知道随机 变量的某些特征.
例如：
判断棉花质量, 既看纤维的平均长度 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度. 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;
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2)不是每个随机变量都有数学期望
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数学期望
E X pi xi
i
随机变量X的数学期望是一个数, 不再是随机 变量.
数学期望是一种加权平均, 以所取值的概率作 权重的加权平均.
2
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
数 字
随机变量的平均取值 —— 数学期望
随机变量取值平均偏离均值
特
的情况—— 方差
征 描述两个随机变量间的关系
的数—— 协方差与相关系数
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甲 8 9 10 次数 10 80 10
乙 8 9 10 次数 20 65 15
解 甲的平均成绩
810 9 80 1010 8 10 9 80 10 10 9
100
100 100 100
乙的平均成绩
8 20 9 65 1015 8 20 9 65 10 15 8.95
100
100 100 100
甲的射击水平高于乙
注 数学期望(均值)= x1 p1+ x2 p2 + x3 p3 + …
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定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为
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第四章 随机变量的数字特征
Chapter 4 Numerical Characteristics of Random Variable
教学内容 Content
§3.1 数学期望 §3.2 方差 §3.3 协方差与相关系数 §3.4 大数定理与中心极限定理
Probability and Statistics– Chapter4 Numerical Characteristics of Random Variable
Probability and Statistics– Chapter4 Numerical Characteristics of Random Variable
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概率名人堂
费马
帕斯卡
Pierre de Fermat Blaise Pascal
(1601～1665 ) (通信) (1623～1662 )
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考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小.
由上面例子看到，与随机变量有关 的某些数值，虽不能完整地描述随机变 量, 但能清晰地描述其在某些方面的重 要特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
Probability and Statistics– Chapter4 Numerical Characteristics of Random Variable
问此时注金2a应如何分配给甲乙，才算公平？
1:1分显然不合理!
(1494年, 帕西奥利)
2:1分是否公平?
本质:什么是公平?
公平的比例? 要结果公平? 还是要机会公平?
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一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量的函数的数学期望 四、数学期望的性质
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一.离散型随机变量的数学期望
惠更斯
C. Huygens
(1629～1695 )
提出数学期望
追溯数学期望的历史: 分赌本问题
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经典历史名题: 分赌本问题
甲、乙两人赌博，各出注金a元。每局个人获 胜的概率都是50%，约定：谁先胜6局就赢得 全部注金 2a元，现进行到甲胜4局乙胜2局时 赌博因故停止，无法继续下去。