矩形谐振腔

TE
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Rs fc 2 b 1 ( ) f
2b f c 2 [1 ( ) ] a f
TM
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电磁场理论
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第九章 导行电磁波
9-5 矩形谐振腔
研究波导谐振腔的意义 在米波以上的微波波段，集总参数的LC谐振电路无法使用。
因为随着频率升高，必须减小 LC 谐振电路的电感量和电 容量，但是当 LC 很小时，分布参数的影响不可忽略。电容器 的引线电感、线圈之间以及器件之间的分布电容必须考虑。 随着频率升高，回路的电磁辐射效应显著，电容器中的
b a
g /2
x
把长度为d的空心金属波导两端用金属壁封闭，即可构成谐 振腔。封闭金属谐振腔也存在多种结构，例如，矩形谐振腔、 圆柱谐振腔、同轴谐振腔等，本节主要讨论矩形谐振腔。
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电磁场理论
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第九章 导行电磁波
矩形谐振腔
由于矩形波导中能够存在 TM 模和 TE 模，因此，在矩形谐振 腔中也会存在 TM 模和 TE 模。 不同于矩形波导，矩形谐振腔中波的传播方向可在 x、y 和 z 三个方向中选择，因此，矩形谐振腔中 TM 模和 TE 模的指定不是 惟一的。也就是说，谐振腔中不存在“纵向方向”。 为了讨论问题方便，通常把 z 方向选为参考传播方向。
j n m x n y p z E x ( x, y , z ) 2 H 0 cos( )sin( )sin( ) kc b a b d j m m x n y p z E y ( x, y , z ) 2 H 0 sin( )cos( )sin( ) kc a a b d
1 H x ( x, y , z ) 2 kc 1 H y ( x, y , z ) 2 kc m p m x n y p z H 0 sin( )cos( )cos( ) a d a b d n p m x n y p z H 0 cos( )sin( )cos( ) b d a b d
j H z Ex 2 k k z2 y
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Ey
j H z k 2 k z2 x
Ez 0
电磁场理论
第九章 导行电磁波
m n H z ( x, y, z ) cos( x ) cos( y )( D1e jk z z D2e jk z z ) a b Ex ( x, y,0) Ey ( x, y,0) 0 根据 z = 0 和 z = d 两个端面
Hx jk z H z k 2 k z2 x
jk z jk z z z
1 H z Hx 2 ( ) 2 k k z x z 1 H z Hy 2 ( ) 2 k k z y z
jk H z Hy 2 z 2 k k z y
第九章 导行电磁波
电磁场理论
第9章 导行电磁波 9-5 矩形谐振腔
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电磁场与电磁波
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第九章 导行电磁波
复习9-4 波导传输功率和损耗(1)
波导的传输功率 根据波导中电场强度和磁场强度的横向分量，计算出复坡印廷 矢量，将其实部沿波导横截面积分，即可得到波导的传输功率。
1 * 1 * * S ( E H )= ( e E H e E H 复坡印廷矢量 z y x x y z) 2 2
矩形波导
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矩形谐振腔
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第九章 导行电磁波
谐振腔与波导区别
波导的作用是传输电磁波，谐振腔的作用主要有：选择具 有特定频率的模式、产生或者放大电磁波。
在均匀连续波导中，电磁波在 z 方向呈行波状态，z 方向为 电磁波的实际传播方向；在谐振腔中，电磁波在 z = 0 和 z = d 两个金属面之间多次反射，电磁波呈驻波状态， z 方向为电磁 波的参考传播方向。
上电场强度的边界条件可得 D2 D1
Ex ( x, y, d ) Ey ( x, y, d ) 0 2 jD1 sin(kz d ) 0
p 0,1,2,...
kz d p ,
m n p H z ( x, y , z ) H 0 cos( x ) cos( y )sin( z) a b d
j m m x n y p z H y ( x, y , z ) 2 E0 cos( )sin( )cos( ) kc a a b d m 2 n 2 2 2 2 H z ( x, y, z) 0 kc k k z ( ) ( ) a b
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H0 2 jD1
可以得到与矩形谐振腔中的TM波类似的结论: 模式、驻 波、谐振频率、谐振波长。 不同之处在于TE波在谐振腔中最低模为TE101
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第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中TE模式的电磁波表达式为
H z ( x, y , z ) H 0 cos( m n p x) cos( y)sin( z) a b d
2 2 E0 E x 1 x x jkz z 2 0 TE10波 S ez sin ( ) ex j ( ) sin( ) cos( )e 2ZTE a a 2 a a 2 E0 2 x 能流密度 S sin ( ) 2 Re( S ) ez 2ZTE a 2 E0 2 x ez ds sin ( )ds 传输功率 P s S s 0 0 2Z a TE 2 E0 ab P 矩形波导主模TE10传输功率 2ZTE 2

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第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中TM模式的电磁波表达式为
m n p Ez ( x, y, z ) E0 sin( x)sin( y) cos( z) a b d
1 m p m x n y p z E x ( x, y , z ) 2 E0 cos( )sin( )sin( ) kc a d a b d
z
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第九章 导行电磁波
m n Ez ( x, y, z ) sin( x) sin( y )( C1e jkz z C2e jkz z ) a b
根据 z = 0 和 z = d 两个端面 上电场强度的边界条件可得
Ex ( x, y,0) Ey ( x, y,0) 0 Ex ( x, y, d ) Ey ( x, y, d ) 0
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第九章 导行电磁波
Ez ( x, y, z ) sin(
m n x) sin( y )( C1e jkz z C2e jkz z ) a b
jk z Ez Ex 2 k k z2 x jk z Ez Ey 2 k k z2 y
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第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中的TE波 对于TE模式，Ez = 0 ，新增加的边界条件为
Ex ( x, y,0) Ey ( x, y,0) 0
Ex ( x, y, d ) Ey ( x, y, d ) 0
m n H z ( x, y, z ) cos( x ) cos( y )( D1e jk z z D2e jk z z ) a b
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第九章 导行电磁波
Ez ( x, y, z ) E0 sin(
k
2 f
m n p x )sin( y ) cos( z) a b d p 2 2 kz kc2 kx ky d
2 2 c 2 z
m 2 n 2 p 2 k =k k =( ) ( ) ( ) a b d
jk z
1 Ez Ex 2 ( ) 2 k k z x z
z
jk z
1 Ez Ey 2 ( ) 2 k k z y z j Ez Hx 2 k k z2 y j Ez Hy 2 k k z2 x Hz 0
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E0 2C1
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第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中的TM波电场z向分量 m n p Ez (x, y, z ) E 0sin( x)sin( y )cos( )z a b d m, n, p : 整数 a, b, d : x, y, z 方向腔长 从上式可以看出，m 和 n 均不能等于零，否则，将得 到无意义的零解。p可以等于零。 m 、 n 和 p 取不同的值，可得不同模式的TM波，称为 TMmnp 模式。 由此可知，矩形谐振腔中TM波具有多模特性，小的 m 、 n 和 p 称为低次模式，大的 m 、 n 和 p 称为高次模式。由于 m 和 n 均不能为零，因此，矩形谐振腔中TM波的最低模式是TM110 模式。 对于矩形谐振腔，TM模式在 x、y 和 z 三个方向均为驻波。
对于由理想导体构成的矩形谐振腔，除了在 z = 0 和 z = d 处增加了新的边界条件外，其它方面与矩形波导相同。 由于电磁波在 z = 0 和 z = d 两个端面存在反射，z 方向电场 强度的表达式为 m n E z ( x, y , z ) sin( x )sin( y )(C1e jkz z C2e jk z z ) a b 上式中的常数 C1 和 C2 由边界条件确定。
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第九章 导行电磁波
复习9-4 波导传输功率和损耗(2)
(1) 波导中填充的介质引起的损耗； (2) 波导壁不是理想导体产生的损耗。
波导的传输损耗 1. 波导的传输损耗
Pl 衰减常数 2P
[ Np m ]
Pl 单位长度波导壁的功率损耗
P 单位长度波导壁的传输功率
C1e jkzd C2e jkzd 0
2 jC1 sin(kz d ) 0 p 0,1,2,...
C1 C2 0 C2 C1
kz d p ,
Ez ( x, y, z ) E0 sin(
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m n p x )sin( y ) cos( z) a b d
电磁波速度 1 c
由此可得矩形谐振腔TMmnp模式的谐振频率为
f mnp
c m 2 n 2 p 2 ( ) ( ) ( ) b d 2 2 a
k
ห้องสมุดไป่ตู้
矩形谐振腔TMmnp模式的谐振波长为 c 2 mnp f mnp m 2 n 2 p 2 ( ) ( ) ( ) a b d 可见，TM模式的谐振频率或谐振波长与谐振腔的尺寸及模 式有关，每组（ mnp）取值对应于一种模式。 电磁场理论 2018/11/19
介质损耗也随之增加，这些因素导致谐振电路的品质因素 Q 值显著下降。
在米波以上的微波波段，经常使用相应波段的传输线来构 成谐振器件。
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第九章 导行电磁波
y
d
为了得到一个高频下的谐振电路，通 常采用封闭的金属壳（将传输线短路）构 成谐振腔，电磁场被限制在金属壳的内部 z ，避免了电磁场向外辐射。
1 n p m x n y p z E y ( x, y , z ) 2 E0 sin( )cos( )sin( ) kc b d a b d H x ( x, y , z ) j n m x n y p z E sin( )cos( )cos( ) 0 2 kc b a b d
波导中存在“截止频率”，谐振腔中存在“谐振频率”。
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第九章 导行电磁波
矩形谐振腔中的TM波 对于TM模式，Hz = 0 ，新 增加的边界条件为：
Ex ( x, y,0) Ey ( x, y,0) 0
Ex ( x, y, d ) Ey ( x, y, d ) 0