广东省2017中考数学第二部分题型研究题型五圆的综合题试题

题型五 圆的综合题

针对演练

1. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，过圆心O 的直线垂直AB 于点D ，交⊙O 于点C 和点E ，连接AC 、BC 、OB ，cos ∠ACB ＝1

3

，延长OE 到点F ，使EF ＝2OE .

(1)求证：∠BOE ＝∠ACB ; (2)求⊙O 的半径；

(3)求证：BF 是⊙O 的切线．

第1题图

2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆外一点，连接AC 、 BC ，分别与⊙O 相交于点D 、点E ，且

AD DE

，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接BD 、DE 、AE .

(1)求证：DF 是⊙O 的切线；

(2)试判断△DEC 的形状，并说明理由；

(3)若⊙O 的半径为5，AC ＝12，求sin ∠EAB 的值．

第2题图

3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C 作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.

(1)求∠CDE的度数；

(2)求证：DF是⊙O的切线；

(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．

第3题图

4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC 于点D，过点E作直线l∥BC.

(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;

(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．

第4题图

5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，使CF∥BD.

(1)求证：BE＝CE；

(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．

第5题图

6. (2015省卷24，9分)⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.

(1)如图①，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；

(2)如图②，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；

(3)如图③，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.

第6题图

7. (2017原创)如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 和点D ，点E 为DC

的中点，

连接OE 交CD 于点F ，连接BE 交CD 于点G .

(1)求证：AB ＝AG ；

(2)若DG ＝DE ，求证：GB 2

＝GC ·GA ；

(3)在(2)的条件下，若tan D ＝3

4

，EG ＝10，求⊙O 的半径．

第7题图

8. (2015达州)在△ABC 的外接圆⊙O 中，△ABC 的外角平分线CD 交⊙O 于点D ，F 为AD

上一点，且

AF BC ，连接DF ，并延长DF 交BA 的延长线于点E .

(1)判断DB 与DA 的数量关系，并说明理由； (2)求证：△BCD ≌△AFD ；

(3)若∠ACM ＝120°，⊙O 的半径为5，DC ＝6，求DE 的长．

第8题图

9. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为点D .

(1)求证：△ACD ∽△ABC ； (2)求证：∠PCA ＝∠ABC ；

(3)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CG 于点F ，连接BE ，若sin P ＝3

5，CF ＝5，求BE

的长．

第9题图

10. (2016大庆9分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点M ，若H 是AC 的中点，连接MH.

(1)求证：MH 为⊙O 的切线；

(2)若MH ＝32，tan ∠ABC ＝3

4

，求⊙O 的半径；

(3)在(2)的条件下分别过点A 、B 作⊙O 的切线，两切线交于点D ，AD 与⊙O 相切于N

点，过N 点作NQ ⊥BC ，垂足为E ，且交⊙O 于Q 点，求线段NQ 的长度．

第10题图

11. 如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，∠PAC ＝∠B ，AD 为⊙O 的直径，过C 作CG ⊥AD 交AD 于E ，交AB 于F ，交⊙O 于G.

(1)判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

(2)求证：AG 2

＝AF ·AB ；

(3)若⊙O 的直径为10，AC ＝25，AB ＝45，求△AFG 的面积．

第11题图

12. (2016鄂州10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O .

(1)求证：AB 是⊙O 的切线；

(2)已知AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D ，tan D ＝12，求AE

AC 的值；

(3)在(2)的条件下，设⊙O 的半径为3，求AB 的长．

第12题图

【答案】

1．(1)证明：如解图，连接OA ，

第1题解图

∵CE ⊥AB ， ∴AD ＝BD ＝2，

AE BE ，

∴∠ACE ＝∠BCE ，∠AOE ＝∠BOE ， 又∵∠AOB ＝2∠ACB ， ∴∠BOE ＝∠ACB ； (2)解：∵cos ∠ACB ＝1

3，

∴cos ∠BOD ＝1

3

，

在Rt △BOD 中，设OD ＝x ，则OB ＝3x ，

∵OD 2＋BD 2＝OB 2

， ∴x 2

＋22

＝(3x )2

，解得x ＝22

， ∴OB ＝3x ＝32

2，

即⊙O 的半径为32

2；

(3)证明：∵FE ＝2OE ， ∴OF ＝3OE ＝92

2

，

∴OB OF ＝13， ∵OD OB ＝13

， ∴OB OF ＝OD OB

，

∵∠BOF ＝∠DOB ， ∴△OBF ∽△ODB ，

∴∠OBF ＝∠ODB ＝90°，即OB ⊥BF ， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BF 是⊙O 的切线．

2．(1)证明：如解图，连接DO ，交AE 于点G ，则DO ＝BO ，