一般非线性系统平衡点的稳定性

例 5.3.2 方程组
x y x x 2 y 2 ,
y x y x 2 y 2
其对应的线性系统 x y, y x 的平衡点是稳定的, 平 衡点 (0, 0) 是中心; 但系统的平衡点 (0,0) 的类型就变为 焦点. 而且其稳定性可以由方程组的高次项的改号而改变.
且满足 V xe 0, 称它为 xe 的 V 函数.
将系统的非定常解x=x(t) 代入V (x) , 后再对t求导得
n n dV V dxk V f k V f . dt k 1 xk dt k 1 xk
其中 是梯度算子.
V f , x U xe , V 0, x xe . 称其为 V 函数通过系统的全导数; 简称全导数.
定义 引理 5.3.1 如果微分方程的非定常解对应的正半轨 x(t) 位于 有界闭域F 中, 若有 V 函数 在 F 中有下(或上)界, 并且
V 0 , x F , 则 x t 的 极限集 非空，且
M ∶= y F V=0 .
稳定性与渐近稳定性定理 5.3.3 对于微分方程的平衡点 xe ,
其中对一切i>n 或 i<0, 规定 ai 0, 那么方程 (5.3.4) 的所有根 都有负实部当且仅当 n 的各阶主子式大于零.
推论 5.3.1 二次首一实系数多项式 2 a1 a2 的根都具有 负实部的充要条件是系数都大于零. 三次首一实系数多项式
3 a1 3 a2 a3 的根都具有负实部的充要条件是系数都大
(c) 当 v 0 时, 平衡点是稳定的但不是渐近稳定的.
不稳定性定理 5.3.4 对于微分方程的平衡点 xe , 如果存在V 函数满足条件: 如果 V 函数在去心邻域 U xe 上取正值的集合 中的某连通分支E 的闭包包含平衡点, 在 E 上 V 0, 并且集合
一般非线性系统平衡点的稳定性
主讲人：刘兴波
考虑一般定常系统 x f x 的平衡点的稳定性. 若有点
xe
使得 f xe 0, 则在相空间 R n 中点 xe 就是系统的
平衡点, 而 x xe 为它的定常解. 一、按线性近似决定非线性方程平衡点的稳定性 若函数向量 f x 在 xe 处连续可微, 则由Taylor 公式
a0 n a1 n1
a1 a3 n a2 n 3 0 a2 n 4 0 a2 n 5 0 an 1 an 2 0 an
an1 an 0,
a0 a2 0 a1 0 0 0 0 ,
5.3.4
其中 a0 0, 作 n 阶行列式（称为 Hurwitz 行列式）
由 (5.3.1) 即见它满足
h xe , xe 0,
x 0 xe
lim
h x, xe
x xe
0.
5.3.2
若记
f xe A, x
则 (5.3.1) 可写成 x Ax h x, xe , 5.3.3 我们称方程 x Ax 为 (5.3.3) 的线性近似方程或一次近似方程. 问题：当我们在研究 (5.3.3) 平衡点的稳定性时, 是否可以用研


如果存在V 函数满足条件,
(i) V x 0, x U xe , V xe 0;
ii V 0.
则方程的平衡点是稳定的;
这时，如果还有 (a) 若集合 M : x V 0 中不含除平衡点之外的整条轨道，则


平衡点是渐近稳定的.
(b) 若平衡点 的任一邻域 N 与 M 的交集中都含除平衡点之外 的整条轨道时. 平衡点是稳定的但不是渐近稳定的.
Байду номын сангаас
二、Liapunov 第二方法 本节我们只讨论定常系统 x f x 平衡点的稳定性. 我们假设
f xe 0, 且在包含平衡点的某区域 D上连续可微, 从而系统
在区域 D 上的解由初值所惟一确定. 以下都假设存在实值连续函数V (x)在去心邻域 U xe 上可微,
于零. 且 a1a2 a3 .
例 5.3.1 判别非线性方程组
x 2 x y z x 2e x , 3 2 y x y x y z , x 2 2 z x y z e y z
平衡点的稳定性.
解: 原方程的线性近似方程的特征方程为
究线性方程平衡点的稳定性来代替呢？
定理 5.3.1 在条件 (5.3.2) 下, 若特征方程 det I A 0 的根 均具有负实部, 则 (5.3.3) 的平衡点是渐近稳定的; 而当它的根
至少有一个具有正实部时, (5.3.3) 的平衡点是不稳定的.
注1: 应用定理 5.3.1 来判断方程 (5.3.3) 平衡点稳定性还有 一个困难, 这就是当系统的维数较大时, 特征多项式的次数较 大，很难知道它的特征值是否全具有负实部. 赫尔维兹定理 5.3.2 对于给定的常系数n 次代数方程
2 1 det A I 1 1 1 1 1 0 1 3 4 2 5 3 0,
于是由推论 5.3.1 即知所有特征值都有负实部, 再由定理 5.3.1 得出给定方程的平衡点是渐近稳定的. 注2. 关于特征方程 det I A 0 没有正实部但有零实部根 的情形, 不能用定理 5.3.1 进行讨论; 这是一种临界情况, 这时 不仅平衡点类型可能改变, 平衡点的稳定性也可能改变（受高 阶项的影响）.
f xe f x x xe h x, xe , x
5.3.1
f xe 是n维函数向量 f x 对n维向量x 的 x Jacobi 矩阵在 x xe 处的值, 而n 维函数向量
其中n 阶方阵
f xe h x, xe f x x xe , x