2010年上海高考数学理科(含答案)

绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理科类）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．不等式
042>+-x
x
的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；
3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；
4．行列式
6
cos
3
sin
6
sin 3
cos
π
π
π
π
的值为_________；
5．圆C ：04422
2
=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：
x
7
8 9 10 P （x =ξ） 0．3
0．35
0．2
0．15
则随机变量ξ的均值是__________；
7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网
站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。

8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。

9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，
则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。

10．在n 行n 列矩阵12321
234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪
⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭
中，记位于第i 行第j 列的数为
(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=______。

11．将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*
n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积
记为n S ，则lim n n S →∞
=___________。

12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿
OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；
13．如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：14
22
=-y x 的 渐近线交于21,E E 两点，记11e OE =，22e OE =。

任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、 b R ∈）
，则a 、b 满足的一个等式是___________。

14．以集合{}d c b a U ,,,= 的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）,U ∅都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ⊆或A B ⊆。

那么共有________种不同的选法。

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

考生必须在答题纸的相
应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15 “()24
x k k Z π
π=+∈”是“tan 1x =”成立的
（A ）充分不必要条件． （B ）必要不充分条件．
（C ）充分条件．
（D ）既不充分也不必要条件．
16．直线l 的参数方程是)(221R t t
y t
x ∈⎩⎨⎧-=+=，则l 的方向向量d 可以是
（A ）（2,1）． （B ）（1,2）． （C ）（1,2-） （D ）（2,
1-）
17．若0x 是方程31
)21(x x =的解，则0x 属于区间（A ）（1,32）． （B ）（32,21）． （C ）（2
1,31）
（D ）（3
1,
0） 18．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
5
1
,111,131[来源:则此人能 （A ）不能作出这样的三角形． （B ）作出一个锐角三角形． （C ）作出一个直角三角形． （D ） 作出一个钝角三角形．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写
出必要的步骤。

19．（本题满分12分）
已知02
x π
<<
，化简：2
lg(cos tan 12sin
))]lg(1sin 2)22
x x x x x π
⋅+-+--+=0 20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*
n N ∈
（1）证明：{}1n a -是等比数列；
A 1
A 2
A 3 A 4 A 5 A
6 A
7 A
8 B 1
B 2
B 3 B 4
B 5
B 6
B 7 B 8
（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由． （3）90)
6
5(751
-+=-n n n S 15=n 取得最小值
21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
（1）当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？ 并求出该最大值（结果精确到0．01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些 霓虹灯，当灯笼的底面半径为0．3米时，求图 中两根直线31B A 与53B A 所在异面直线所成 角的大小（结果用反三角函数表示）．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。

若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m ．
（1）若2
1x -比1远离0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22
a b ab +远离2ab
（3）已知函数()f x 的定义域⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎩⎨⎧+≠
=R x Z k k x x D ,,42π
π．任取x D ∈，()f x 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
已知椭圆Γ的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，点P 的坐标为（b a ,-）．
（1）若直角坐标平面上的点M 、)0,(),,0(a B b A -满足)(2
1
PB PA PM +=
，求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2
122b k k a
⋅=-，
证明：E 为CD 的中点；
（3）对于椭圆Γ上的点)0()sin ,cos (πθθθ<<b a Q ，如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2
P 满足PQ PP PP =+21，写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围．
参考答案
一、填空题：
1．【答案】{|42}x x -<<
解析：由20(2)(4)0424
x
x x x x ->⇒-+<⇒-<<+ 【命题立意】本题考查了分式不等式的求解问题, 考查分类思想方法的应用． 【解题思路】由204x x ->+可得2
04
x x -<+, 解之得42x -<<,
∴不等式
204
x
x ->+的解集是{|42}x x -<< 【易错点】分式不等式中字母系数为负时需要先变号为正, 否则解集将出现错误． 2．【答案】62i - 解析：因为12z i =-
，所以||z ==2||51262z z z z z i i ⋅+=+=+-=-
【命题立意】本题考查了复数的基本运算,属基础概念题型．
【解题思路】∵12z i =-, ∴(12)(12)(12)51262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-．
3．【答案】2
8y x = 解析：依题意可以P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点，22
p
x ==-
=-为准线的抛物线， 所以P 的轨迹方程为2
28,y px x ==P 的轨迹方程为2
8y x =
【命题立意】本题考查了抛物线的标准方程及抛物线的概念, 考查函数与方程思想． 【解题思路】∵动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等， ∴点P 的轨迹为抛物线, 其中F （2,0）为焦点, 直线20x +=为准线, 即22
p
=,解之得4p =,
其中对应的抛物线的标准方程为2
8y x =．
4．【答案】0
解析：
cos
sin 3
6
cos
cos
sin
sin
cos()03
6
3
636
sin
cos
3
6
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
=-=+=
【命题立意】本题考查了行列式及三角函数的二倍角公式, 属基础公式题型．
【解题思路】
cos
sin 3
6
cos
cos
sin
sin
cos()cos 03
6
3
6362
sin
cos
3
6
π
π
π
π
π
π
πππ
π
π
=-=+==．
5．【答案】3
解析：圆C 即为：22
(1)(2)1x y -+-=，其圆心(1,2)C ，由点到直线的距离公式可
得
3d =
=
【命题立意】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离,考查数形结合思想．
【解题思路】圆2
2
:2440C x y x y +--+=的圆心（1,2）到直线3440x y ++=的距离
|31424|
35
d ⨯+⨯+=
=．
6．【答案】8．2 解析： ()0.370.3580.290.15108.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
【命题立意】本题考查了离散型随机变量的分布列 及均值的计算问题，考查数据的统计与处理能力．
【解题思路】由概率分布率可得随机变量ξ的均值
为70.380.3590.2⨯+⨯+⨯100.158.2+⨯=． 7．【答案】S S a ←+ 解析：因为S 表示上海世博会官方网站在每个整点 报道的入园总人数 所以显然是累加起来的求和，故空白的执行框内应 填入：S S a ←+ 【命题立意】本题考查了算法的程序框图及算法流 程图,考查算法思想的应用． 【解题思路】S 的初始值为0, 每个整点时输入的人 数a 的值均需要累加到S 上, 则空白的执行框内应填入S S a ←+． 【易错点】对变量的错误认识, 在赋值框中的表达式容易出现填S T a ←+等错误． 8．【答案】(0,2)- 解析：方法一：求出反函数的解析式，由()log (3)33y y
a y f x x x a x a ==+⇒+=⇒=-
所以函数()log (3)a f x x =+的反函数的解析式为1
()3x f x a -=-，令0x =，可知与y 轴的交点坐
标是(0,2)-。

方法二：反函数的图像与y 轴的交点关于直线y x =对称的点即为原函数的图像与x 轴的交点，令
()log (3)02a f x x x =+=⇒=-，从而原函数与与x 轴的交点为(2,0)-，所以反函数的图像与y 轴
的交点坐标是(0,2)- 【命题立意】本题考查了函数与反函数的关系,考查函数与方程思想及数形结合思想． 【解题思路】函数3()log (3)f x x =+与x 轴的交点坐标为(2,0)-, 即(2)0f -=,
则1
(0)2f
-=-, 即得点(0,2)-在其反函数的图象上．
9．【答案】7
26
解析：基本事件总数为1
5252n C ==，事件A 的基本事件为1A m =，从而1
()52
P A =
，事件B 的基本事件为13B m =，所以13
()52
P B =
，又事件A 与B 是互斥事件 从而1137
()()()525226
P A B P A P B =+=+=。

【命题立意】本题考查了古典概型的计算问题, 考查分析问题与解决实际问题的能力．
【解题思路】52张中随机抽取2张共有2
52C 种方法, 其中事件A:抽得红桃K 只有1种方法,事件B:抽得黑桃有13种方法, 则概率为1137
()5226
P A
B +=
=
． 10．【答案】45
解析：可知这个数列的每一行，每一列，每一斜行的和均为12n ++
+，从而当9n =时，
1122339912945a a a a +++⋅⋅⋅+=++
+=
【命题立意】本题考查了数阵与数列的通项与数列的求和问题, 考查归纳猜想能力及统计能力．
【解题思路】由矩阵可得, 1122339913579246845a a a a +++⋅⋅⋅+=++++++++=．
11．【答案】1
解析：依题意可知2l 过点(1,0)A ，3l 过点(0,1)C ，又2l 与3l 的交点可由方程组
01
01n x nx y n n x ny n n y n ⎧
=
⎪+-=⎧⎪+⇒⎨⎨
+-=⎩⎪=
⎪+⎩
，
如图所示，设其为点(
,)11
n n
B n n ++，从而围成的封闭图形即为四边形OAB
C ，又OAC ∆的面积为
所以111112222121ABC
n S AC d n n ∆-=⨯=⨯=-++ 四边形OABC 的面积为2
11
n ABC OAB S S S n ∆∆=+=-+， 所以2
1)11
lim lim(n n n S n →∞
→∞
-
=+=
排版时请添加,x y 轴
【命题立意】本题考查了数列的极限计算及数列的通项的求解问题, 考查极限思想及分析问题与解决实际问题的能力．
【解题思路】由三条直线所围成的三角形
所表示的阴影部分如右图所示, 其面积
111
1(1)12211n n S n n n n =⨯⨯-⨯-=-
++, ∴1lim lim(1)11n n n S n →∞→∞=-=+．
【易错点】考生将n S 求出后,不是立即求该值的极限,而是想象成数列的通项,想方没法求该数列的前
n 项和,想去求该和的极限值,
属审题不清错误．
12． 解析：四面体是以DOC ∆
为底，OA
为高的三棱锥，11144334DOC V S OA ∆=
⨯=⨯⨯⨯⨯= 【命题立意】本题考查了平面图形的折叠及空间几何体的体积计算问题,考查空间想象能力．
【解题思路】由题意可得
,折叠后的几何体是底面为斜边长等于4的等腰直角三角形,高为
棱锥,
其体积11323
V =
⨯⨯=． 13．【答案】14
ab = 解析：依题意可知两渐近线方程为：20x y ±=
从而12(2,1),(2,1)E E -，所以12(2,1),(2,1)e e ==-
设点00(,)P x y ，则2
20014
x y -=，又由12OP ae be =+
从而有00(,)(2,1)(2,1)x y a b =+-，所以00
2()
x a b y a b =+⎧⎨=-⎩
代入2
20014
x y -=，得22()()141a b a b ab +--=⇒= 【命题立意】本题考查了双曲线的几何性质及平面向量的基本定理,考查数形结合及数据处理的能力．
【解题思路】设双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>,
由题意可得2222
5a b c +===, 且渐近线b y x a =
的斜率12
b a =,
解之得2,1a b ==, 即双曲线方程为2
214
x y -=,任取双曲线上一点的坐标为P （x ,y ）,
则由12(22,)OP ae be a b a b =+=+-可得22,,
x a b y a b =+⎧⎨=-⎩ 代入2
214x y -=可得22()()1a b a b +--=,即得1
4
ab =
．
【题眼】题中所给的向量关系实际上是曲线参数方程的另一种表示方式, 其通过向量展示了另一类轨迹的求解方式,值得很好去品味． 14．【答案】36 解析：依题意可知子集A 和B 可互换，即视为一种选法。

从而对子集A 分类讨论， （1）若A 是单元集或若A 是四元集，根据题意是选出4个不同的子集，所以不符合要求
（2）若A 是二元集，则A 有2
46C =种情况，此时B 相应的只有两种，共有12种选法， （3）若A 是三元集，则A 有3
44C =种情况，此时B 相应的只有6种，共有24种选法，
综上所述，共有122436+=。

【命题立意】本题考查了集合的子集及利用排列组合知识解决实际问题, 考查分析问题与解决实际问题的能力．
【解题思路】若其中一个集合为一元集（如{a }），则另一个集合必为含有该元素的二元或三元集,
这样的集合对共有31
4(22)24C -⨯=个; 若其中一个集合为二元集（如{a ,b }）, 则另一个集合必为含有该两个元素的三元集,这样的集合对共有22
4(22)12C -⨯=个,综上可得共有24+12=36种不同的
选法． 【易错点】题意的理解是一个难点,另外分类点较多也是制约思维的一个瓶颈． 二、选择题： 15．【答案】A
解析：()24
x k k Z π
π=+∈，可以得到tan 1x =，但是tan 1x =，则有()4
x k k Z π
π=+∈，不一
定有()24
x k k Z π
π=+∈。

所以是“充分不必要条件”
【命题立意】本题考查了三角函数的性质及充要条件, 考查逻辑推理能力． 【解题思路】当()24
x k k Z π
π=+∈时, tan 1x =; 当tan 1x =时,
()4
x k k Z π
π=+
∈,
∴“()24
x k k Z π
π=+
∈”是“tan 1x =”成立的充分不必要条件, 故应选
A ．
16．【答案】C
解析：依题意可以直线直线l 的一般方程为250x y +-=，直线的斜率为1
2
-，所以其中一个方向向量为（1,2-）
【命题立意】本题考查了直线的普通方程与参数方程的互化及直线的方向向量问题,考查函数与方程
思想．
【解题思路】直线l 的参数方程可化为普通方程为25x y +=,该直线的斜率为1
2
-
,则直线l 的方向向量可以是1(1,)2
λ-, 取2λ=-时, C 选择支中向量(2,1)-满足条件, 故应选C ． 17．【答案】C
解析：设1
31()2()x f x x =-，因为1(1)02
f =-<，1132
1()211()()022f -<=，11331(11()()0)323f ->=，
从而选C
【命题立意】本题考查了函数的零点及求方程的近似解问题, 考查函数与方程思想方法的应用．
【解题思路】设1
31()()2x f x x =-, 由(0)10f =>, 11
3
3111()()()0323
f =->,
1132111()()()0222f =-<,可得函数()f x 在区间11(,)32
上有一个零点, 即方程1
31()2x
x =的解011
(,)32
x ∈, 故应选
C ．
【易错点】上海市允许考生使用计算器, 但使用计算器的前提是将需要运算的代数式列出,即建立固定的函数模型． 18．【答案】D
解析：因为满足两边之和大于第三边，所以能够作出三角形，又因为222111
(
)()()13115
+<，故这个三角形是钝角三角形.
【命题立意】本题考查了解三角形及余弦定理的应用, 考查灵活选择公式解决实际问题的能力．
【解题思路】设三条高长度分别为
111
,,13115
对应的底边分别为a 、b 、c ,
根据面积相等可得111111
21321125
a b c ⨯=⨯=⨯, 则可得::13:11:5a b c =,
∴,a b c A B C >>>>, 且222222
51113cos 022511
b c a A bc +-+-=
=<⨯⨯,
∴△ABC 的内角A 为钝角,即△ABC 一定是钝角三角形,故应选 D ．
【题眼】利用三角形的高度及其与面积的关系,分析最大的边长,利用余弦定理判断对应角的余弦值,便可粗略判断该三角是锐角还是钝角三角形． 三、解答题
19．原式=lg （sin x +cos x ）+lg （cos x +sin x ）-lg （sin x +cos x ）2=0．
分
分分
原式解答120
x
2sin 1x 2sin 1lg 8sin2x 1)cosx sinx (lg
6)
x 2sin 1(lg )cosx sinx (lg )cos sinx (lg :][2
=++=++=+-+++=
20．（1）当n=`1时,8551111--==a S a , 解得151a ,1411-=--=则a ． 当n ,85a 5)1-n (,21-n 1-n --=≥S 时
,a 5a 51a 1-n n 1n n n +-=-=∴-S S
),1a (6
5
1a ,1a 5a 61-n n 1-n n -=
-+=∴即 ……．4分 .6
5
,15}1a {n 的等比数列公比为是首项为--∴ (5)
（2）,)6
5(1511
-⋅-=-n n a
,906575856515151
1-⎪⎭⎫
⎝⎛⋅+=-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=∴--n n n n n S ……8分
,065151a ,2n 1
-n n 1
-n n >⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅-==-≥S S 设时当 …… 10分
.
,16n ;,15n 2.
85.151151
log n ,165151-n n 1-n n 6
5
1
-n S S S S >≥<≤≤≈+><⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅时当时当解得即
n S =15
75()906
n n -+- n=15取得最小值 ………13分
（1） 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以15
1(1)6
n n a a --=-，
又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；
（2） 由（1）知：1
51156n n a -⎛⎫
-=-⋅ ⎪
⎝⎭
，得1
51156n n a -⎛⎫
=-⋅ ⎪
⎝⎭
，从而1
575906n n S n -⎛⎫
=⋅+- ⎪
⎝⎭
（n ∈N*）；
解不等式S n <S n +1，得1
5265n -⎛⎫
<
⎪
⎝⎭
，56
2log 114.925n >+≈，当n ≥15时，数列{S n }单调递增； 同理可得，当n ≤15时，数列{S n }单调递减；故当n =15时，S n 取得最小值． 21．)1(
分
平方米π时米当半径分
其中ππππ即由题意可知设圆柱的的高为5)
(51.148.0,)(4.0r 36.0r 0],16.0)4.0r ([3)
r 34.2(r r rh 2S 1.2
h 2r 9.62h)4(4r ,,h max 22 ≈==∴<<+--=-=+==+=+S
（2）当r=0．3时,由2r+h=1．2,解得圆柱的高h=0．6（米） 如图所示,以直线轴，、、及圆柱的轴为、z x 5173y A A A A 建立空间直角坐标系,则有
()(),6.0,0,3.0,0,3.0,031B A - ()(),6.0,3.0,0,0,0,3.053B A
()(),6.0,3.0,3.0,6.0,3.0,3.05331-==→
→B A B A ……．．10分
异面直线有所成角、α5331B A B A
(
)
3
2
36
.009.009.036.0cos 2
=
++=
α
3
2
arccos 5331大小为所在异面直线所成角的、两根霓虹灯B A B A ∴ ……．
．13分 （1） 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1．2-2r （0<r <0．6），S =-3π（r -0．4）2+0．48π，
所以当r =0．4时，S 取得最大值约为1．51平方米；
（2） 当r =0．3时，l =0．6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-，35(0.3,0.3,0.6)A B =--， 设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352
cos 3
||||
A B A B A B A B θ⋅=
=⋅， 所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为2
arccos 3
．
22．（1）由题意得|x 1|12
>-, x 11x 11
2
2>--<
-或,
即
的取值范围是或x ,2x 0x
22
∴><（-∞+∞） ……．3分 （2）当a 、b 是不相等的正数时, ,0)()()(22233>+-=+-+b a b a ab b a b a
又0ab ab 2ab b a b a ,22
23322>>+>+-+则ab ab ab b a
于是,,ab ab 2ab b a ab ab 2b a 2
233-+>-+
比33b a +∴22ab b a +远离ab ab 2． …………8分
（3）若|sinx|>|cosx|,即02cos ,cos sin 2
2<>x x x , );k (4
3x 4k ,23k 2x 222Z k ∈<<++<<+
π
ππππππ 同理,若|cosx|>|sinx|,则().k 45k x 43k Z ∈+<<+π
πππ
于是．函数f （x ）的解析式是
F （x ）= ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+<<+∈+<<+Z)(k 45k x 43k cosx ,Z)(k 4
3k x 4k ,sin ππππ ππππ x (11)
函数f （x ）的最小正周期T=2π． ………12分
函数f （x ）是非奇非偶函数, (13)
当x=2k π或x=2k π+()Z ∈k ,2π
,函数f （x ）取得最大值1
当x=2k π+π或x=2k π+()Z ∈k ,2
3π
,函数f （x ）取得最大值-1 (15)
函数f （x ）在区间,45k 2,k 2,2k 2,42⎪⎭
⎫⎢⎣⎡++⎥⎦⎤ ⎝⎛++
ππππππππk
().k 23k 2,45k 2,k 2,43k 2,
43k 2,2k 2,4k 2,k 2;)k (,2k 2,47k 2,47k 2,232上单调递减πππππππππππππππ在区间上单调递增ππππππππZ Z k ∈⎥⎦⎤ ⎝
⎛
++⎥⎦⎤ ⎝⎛++⎪⎭
⎫⎢⎣⎡++⎪⎭⎫⎢⎣⎡
+∈⎥⎦
⎤
⎝⎛++⎪⎭⎫⎢⎣⎡++ ………．．18分 （1）
(,( 2.)x ∈-∞+∞；
（2）
对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b
+>222a b ab
+>，
因为33222|2|2()()0a b a b ab a b a b +--+-=
+->，
所以3322|2|2a b a b ab +->+-，即a 3+b 3比a
2b +ab 2远离2
（3） 3sin ,(,)44
()cos ,(,)
44
x x k k f x x x k k ππππππππ⎧
∈++⎪⎪=⎨⎪∈-+⎪⎩，
性质：1︒f （x ）是偶函数，图像关于y 轴对称，2︒f （x ）是周期函数，最小正周期2
T π
=，
3︒函数f （x ）在区间(
,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224
k k πππ
+单调递减，k ∈Z ， 4︒
函数f （x ）的值域为．
23．（1）设点M 的坐标为(),y ,x 00由题意可知
),b 2,0(),b ,a (-=-=→
→AB AQ
()
.
2b ,2a ,23,2)(2100⎪⎭
⎫
⎝⎛-∴-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=+=∴→
→→
的坐标为点M b y x b a AB AQ AM (4)
（2） 由0b a p a px k a 2x )k a b (,
1b y a
x ,p x k y 22221222
12222221=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=得,
.k a b p b ,k a b p k a 21222212212⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++-∴中点坐标为CD (7)
.k a b k ,a b k k 1
22
22221-=∴-=⋅
由,k a b p b ,k a b p k a l l ,
x k a b y ,p x k y 21222212212
21122
1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++-⎪⎩⎪⎨⎧-=+=的坐标为的交点与得E .l l 21的中点为的交点与CD E ∴ ……．10分 分的中点取第一步11;
2sin ,2cos :)3( ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-b b a a R PQ θθ
两点。

、于的直线交作斜率为过点第二步21)
sin 1()
1(cos :P P a b R Γ+--
θθ 分
是平行四边形，有
的中点，则是）可知，由（132212121 →
→
→
=+PQ PP PP QP PP P P R ,4)1(cos 12cos 2sin ,2cos 2
222
1⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡--=Γ-=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-θθθθb y a
a x
b b a a R P P 的方程，得带入椭圆将必须在椭圆内两点存在，则点点、要使
在椭圆内时，点当且仅当R b b ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--<+4)1(cos 14)1(sin 2222θθ
分
又亦即 分
即整理得18.
4
2
arcsin 40,
0,4
2
)4sin(16,
1cos 2sin 24)1(cos )sin 1(22 +<<∴<<<-<-<-++πθπθπθθθθθ
（1） (,)22
a b
M -；
（2） 由方程组122221
y k x p x y a
b =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，
因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，
设C （x 1,y 1）、D （x 2,y 2），CD 中点坐标为（x 0,y 0）， 则2121022212
01022212x x a k p
x a k b b p
y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪
⎨⎪=+=⎪+⎩
， 由方程组12
y k x p
y k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程（k 2-k 1）x =p ，
又因为2
221b k a k =-，所以210222211
2
202221
a k p p
x x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；
（3） 求作点P 1、P 2的步骤：1︒求出PQ 的中点(1cos )(1sin )
(,)22
a b E θθ-+-， 2︒求出直线OE 的斜率2(1sin )
(1cos )
b k a θθ+=-
-，
3︒由12PP PP PQ +=知E 为CD 的中点，根据（2）可得CD 的斜率212
2(1cos )
(1sin )
b b k a k a θθ-=-=+， 4︒从而得直线CD 的方程：(1sin )(1cos )(1cos )
()2(1sin )2
b b a y x a θθθθ+---
=++， 5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P 1、P 2的坐标．
欲使P 1、P 2存在，必须点E 在椭圆内，
所以22(1cos )(1sin )144θθ-++<，化简得1sin cos 2
θθ-<
，sin()4πθ- 又0<θ <π，即3444
πππ
θ-<-<
，所以44ππθ-<-<，
故θ 的取值范围是(0,4
π
+． 全卷分析：
【试卷亮点】2010上海卷试题多为教材中习题改编而来, 这些源于教材，又不同于教材的题目，其灵活性及创新性远远脱离教材．整份试卷展示了数学高考的理性思维，它要求考生在问题解决中，运用所学的基本知识和基本概念，会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，会正确而简明地表述推理过程．
【复习使用指导】尽管试题体现了一定的能力要求，但落脚点都在基础知识上,因此考生在复习过程中仍然应当注重基础知识点的强化复习力度,特别是教材的习题及其改编的资料中的试题．。