结构化学作业解答(第二章)

2 2 E = ∑ ci2 Ei = c12 E1 + c2 E2 + c3 E3 i
1 1 1 2 2 = c12 − 13.6 × 2 eV + c2 − 13.6 × 2 eV + c3 − 13.6 × 2 eV 2 2 3 13.6 2 2 13.9 2 =− c1 + c2 eV − c3 eV 4 9
(1.6022 ×10
kg × 5.2917 ×10 m
−19
(
J ⋅s
)
2 −11
)
)
2
2
∂ 1 ∂2 3 h 1 ∂ M 2 ψ 1 s = − πa0 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ 2π sin θ ∂θ = 0ψ 1s
结果与Be的常见氧化态联系起来。
[解]：
(4 − 0.85 × 2 − 0.35)2 (4 − 0.85 × 2)2 = 7.871eV I1 = − − 13.595eV × ×2− 2 2 2 2 (4 − 0.85 × 2)2 = 17.98eV I 2 = − − 13.595eV × 22 I 3 = − − 13.595eV × (4 − 0.3) × 2 − 16 = 154.8eV
^
(r = a0 )
∂2 1 ∂ e2 2 r ψ 1s + r 2 2 ψ 1s − =− 2 2 4πε r ψ 1s 8π m r ∂r ∂r 0 1 5 − r 1 7 − r 2 − − − − h 1 e2 a0 a0 =− 2 − 2rπ 2 a0 2 e + r 2π 2 a0 2 e − ψ 2 4πε 0 r 1s 8π m r h 2 (r − 2a0 ) h2 e2 e2 = − − ψ 1s = 2 2 − ψ 1s 2 2 4πε 0 r 8π mra0 8π ma0 4πε 0 a0 h2
2
[
I 4 = − − 13.595eV × 4 2 = 217.5eV
[
(
]
)]
n2 [2.18] 用式 r * = * a0 计算Na原子和F原子的3s和2p轨道的 Z 有效半径r*。
[解]：
Na原子基态为(1s)2(2s)2(2p)6(3s)1 Z*(3s)=11-1.0×2-0.85 ×8=2.2 Z*(2p)=11-0.85 ×2-0.35 ×7=6.85 代入计算公式得: r*(3s)=(32/2.2) × a0=4.1a0 r*(2p)=(22/6.85) × a0=0.58a0 F原子基态为(1s)2(2s)2(2p)5 Z*(3s)=9-1.0×2-0.85 ×7=1.05 Z*(2p)=9-0.85 ×2-0.35 ×6=5.2 代入计算公式得: r*(3s)=(32/1.05) × a0=8.6a0 r*(2p)=(22/5.2) × a0=0.77a0
所以：
h2 e2 E1 = 2 2 − 8π ma0 4πε 0 a0 = 8 × π × 9.1095 × 10
2
(6.6262 ×10
−31
−34
C − 4π × 8.8542 × 10 −12 C 2 ⋅ J −1 ⋅ m −1 × 5.2917 × 10 −11 m = 2.184 ×10 −18 J − 4.363 ×10 −18 J = −2.18 × 10 −18 J
5 2
r − 1 4 a0 r e = 5 24a0
2
[2.10] 对氢原子 ， ψ=c1 ψ210+c2 ψ211+c3 ψ31-1 ， 所有波函 对氢原子， 数都已归一化。请对ψ所描述的状态计算 所描述的状态计算： 数都已归一化。请对 所描述的状态计算： （a）能量平均值及能量为-3.4eV出现的概率； ）能量平均值及能量为 出现的概率； 出现的概率 出现的概率； （b）角动量平均值及角动量为 ）角动量平均值及角动量为1.414h/2π出现的概率； 出现的概率 轴上的分量的平均值及角动量z轴分量 （c）角动量在 轴上的分量的平均值及角动量 轴分量 ）角动量在z轴上的分量的平均值及角动量 轴分量h/π 出现的概率。 出现的概率。 [解]：（a）能量平均值 解： ）
[2.9]已知氢原子的 已知氢原子的
ψ 2p
z
r r exp − = cos θ 3 a 4 2πa0 0 2 a0 1
试回答下列问题: 试回答下列问题 (a) 原子轨道能 原子轨道能E=? (b) 轨道角动量 轨道角动量|M|=？轨道磁矩 ？轨道磁矩|µ|=？ ？ (c) 轨道角动量 和z轴的夹角是多少度？ 轨道角动量M和 轴的夹角是多少度 轴的夹角是多少度？ (d) 列出计算电子离核平均距离的公式。 列出计算电子离核平均距离的公式。 (e) 节面的个数、位置和形状怎样？ 节面的个数、位置和形状怎样？ (f) 概率密度极大值的位置在何处？ 概率密度极大值的位置在何处？ (g) 画出径向分布示意图。 画出径向分布示意图。 [解] （a）原子轨道能为： = −2.18 × 10 −18 J × E
2 1
l1 (l1 + 1)
(
)
(
)
M z = ∑ ci M zi
i
h h h 2 2 + c2 m2 + c3 m3 2π 2π 2π h h 2 2 2 2 = c12 × 0 + c2 × 1 + c3 × (− 1) = c2 − c3 2π 2π = c12 m1
[
]
(
)
角动量z轴分量 出现的概率为 角动量 轴分量h/π出现的概率为 。 轴分量 出现的概率为0。
D1s在r=a0处有极大值，a0称为H原子的最可几半径，也常成为 玻源自文库半径。核电荷为Z的单电子“原子”，1s态最可几半径 为a0/Z。 两种图形的不同的原因是其物理意义不同，一个是电子在空间 某点出现的概率密度，另一个是在两个球壳内找到电子的概 率。
[2.13] 计算其激发态 计算其激发态(2s)1(2p)1的轨道角动量和磁矩。 的轨道角动量和磁矩。 [解]：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）Ⅲ（本征函数， 应用量子力学基本假设Ⅱ 算符） 应用量子力学基本假设 本征函数， 本征值和本征方程）， ），得 本征值和本征方程），得：
[2.5]计算氢原子的基态波函数在r=a0和r=2a0处的比值。 计算氢原子的基态波函数在r=a 处的比值。 计算氢原子的基态波函数在 [解] 氢原子基态波函数为：
Ψ1s = 1 1 a e π 0
3 2 − r a0
该函数在r=a0和r=2a0两处的比值 两处的比值为：
^ 2
( )
−1 / 2
e − r / a0
所以 :
M2 =0 M =0
（b）对氢原子， V ∝ r
−1
，故：
1 T =− V 2 1 1 E1s = T + V = − V + V = V 2 2 V = 2 E1s = 2 × (− 13.6eV ) = −27.2eV 1 1 T = − V = − × (− 27.2eV ) = 13.6eV 2 2
θ = 0o ,
θ = 180o
r 1 r 2 − r − dρ d 1 r a0 a0 e = = re 2 − = 0 3 5 dr dr 32πa0 a0 32πa0 a0
r = 2a0
d 2ρ dr 2
<0
r = 2 a0 2 2a
0 1 2 a0 − a 0 e−2 e = = 36.4nm −3 ρm = 3 3 32πa0 a0 8πa0
（g）
D2 p z
r 1 1 − 2 a0 re = r 2R2 = r 2 2 6 a0
z
（d） r = ψ
∫
* 2 PZ
r ψ 2 p z dτ = ∫
z
^
∞
0
∫∫
0
π
0
（e）n-1=2-1=1，令 ψ 2 p = 0, （f）概率密度为：ρ = ψ 2 2 pz
θ = 90o
2 r
∂ψ = −k sin θ = 0, ∂θ
1 r − a0 e cos 2 θ = 3 32πa0 a0
[2.19] 写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：（ ） 写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：（ ：（a） Si；（ ）Mn；（ ）Br；（ ）Nb；（ ）Ni。 ；（b） ；（ ；（c） ；（ ；（d） ；（ ；（e） 。 ；（
(
)
2 c12 + c2 2 = c12 + c2 能量-3.4eV出现的概率为： 2 出现的概率为： 能量 出现的概率为 2 2 c1 + c2 + c3
（b）
2 2 M = ∑ ci2 M i = c12 M 1 + c2 M 2 + c3 M 3 i
h 2 (l2 + 1) h + c32 l3 (l3 + 1) h =c + c2 l 2 2π 2π 2π h h h 2 2 = c12 1(1 + 1) + c2 1(1 + 1) + c3 1(1 + 1) 2π 2π 2π 2h 2 2 2 = c1 + c2 + c3 2π 2 2 c12 + c2 + c3 = 1 角动量为1.414h/2π出现的概率为 角动量为 出现的概率为 （c） 2
( )
1 3 −2 0
r exp − a0
（a）利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量； ）利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量； （b）利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。 ）利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。
h2 1 ∂ 2 ∂ e2 [解] （a） H ψ 1S = − r − ψ 1s 2 2 8π m r ∂r ∂r 4πε 0 r h2 1 ∂ 2 ∂ e2 =− 2 ψ 1s r ψ 1s − 2 8π m r ∂r ∂r 4πε 0 r
h h （b ）轨道角动量为： M = l (l + 1) = 2 2π 2π
轨道磁矩为：
1 = −5.45 × 10 −19 J 22
µ = l (l + 1)β e = 2 β e
（c）
h 0⋅ Mz 2π = 0 cos θ = = h M 2⋅ 2π
θ = 90 °
2π 2 ψ 2 p r ⋅ r 2 sin θdrdθdϕ
e e −1 = − 2 = e ≈ 2.71828 3/ 2 2 a0 − e 1 1 a0 e π a0
−
1 1 π a0
3/ 2
a0 a0
[2.8] 已知氢原子的归一化基态波函数为： 已知氢原子的归一化基态波函数为：
Ψ1s = πa
He原子激发态 激发态(2s)1(2p)1角动量加和后 角动量加和后L=1，故轨道角动量和 激发态 角动量加和后 ， 轨道磁矩分别为： 轨道磁矩分别为：
h h M L = L(L + 1) = 2 2π 2π µ = L(L + 1)β e = 2 β e
[2.17] 用slater法计算Be原子的第一到第四电离能,将计算
[2-11] 作氢原子的ψ21s-r图及D1s-r图，证明D1s极大值在 r=a0处，并说明两种图形不同的原因。 解：氢原子的： 1 − r
3 ψ 1s = (πa0 ) 2 e − a0
ψ 12s = (πa
2r −1 − a 3 0 0
)
e
− D1s = 4πr 2ψ 12s = 4a0 3 r 2 e
−
2r a0
d 令 D1s = 0 dr 2r 2 − 2r − −3 2 − 2 r d 2r a0 a0 −3 4 a0 r e = 4a0 2re − e a0 dr a0 = 8a re
−3 0 − 2r a0
r 1 − = 0 a 0