余弦定理(优秀课件)

地 理
︰6 ︰
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第二章 解三角形
人
教 版 解析：在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据
必 修
已知条件判断最小边应为
a.
一 ∵a ︰b ︰c＝ ︰ 6 ︰( 3＋1)，
新
课 可设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)，
标
最小角为角 A，由余弦定理得
地
理
人
教 版
由正弦定理知，AC＝2rsinB，
必 修 一
∴r＝2sAiCnB≈2.5(km)．
新 课
由余弦定理知，cos∠OBC＝r2＋2BrBCC2－r2＝0.74，
标
∴∠OBC≈42°.
地
理
故医院应建在△ABC 的内部的点 O 处，使 OB 约
为 2.5 km，且∠OBC 约为 42°.
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已知两边及夹角求⑱________，由三角形全等的判定定理
知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．
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第二章 解三角形
人
教 答案：
版
必 ①其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的
修
一积的两倍 ②b2＋c2－2bccosA源自文库③c2＋a2－2cacosB
新 课 标
④a2＋b2－2abcosC ⑤b2＋2cb2c－a2 ⑥c2＋2ac2a－b2
∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2，
∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
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第二章 解三角形
人
教 版
当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
必
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．
修
一
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
新
解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得
课 标
故 AB＝20 3×12＝10 3，BC＝20×12＝10.
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第二章 解三角形
人
教 版 必
由正弦定理得sin∠ABACB＝sin∠BCBAC，
修 一 新 课
即
10× sin∠BAC＝ 10
3
2 3
＝12，
标
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
地 理
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
修
一
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，
新 课
故 cosA＝－12，A＝120°.
标
(2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC. 地
理
又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝12.
因为 0°<B<90°，0°<C<90°，故 B＝C.
所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
人
教
版 必 修 一
sinA＝asicnC＝asinc15°＝2×6－6－4 2
2 ＝12，
新 课
∵b>a，sinA＝12，∴A＝30°.
标
∴B＝180°－A－C＝135°.
地
理
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第二章 解三角形
人
教 版
[ 变 式 训 练 2] 如 图 ， 已 知 AD 为
必 △ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
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第二章 解三角形
人
教
版
必 修
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
一 新
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
课
标
(1)求∠A(用角度制表示)；
第二章 解三角形
人
教 版
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得
必 修 一
a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2，
新
得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
课
标
a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2
地 －b2)＝0. 理
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第二章 解三角形
人
教
版
必
[例4] (数学与日常生活)如图，某市三个新兴工业小
修 一
区A、B、C决定平均投资共同建一个中心医院O，使得医院
新 到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别 课 为AB＝4.3 km，BC＝3.7 km，AC＝4.7 km，问该医院应建 标
第二章 解三角形
人
教 版
[变式训练 4] 如图，甲船在 A 处发现了乙船在北偏东
必 修
45°与
A
的距离为
10
海里的
C
处，正以
20
海里/时的速度向
一 南偏东 75°的方向航行，已知甲船速度是 20 3海里/时．问：
新 课
甲船沿什么方向，用多少时间才能与乙船相遇？
标
地 理
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必 别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
修 一
(1)求A的大小；
新
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
课
标
地 理
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第二章 解三角形
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人
教
解析：(1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝
版 必 (2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc.
2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.
又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，
地 理
故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
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第二章 解三角形
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教 版
[变式训练3] (2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分
新 值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在 课 (0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角 标
的余弦值，可以避免分类讨论. 地 理
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第二章 解三角形
人 教 版 必 修 一
新 课
[例 1] 在△ABC 中，如果 a ︰b ︰c＝ ：
标 ( 3＋1)，求这个三角形的最小角．
课 标
解析：依题意，O 是△ABC 外接圆的圆心，设半径为 r km.
地 理
∵cosB＝AB2＋2ABBC·B2－C AC2＝4.322×＋43..37×2－3.47.72≈0.3171，
∴△ABC 为锐角三角形，
sinB＝ 1－cos2B≈0.9484.
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第二章 解三角形
在何处？(精确到0.1 km或1°) 地 理
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第二章 解三角形
人
教 版
分析：实际问题的解决，应首先根据题意转化为三角
必 形模型，从而运用正、余弦定理解决，要注意题中给出的
修 一 已知条件．本题实际上是在△ABC中，求△ABC的外接圆的
新 半径OB及OB与边BC的夹角．
教 版
二、余弦定理的应用
必
利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：
修 一
1．已知三边，求⑪________.
新
2 ． 已 知 两 边 和 它 们 的 夹 角 ， 求 ⑫ ________ 和 ⑬
课 ________. 标
地 理
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第二章 解三角形
人
教 版
友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四点：
3 3.
∴A＝arccos
3 3.
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第二章 解三角形
人
教
版
必
先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦
修 一
定理求出其他两个角．
新
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝
课 求角A、B和边c的值． 标
，C＝15°，
地 理
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第二章 解三角形
新 令C＝90°，则c2＝a2＋b2.
课
(2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A为⑧________角，
标
反之亦成立；若a2＝b2＋c2，则A为⑨________角，反之亦
地 理
成立；若a2>b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．
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第二章 解三角形
人
或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两 边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．
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第二章 解三角形
人
教 版
特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角
必 形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值一般对应
修 一
两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦
修 一
(y－185)(y－98)＝0，
新 课 标
∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
地 理
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第二章 解三角形
人
教
版
必
[例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角
修 一
形的形状．
新 课 标
地 理
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修 一
AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．
新
分析：由余弦定理可解三角形ABC，
课 求出BC长度；由三角形内角平分线定理 标
可 求 出 BD长， 再 解△ABD即可求出 AD
地 理
长．
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第二章 解三角形
人
教 版
解析：在△ABC中，由余弦定理：
必
BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 － 2AB·AC·cos∠BAC ＝ 32 ＋ 52 －
地 理
(2)当 a＝ 3，△ABC 的面积 S＝ 23时，求 b 和∠B.
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第二章 解三角形
人
教 版
分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各角的一个
必 关系式，化简之后便可求出∠A；(2)分别利用三角形面积公
第二章 解三角形
人 教 版 必 修 一
新
1．2 余弦定理
课
标
地 理
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第二章 解三角形
人
教
版
必
修 一
一、余弦定理
新
1．三角形任何一边的平方等于①________，即a2＝②
课 ________，b2＝③________，c2＝④________. 标
2．余弦定理的推论：
必
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，
修 一
是解三角形的重要工具；
新
(2) 余 弦 定 理 是 ⑭ ________ 的 推 广 ， 勾 股 定 理 是 ⑮
课 ________的特例； 标
(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方
地 理
程的观点，可以⑯________；
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求⑰________，或
人
教 版 必
解析：cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2 .
修 一
由余弦定理知
新
c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝
课 标
8－4
3，
地
∴c＝ 8－4 3＝ 6－ 22＝ 6－ 2.
理
由正弦定理得sianA＝sincC，
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地 理
cosA ＝ ⑤ ________ ， cosB ＝ ⑥ ________ ， cosC ＝ ⑦
________.
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人
教 版
3．余弦定理与勾股定理
必
(1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达
修 一
式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2；令B＝90°，则b2＝a2＋c2；
修 一
2×3×5·cos120°＝49，
新
∴BC＝7，
课
设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：
标
地 理
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
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人
教 版 必
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得：
第二章 解三角形
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人
教 版
解析：设 t 小时后相遇，则 BC、AB 的长分别为 20t
必 修
与 20
3t.由图可知∠ACB＝120°.
一
由余弦定理得
新 课
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，
标 地
即(20 3t)2＝102＋(20t)2－2×10×20t×(－12)，
理
解得 t＝12或－14(舍去)．
cosA＝b2＋2cb2c－a2＝62＋ 3＋3＋11×2－64＝ 22，
故 A＝45°.
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第二章 解三角形
人
教
版 必
[变式训练 1] △ABC 中，已知 a＝2，b＝ 3，c＝ 2
修 一
＋1，求 A.
新 课
解析：cosA＝b2＋2cb2c－a2
标
地 理
＝
23×2＋3×2＋21＋2－122＝
地 理
⑦a2＋2ba2b－c2 ⑧锐 ⑨直 ⑩钝 ⑪各角 ⑫第三边
⑬其他两角 ⑭勾股定理 ⑮余弦定理 ⑯知三求一
⑰角 ⑱另一边
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第二章 解三角形
人 教 版 必 修 一 在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？ 新 在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了 课标余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余 地弦定理．这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择， 理还要依靠经验的积累．根据解题经验，已知两边和一边的对角