高等代数课件PPT之第2章行列式
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(123n )
j1 j2 jn
a1 j1 a2 j2 anjn 0
所以
D (1)
a11a22 ann a11a22 ann
结论:上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中 n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明 定理:n级行列式D=det (aij) 的项可以写为
a1 j1 a2 j2 anjn
和式中仅当 j1 n, j2 n 1,, jn1 2, jn 1 时，
a1 j1 a2 j2 anjn 0
D (1)
( 1)
( n( n1)321)
n ( n 1 ) 2
a1na2,n1 an1
12 n
x1 3 x2 5 例1 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二级行列式
D
1 3 4 3
3 ( 3) 4 15 0
1 5 4 5
方程组有唯一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘 再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21
称其为二级行列式 . 据此，解中的分子可分别记为： b1 a12 a11 b1 D1 , D2 b2 a 22 a 21 b2 a11 a12 当D 0时，方程组的解可表为 a21 a22 D1 D2 x1 ，x2 D D
§ 2.1∼2.3 n级行列式的定义
本节从二、三级行列式出发，给 出n级行列式的概念.
基本内容： 二级与三级行列式 排列及其逆序数 n级行列式定义
1.二级与三级行列式 (1)二级行列式
考虑含有两个未知量 x1 , x2的线性方程组 a11 x1 a12 x 2 b1 a 21 x1 a 22 x 2 b2
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 5 D 5
2.排列及其逆序数
(1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 它则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
为求得上述方程组的解，可利用加减消元得 到：
(a11a22 a12a 21 ) x1 b1a22 b2 a12 (a11a22 a12a21 ) x 2 b2 a11 b1a21
当a11a22 a12a21 0时，方程组有唯一解
b1a22 b2a12 b2a11 b1a21 x1 , x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
DT ( 1) ( j1 j2 jn ) b1 j1 b2 j2 bnjn ( 1) ( i1i2 in ) ai1 1ai2 2 ainn D
a11 0 0
例1 计算行列式
a 21 D a n1
a 22 0 a n 2 a nn
第2章 行列式
行列式是高等代数的一个重要组成部 分。它是研究矩阵、线性方程组、特征多 项式、二次型等问题的重要工具.本章介绍 了n级行列式的定义、性质及计算方法，最 后给出了它的一个简单应用——克拉默法 则.
第2章 行列式
n级行列式的定义 行列式的性质与计算
行列式按一行（列）展开 克拉默法则—行列式的一个简单应用
3. n级行列式定义
分析：
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a 33 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
j1 j2 j3
(1)
( 1)
( i1i2 in ) ( j1 j2 jn )
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
另一定义形式
其中i1i2…in和j1 j2 …jn都是n级排列 .
推论:n级行列式D=det (aij) 的值为
D (1) ( i1i2 in ) ( j1 j2 jn ) ai1 j1 ai2 j2 ain jn
答 案
( 1) n1 n! 2. a12a 23a 34a41
内容回顾
n阶行列式定义：
a11 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
a 21 D a n1
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
Det(aij ) a1 j1 a2 j2 anjn
反)——构成逆Biblioteka Baidu.
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为(i1i2…in).
例4
(2413) =3
(312) =2
奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列. (n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
推广之，有如下n 级行列式定义
定义： n级行列式
a11 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
j1 j2 jn
a 21 D a n1
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn det( aij )
记
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) ( 1 ) 并冠以符号 的项的和. (i) a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；
( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
(i)每一项均是取自不同行、不同列的三个元素的乘积 构成，除符号外可写为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 (ii)符号为 ( 1) ( j1 j2 j3 ) “+” 123 231 312 （偶排列）
(iii)项数为 3！=6
“-” 321 213 132 （奇排列）
称为三级行列式。数a（ ij i , j 1,2,3)称为它的元素。
„—‟三元素乘积取“+”号；
‘…‟三元素乘积取“-”号。
例2 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1 3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4 4 6 32 24 8 4
一般情形
设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶 性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. ||
例5
(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =2+4…+(2n-2)=n(n-1)
对换：在一个排列i1…is…it …in中，若其中某两 数is和it互换位置, 其余各数位置不变得到另一排列 i1…it…is …in,这种变换称为一个对换, 记为( isit).
例6
3421 1423 1243 1234 5 2 1 0
( j1 j2 jn )
(iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
例4 计算
0
0
0
1
0 0 2 0 D 0 n 1 0 0
n
0
0
0
( j1 j2 jn )
解
由行列式定义, D
j1 j2 jn
(1)
ai1 1ai2 2 ain n
记
上三角行列式的值
a11 a12 a1n
i1i 2 i n
(1)
( i1i 2 i n )
0 D 0
a22 a2 n a11a22 ann 0 ann
§2.4 ∼2.5 n级行列式的性质与计算
考虑
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2，x2 1. D 15 D 15
(2)三级行列式
主对角线法
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a 31 a 32 a 33 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
或
另一定义形式
D ( 1) ( i1i2 in ) ai1 1ai2 2 ainn
思考练习 （n级行列式定义）
0 0
1.用定义计算
1 0 0
0 2
0 0
D 0
0 n1
n 0 0 0 2.写出4级行列式中含有因子a23a41并带有负号的项.
1. D ( 1) ( 23n1) 1 2 n
14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
3 解：系数行列式 D 2 1 1 4 2 1 1 5 0 1
方程组有唯一解.又
26 1 1 3 26 1 3 1 26 D1 9 4 1 55, D2 2 9 1 20, D3 2 4 9 15 16 2 1 1 16 1 1 2 16
将它的行依次变为相应的列，得
a11 a12 D
T
a 21 a n1 a 22 a n 2 a 2 n a nn
a1n
称DT为D的转置行列式 .
性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）
证：事实上,若记 DT=det(bij),则 bij a ji ( i , j 1,2,, n)
例5 证明上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a1n a22 a2 n a11a22 ann 0
( j1 j2 jn ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anjn
ann
证： 由定义 D 和式中,只有当
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
( 31)
( 42)
( 43)
结论：
①对换改变排列的奇偶性. ②全部n级排列中,奇偶排列各半(各有n! 2) .
③任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一
系列对换互变, 且所作对换的个数与该排列有相同 的奇偶性.
①的证明 对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其它数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
j1 j2 jn
a1 j1 a2 j2 anjn 0
所以
D (1)
a11a22 ann a11a22 ann
结论:上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中 n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明 定理:n级行列式D=det (aij) 的项可以写为
a1 j1 a2 j2 anjn
和式中仅当 j1 n, j2 n 1,, jn1 2, jn 1 时，
a1 j1 a2 j2 anjn 0
D (1)
( 1)
( n( n1)321)
n ( n 1 ) 2
a1na2,n1 an1
12 n
x1 3 x2 5 例1 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二级行列式
D
1 3 4 3
3 ( 3) 4 15 0
1 5 4 5
方程组有唯一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘 再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21
称其为二级行列式 . 据此，解中的分子可分别记为： b1 a12 a11 b1 D1 , D2 b2 a 22 a 21 b2 a11 a12 当D 0时，方程组的解可表为 a21 a22 D1 D2 x1 ，x2 D D
§ 2.1∼2.3 n级行列式的定义
本节从二、三级行列式出发，给 出n级行列式的概念.
基本内容： 二级与三级行列式 排列及其逆序数 n级行列式定义
1.二级与三级行列式 (1)二级行列式
考虑含有两个未知量 x1 , x2的线性方程组 a11 x1 a12 x 2 b1 a 21 x1 a 22 x 2 b2
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 5 D 5
2.排列及其逆序数
(1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 它则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
为求得上述方程组的解，可利用加减消元得 到：
(a11a22 a12a 21 ) x1 b1a22 b2 a12 (a11a22 a12a21 ) x 2 b2 a11 b1a21
当a11a22 a12a21 0时，方程组有唯一解
b1a22 b2a12 b2a11 b1a21 x1 , x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
DT ( 1) ( j1 j2 jn ) b1 j1 b2 j2 bnjn ( 1) ( i1i2 in ) ai1 1ai2 2 ainn D
a11 0 0
例1 计算行列式
a 21 D a n1
a 22 0 a n 2 a nn
第2章 行列式
行列式是高等代数的一个重要组成部 分。它是研究矩阵、线性方程组、特征多 项式、二次型等问题的重要工具.本章介绍 了n级行列式的定义、性质及计算方法，最 后给出了它的一个简单应用——克拉默法 则.
第2章 行列式
n级行列式的定义 行列式的性质与计算
行列式按一行（列）展开 克拉默法则—行列式的一个简单应用
3. n级行列式定义
分析：
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a 33 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
j1 j2 j3
(1)
( 1)
( i1i2 in ) ( j1 j2 jn )
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
另一定义形式
其中i1i2…in和j1 j2 …jn都是n级排列 .
推论:n级行列式D=det (aij) 的值为
D (1) ( i1i2 in ) ( j1 j2 jn ) ai1 j1 ai2 j2 ain jn
答 案
( 1) n1 n! 2. a12a 23a 34a41
内容回顾
n阶行列式定义：
a11 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
a 21 D a n1
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
Det(aij ) a1 j1 a2 j2 anjn
反)——构成逆Biblioteka Baidu.
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为(i1i2…in).
例4
(2413) =3
(312) =2
奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列. (n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
推广之，有如下n 级行列式定义
定义： n级行列式
a11 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
j1 j2 jn
a 21 D a n1
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn det( aij )
记
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) ( 1 ) 并冠以符号 的项的和. (i) a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；
( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
(i)每一项均是取自不同行、不同列的三个元素的乘积 构成，除符号外可写为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 (ii)符号为 ( 1) ( j1 j2 j3 ) “+” 123 231 312 （偶排列）
(iii)项数为 3！=6
“-” 321 213 132 （奇排列）
称为三级行列式。数a（ ij i , j 1,2,3)称为它的元素。
„—‟三元素乘积取“+”号；
‘…‟三元素乘积取“-”号。
例2 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1 3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4 4 6 32 24 8 4
一般情形
设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶 性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. ||
例5
(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =2+4…+(2n-2)=n(n-1)
对换：在一个排列i1…is…it …in中，若其中某两 数is和it互换位置, 其余各数位置不变得到另一排列 i1…it…is …in,这种变换称为一个对换, 记为( isit).
例6
3421 1423 1243 1234 5 2 1 0
( j1 j2 jn )
(iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
例4 计算
0
0
0
1
0 0 2 0 D 0 n 1 0 0
n
0
0
0
( j1 j2 jn )
解
由行列式定义, D
j1 j2 jn
(1)
ai1 1ai2 2 ain n
记
上三角行列式的值
a11 a12 a1n
i1i 2 i n
(1)
( i1i 2 i n )
0 D 0
a22 a2 n a11a22 ann 0 ann
§2.4 ∼2.5 n级行列式的性质与计算
考虑
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2，x2 1. D 15 D 15
(2)三级行列式
主对角线法
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a 31 a 32 a 33 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
或
另一定义形式
D ( 1) ( i1i2 in ) ai1 1ai2 2 ainn
思考练习 （n级行列式定义）
0 0
1.用定义计算
1 0 0
0 2
0 0
D 0
0 n1
n 0 0 0 2.写出4级行列式中含有因子a23a41并带有负号的项.
1. D ( 1) ( 23n1) 1 2 n
14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
3 解：系数行列式 D 2 1 1 4 2 1 1 5 0 1
方程组有唯一解.又
26 1 1 3 26 1 3 1 26 D1 9 4 1 55, D2 2 9 1 20, D3 2 4 9 15 16 2 1 1 16 1 1 2 16
将它的行依次变为相应的列，得
a11 a12 D
T
a 21 a n1 a 22 a n 2 a 2 n a nn
a1n
称DT为D的转置行列式 .
性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）
证：事实上,若记 DT=det(bij),则 bij a ji ( i , j 1,2,, n)
例5 证明上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a1n a22 a2 n a11a22 ann 0
( j1 j2 jn ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anjn
ann
证： 由定义 D 和式中,只有当
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
( 31)
( 42)
( 43)
结论：
①对换改变排列的奇偶性. ②全部n级排列中,奇偶排列各半(各有n! 2) .
③任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一
系列对换互变, 且所作对换的个数与该排列有相同 的奇偶性.
①的证明 对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其它数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)