人教B数学必修五课时分层作业21 简单线性规划 含解析

课时分层作业(二十一) 简单线性规划

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．z ＝x －y 在⎩⎨⎧

2x －y ＋1≥0，

x －2y －1≤0，

x ＋y ≤1

的线性约束条件下，取得最大值的可行解为

( )

A ．(0,1)

B ．(－1，－1)

C ．(1,0)

D ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，12

C [可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝1

2时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C ．

2．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧

x －2y ＋1≥0，

|x |－y －1≤0，，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

C [画出可行域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，知点A (3,2)为z ＝2x ＋y 取得最大值的最优解，所以z ＝2x ＋y 的最大值为2×3＋2＝8.故选C ．]

3．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

x ＋y －1≥0，

y ≥2x －2，

y ≤2，

且z ＝kx ＋y 取得最小值时的点有无

数个，则k ＝( )

A ．－1

B ．2

C ．－1或2

D ．1或－2

D [作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．

由z ＝kx ＋y ，得y ＝－kx ＋z ，若k ＝0，则y ＝z ，此时z 只在B 处取得最小值，不满足条件．若k >0，则－k <0，平移直线y ＝－kx ，由图象可知当直线y ＝－kx 和直线x ＋y －1＝0平行时，此时z ＝kx ＋y 取得最小值时的最优解有无数多个，此时－k ＝－1，即k ＝1.若k <0，则－k >0，平移直线y ＝－kx ，由图象可知当直线y ＝－kx 和直线y ＝2x －2平行时，此时z ＝kx ＋y 取得最小值时的最优解有无数多个，此时－k ＝2，即k ＝－2，综上，k ＝1或k ＝－2.故选D ．]

4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

x －y ＋2≤0，

x ≥1，

x ＋y －7≤0，

则y

x 的取值范围是( )

A ．⎣⎢⎡⎦

⎥⎤95，6

B ．⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，95∪[6，＋∞)

C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)

D ．(3,6]

A [作出可行域，如图中阴影部分所示，y

x 可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，A (1,6)，故y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

95，6.]

5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

x ≥0，

y ≥0，

x ＋y ≥1，

则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )

A ．10

B ．2 2

C ．8

D ．10

D [先由约束条件作出可行域如图．A (0,1)，B (1,0)，目标函数z ＝(x ＋3)2＋y 2表示阴影部分的点与点C (－3,0)的距离的平方．由图可知最小值为|AC |2＝32＋12＝10.

]

二、填空题

6．满足不等式组⎩⎨⎧

x ＋y ≤5，

2x ＋y ≤6，

x ≥0，

y ≥0，

并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的

坐标是________．

(0,5) [首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M (0,5)时截距最大，此时z 最大．

]

7．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧

x －y ＋1≥0，

x ＋y ≥0，

x ≤0，

则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．

1 [不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t

2， 当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x ＋2y 的最小值为1.]

8．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．

216 000 [设生产产品A x 件，产品B y 件，则

⎩⎪⎨⎪⎧

1.5x ＋0.5y ≤150，

x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋

.

目标函数z ＝2 100x ＋900y .

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．

当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．

三、解答题

9．变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧

x －y ＋1≤0，

y ≤1，

x ＞－1，

求(x －2)2＋y 2的最小值．

[解]

不等式组⎩⎨⎧

x －y ＋1≤0，

y ≤1，

x ＞－1

在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图

中的阴影部分所示．

设P (x ，y )是该区域内的任意一点，则(x －2)2＋y 2的几何意义是点P (x ，y )与点M (2,0)距离的平方．由图可知，当点P 的坐标为(0,1)时，|PM |最小，所以|PM |≥22＋1＝5，所以|PM |2≥5，即(x －2)2＋y 2的最小值为5.

10．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运多少箱．

货物 每箱体积/m 3 每箱重量/kg

每箱利润/百元

甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运能力限制数

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13

[意得